甘肅省蘭州市2022屆高三診斷考試理科數學試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設i為虛數單位，若復數是純虛數，則實數（       ）A．-1 B．0 C．1 D．22．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．3．已知，，與的夾角為，則（       ）A．6 B． C． D．4．圓的圓心到直線的距離是（       ）A． B． C．1 D．5．莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現存規(guī)模最大?內容最豐富的佛教藝術勝地，每年都會吸引來自世界各地的游客參觀旅游.已知購買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個開放洞窟，在這8個洞窟中莫高窟九層樓96號窟?莫高窟三層樓16號窟?藏經洞17號窟被譽為最值得參觀的洞窟.根據疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開放洞窟中隨機選擇4個進行參觀，所有選擇中至少包含2個最值得參觀洞窟的概率是（       ）A． B． C． D．6．已知一個半徑為的扇形圓心角為，面積為，若，則（       ）A． B． C． D．7．已知是奇函數，當時，，若，則(       )A． B． C．2 D．18．已知三棱錐，為其外接球的直徑，，若為棱上與?不重合的一點，則（       ）A．必為銳角 B．必為直角 C．必為鈍角 D．無法確定9．已知在上單調，且值域為，，則(       )A．1 B． C． D．10．如圖所示直三梭柱內接于圓柱之中，圓柱的體積為，側面積為，，若三棱柱的體積為，則的最大值為（       ） A． B． C． D．11．已知橢圓：與雙曲線有公共的焦點?，為曲線?在第一象限的交點，且的面積為2，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（       ）A．9 B． C．7 D．12．若函數在其定義域內存在?，使得，則稱函數具有性質.在函數①，②，③，④中，不具有性質的是（       ）A．②③ B．①④ C．③④ D．①③二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在的展開式中，的系數為-10，則實數___________.14．為了踐行綠色發(fā)展理念，近年來我國一直在大力推廣使用清潔能源．2020年9月我國提出了“努力爭取2030年前實現碳達峰，2060年前實現碳中和”的新目標．下圖是2016至2020年我國清潔能源消費占能源消費總量的比重y的數據統(tǒng)計圖，由圖中數據可以得到y關于年份序號x的回歸直線方程：，根據回歸方程可預測2022年我國的清潔能源消費占能源消費總量的比重約為______%．15．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，在方向上的投影是的，△ABC的面積為，則______．16．若曲線與直線相切，則實數的最大值是___________.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答17．在①，②是和的等比中項，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．問題：已知公差d不為0的等差數列的前n項和為，．(1)______，求數列的通項公式；(2)若數列，，求數列的前n項和．18．自“雙減”政策頒布實施以來，為了研究中小學各學科作業(yè)用時的平衡問題，某市教科研部門制定了該市各年級每個學科日均作業(yè)時間的判斷標準.下表是初中八年級學科的判斷標準.日均作業(yè)時間（分鐘）不低于16分鐘判斷標準過少較少適中較多過多 之后教科研部門又隨機抽取該市30所初中學校八年級學科的作業(yè)時間作為樣本，得到學科日均作業(yè)時間的頻數分布表見下表.日均作業(yè)時間（分鐘）學校數2310105 (1)請將同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表，估計該市初中八年級學生完成學科作業(yè)的日平均時間（結果精確到0.1）；(2)①若學科日均作業(yè)時間不低于12分鐘，稱為“作業(yè)超量”，以樣本頻率估計概率，求該市任一所初中學校八年級學科作業(yè)超量的概率；②若為了對該市初中八年級學科作業(yè)的布置情況做進一步研究，需再從該市所有初中學校中抽取3所進行研究，用表示抽取的3所學校中八年級學科“作業(yè)超量”的個數.求隨機變量的分布列和數學期望.19．已知四棱錐中，底面為菱形，點E為校PC上一點（與P?C不重合），點M?N分別在棱PD?PB上，平面平面.(1)求證：平面；(2)若為中點，，，，求二面角的正弦值.20．已知?是橢圓的左?右焦點，直線與橢圓相切于點，過的直線交橢圓于兩點，當直線與x軸垂直時，.(1)求橢圓的方程；(2)當直線分別與直線交于兩點，求面積的最小值.21．已知函數為自然對數的底數(1)求在處的切線方程；(2)當時，，求實數的最大值；(3)證明：當時，在處取極小值.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）平面直角坐標系下，曲線的參數方程為（t為參數），曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．(1)求曲線，的極坐標方程；(2)過極點的直線l與曲線交于A、B兩點，與曲線交于M、N兩點，求的最小值．23．已知函數．(1)當時，解關于的不等式；(2)當時，的最小值為，且正數滿足．求的最小值．
參考答案：1．C【解析】【分析】先化簡復數，再利用復數的相關概念求解.【詳解】復數，因為復數是純虛數，所以，解得，故選：C2．A【解析】【分析】由正弦函數性質可得集合M，解一元二次不等式可得集合N，然后由交集定義可得.【詳解】由正弦函數值域可知，由解得所以，即故選：A3．A【解析】【分析】由數量積公式結合得出答案.【詳解】故選：A4．D【解析】【分析】根據已知條件把圓的一般方程轉化為標準方程，從而可得到圓心坐標，再代入點到直線的距離公式即可.【詳解】由題意可得：圓的一般方程為，轉化為標準方程：，即圓的圓心坐標為，因為直線方程為，所以圓心到直線的距離為故選：D5．B【解析】【分析】根據排列組合知識求得基本事件的個數后可得概率．【詳解】8個開放洞窟中有3個最值得參觀，所求概率為．故選：B．6．B【解析】【分析】由扇形面積公式可求得，由兩角和差正切公式可構造方程求得結果.【詳解】扇形面積，，，解得：.故選：B.7．C【解析】【分析】根據f(x)是奇函數求出f(4)＝－f(－4)，根據x＞0時f(x)的解析式即可求a的值．【詳解】由題可知，∴．故選：C．8．C【解析】【分析】在中應用余弦定理即可判斷【詳解】因為為三棱錐外接球的直徑，所以，又所以所以如圖所示，，在中，所以為鈍角故選：C9．B【解析】【分析】由題可知，區(qū)間的長度π即為f(x)最小正周期，由此求出ω，從而可求．【詳解】設T為f(x)的最小正周期，∵f(x)在上單調，則，又∵且在[a，b]上值域為，故，故T＝2π，故ω＝1，故，∴．故選：B．10．A【解析】【分析】根據題意，分別列出圓柱的體積公式和側面積公式，解出底面圓的半徑和圓柱的高，然后，根據三角形外接圓的性質求出邊上的高的最大值，進而求出三棱柱的體積的最大值【詳解】設圓柱底面圓的半徑為，設圓柱的高為，設圓柱的體積為，根據題意，列出方程得，，解得，因為中，，到的距離為，所以，在圓中，到的最長距離為，所以，所以，三棱柱的體積的最大值.故選：A11．B【解析】【分析】先由橢圓定義和余弦定理結合面積公式求出，再由雙曲線定義和橢圓定義找到a，的關系，代入目標式化簡可得,再用基本不等式可求解.【詳解】記橢圓中的幾何量為a，b，c，雙曲線中的幾何量為，，則由橢圓和雙曲線定義可得…①，…②，兩式平方相減整理得，記，則由余弦定理得…③①2-③得…④由面積公式可得，即，代入④整理得，因為，所以，所以，得，所以，即，所以，即，所以，當且僅當時等號成立.故選：B12．D【解析】【分析】分別求得每個函數的值域判斷.【詳解】解：①因為，所以，則，取不到2，故錯誤；②因為，則存在，使得，故正確；③令，則，所以，則，取不到2，故錯誤；④因為，所以，當時，，當時，，所以當時，函數取得最大值，則，所以存在，使得，故正確；故選：D13．【解析】【分析】求出二項式展開式的通項，令x的次數為2求出r的值，從而確定項系數，根據系數為－10即可列式求出a的值．【詳解】展開式的通項為：，令，∴的系數為：.故答案為：.14．【解析】【分析】年對應的年齡序號為，結合回歸直線方程得出答案.【詳解】由題設條件可知，年對應的年齡序號為，即2022年我國的清潔能源消費占能源消費總量的比重約為故答案為：15．【解析】【分析】根據正弦定理求出角A，結合向量投影，建立b，c邊長關系，通過已知三角形面積求出b，c具體值，再用余弦定理求得a.【詳解】解：由正弦定理，將原式，化為，因為所以原式化簡為，因為，所以，因為，所以.又因為在方向上的投影是的，所以，即，因為，解得.由余弦定理可得：，所以.故答案為：.16．2【解析】【分析】設切點為，由導數求得過點的切線方程，由它與相同得出的關系式，設換元后，可用表示出，再引入新函數，利用導數求得其最大值．【詳解】設切點為，由，，所以切線方程為，即，它就是，所以，，令，，所以，，設，，時，，遞增，時，，遞減，所以，即．故答案為：2.17．(1)答案見詳解；(2)【解析】【分析】（1）選①根據等差數列求和公式化簡求出公差，即可求通項；選②根據等比中項公式化簡求出公差，從而求出通項；（2）利用分組求和法即可求解結果．(1)選①：由于，所以，又，所以，故所以；選②：是和的等比中項，則，所以，又，解得，（舍去）所以；(2)，，則18．(1)15.7分鐘；(2)①；②分布列見解析；期望為．【解析】【分析】（1）取各區(qū)間的中點值乘以頻數相加后除以總學校數30可得平均時間；（2）①由古典概型概率公式計算概率；②，由二項分布的概率公式計算出各概率得分布率，由二項分布的期望公式計算期望．(1)由題意所求日平均時間為；(2)①由表格得A學科作業(yè)超量的概率為；②由①已知抽取一所學校A學科作業(yè)超量的概率是，，，，，，的分布列為0123， ．19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）因為平面平面，證得，得到平面，結合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）由（1）證得平面，連接交于，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點作的平行線為軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面和的法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.(1)證明：因為平面平面，且平面平面，平面平面，所以,又因為平面，且平面，所以平面.(2)解：由（1）平面，因為，，所以，所以，所以，又因為，且，所以平面，因為四邊形是菱形，可得，所以為正三角形，所以，連接交于，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點作的平行線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，因為點為的中點，且平面平面，可得分別為與的中點，所以，平面的法向量即為平面的法向量，因為平面，所以平面的法向量為，設平面的法向量為，又由，則，令，可得，即，所以，所以，所以二面角的正弦值為.20．(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據已知條件及橢圓的左頂點，再結合橢圓的通徑即可求解；（2）根據已知條件設出過點的直線和兩點的坐標，與橢圓的方程聯立方程組，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理得出的關系，分別求出直線，的方程，進而得出P?Q兩點的縱坐標，根據三角形的面積公式及基本不等式即可求解.(1)因為橢圓與直線相切于點，所以且，即，又因為直線與x軸垂直時，，所以，解得，所以橢圓C的方程為(2)由（1）知，所以，設過右焦點的直線方程為，，則由，消去整理，得，又因為的方程為，令可得.同理的方程為，令可得.所以.，所以.又因為，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為.21．(1)(2)(3)證明見解析【解析】【分析】（1）求導，，即可求得切線方程.（2）成立，等價于，構造函數，利用導數求得最小值即可得出結果.（3）令，可得當，單調遞增，討論當時，當時，函數的單調性進而可得的單調性，從而證得結果.(1)，且，則所以在處的切線方程為(2)當時，，即當時，，當時，，即，令，則，因為，所以當時，，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，所以，所以所以實數的最大值為.(3)令，若，當，和都單調遞增，所以單調遞增，①當，即時，則，則在上單調遞增，而，所以當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增；所以在處取極小值；②當，即時，且，單調遞增，所以存在，使得，且時，，則在上單調遞增，而，所以當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增；所以在處取極小值.綜上，當時，在處取極小值.【點睛】關鍵點睛：本題考查用導數求函數的極值，考查零點存在定理，解題關鍵是需要導函數進一步求導，以便確定導函數的單調性與零點的存在性，從而得出函數的性質.本題屬于較難題.22．(1)曲線：；曲線：(2)【解析】【分析】（1）消掉參數，，由得出極坐標方程；（2）設直線l的極坐標方程為，并與曲線的極坐標方程聯立，由韋達定理得出，進而由結合三角函數的性質得出最值.(1)由曲線的參數方程為消掉參數可得，化為極坐標方程為因為，所以曲線的極坐標方程為(2)設直線l的極坐標方程為由，可得設，則則又，所以當且僅當時，取等號，所以的最小值為23．(1)(2)【解析】【分析】（1）分別在、和的情況下，去掉絕對值符號，解不等式可得結果；（2）利用絕對值三角不等式可求得，化簡所求式子，利用基本不等式可得結果.(1)當時，；當時，，解得：；當時，，解集為；當時，，解得：；綜上所述：不等式的解集為.(2)當時，（當且僅當時取等號），，即；（當且僅當時取等號），即的最小值為. 

相關試卷

甘肅省蘭州市等4地2022屆高三一模文科數學試題（含解析）：

這是一份甘肅省蘭州市等4地2022屆高三一模文科數學試題（含解析），共12頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

2023屆甘肅省蘭州市高三下學期3月診斷考試（月考）文科數學試題含解析：

這是一份2023屆甘肅省蘭州市高三下學期3月診斷考試（月考）文科數學試題含解析，共30頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

2023屆甘肅省蘭州市高三下學期3月診斷考試（月考）理科數學試題含解析：

這是一份2023屆甘肅省蘭州市高三下學期3月診斷考試（月考）理科數學試題含解析，共31頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2023屆甘肅省蘭州市高三下學期3月診斷考試（月考）理科數學試題word版含答案

2023屆甘肅省蘭州市高三下學期3月診斷考試（月考）理科數學試題word版含答案
2023屆甘肅省蘭州市高三下學期3月診斷考試（月考）理科數學試題PDF版含答案

2023屆甘肅省蘭州市高三下學期3月診斷考試（月考）理科數學試題PDF版含答案
甘肅省蘭州市2023屆高三下學期3月診斷考試 理科數學答案和解析

甘肅省蘭州市2023屆高三下學期3月診斷考試 理科數學答案和解析
2022年蘭州市高三診斷考試理科數學試卷含答案（蘭州一診）

2022年蘭州市高三診斷考試理科數學試卷含答案（蘭州一診）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部