2022屆江西省南昌市高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試卷理科數(shù)學(xué)一、選擇題1.已知集合，，則（   ）A.       B.           C.            D.答案：D解析：，，∴.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（   ）A.         B.         C.         D.答案：B解析：，∴.3.已知圓錐內(nèi)部有一個(gè)半徑為的球與其側(cè)面和底面均相切，且圓錐的軸截面為等邊三角形，則圓錐的側(cè)面積為（   ）A.         B.         C.         D.答案：C解析：可畫出截面圖如圖，∵三角形為等邊三角形，可得.設(shè)圓錐底面的半徑為，則.母線長(zhǎng).∴.4.在中，角所對(duì)的邊分別為,若，，，則（    ）A.         B.         C.         D.答案：B解析：由正弦定理可得，∵，∴.∴.5.已知，，，則的大小關(guān)系為（   ）A.         B.         C.         D.答案：A解析：，故，又∵，∴，故.6.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（   ）A.         B.         C.         D.答案：D解析：畫出可行域得，又∵，可表示為平面區(qū)域到原點(diǎn)的距離的平方.此時(shí)，最小值為原點(diǎn)到直線的距離的平方.故. 7.已知函數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)是（   ）A.         B.         C.         D.答案：C解析：可化簡(jiǎn)為.∴時(shí)，即，，或.或，.∴.∴的解的個(gè)數(shù)為個(gè).8.如圖，正方體中，點(diǎn)在正方形內(nèi)（包含邊界），若三棱錐的左視圖如圖所示，則此三棱錐的俯視圖不可能是（   ）A. B. C. D. 答案：D解析：A選項(xiàng)，當(dāng)到平面中心上時(shí)滿足.B選項(xiàng)，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)滿足C選項(xiàng)，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)滿足.故選D 9.已知，，則是的（   ）A.充分不必要條件                                  B.必要不充分條件C.充分必要條件                                    D.既不充分也不必要條件 答案：B解析：充分性，當(dāng)時(shí)..故充分性不成立.又，畫圖令，.∴，圖像要在圖像下方.∴  ，∵.即必要性成立.∴是的必要不充分條件. 10.右圖是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形.圖中四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，若，則（   ）A.              B.                  C.              D.答案：B解析：如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，∴，，，所在直線的斜率，所以直線方程為：，令，所以，∴，∴，，∴，∴.故選B.11.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（   ）A.                 B.            C.                D.答案：A解析：設(shè)點(diǎn)，，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接（如圖）由題意得：，由雙曲線的定義可得：，由拋物線的定義得：，所以.在中有：，即.所以，即.解得：或（舍去），故選A.12.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)，，滿足，則的取值范圍為（   ）A.            B.             C.              D.答案：C解析：的圖像如圖所示，若，則，與題意不符，所以點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè).因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，不妨設(shè)，則.轉(zhuǎn)化為求曲線過原點(diǎn)的切線，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為代入原點(diǎn)坐標(biāo)得，切點(diǎn)為，切線斜率為若則.僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.二、填空題13.已知向量，，若，則        .答案：解析：.14.的展開式共有項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為        .答案：解析：展開式有項(xiàng)，則，故展開式為.∴，∴.∴常數(shù)項(xiàng)為.15.從裝有個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球（除顏色外完全相同）的盒子中任取兩個(gè)球，則在選到的兩個(gè)球顏色相同的條件下，都是紅球的概率為        .答案：解析：記事件為從盒子中取到兩個(gè)相同顏色的球，事件為從盒子中取到兩個(gè)紅球.則在選到的兩個(gè)球顏色相同的條件下，都是紅球的概率為.所以.16.交通信號(hào)燈由紅燈、綠燈、黃燈組成，紅燈表示禁止通行，綠燈表示準(zhǔn)許通行，黃燈表示警示，黃燈設(shè)置的時(shí)長(zhǎng)與路口寬度、限定速度、停車距離有關(guān).經(jīng)過安全數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，駕駛員反應(yīng)距離（單位：）關(guān)于車速（單位：）的函數(shù)模型為：剎車距離（單位：）關(guān)于車速（單位：）的函數(shù)模型為，反應(yīng)距離與剎車距離之和稱為停車距離.在某個(gè)十字路口標(biāo)示小汽車最大限速（約），路口寬度為，如果只考慮小車通行安全，黃燈亮的時(shí)間是允許最大限速的車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過十字路口，那么信號(hào)燈的黃燈至少要亮        （保留兩位有效數(shù)字）.答案：解析：由題意，當(dāng)停車距離等于離停車線距離時(shí)，設(shè)通過路口所需時(shí)間為，則，即，所以，所以黃燈至少亮.三、解答題17.已知是公差為的等差數(shù)列，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：見解析解析：因?yàn)?/span>，所以， 兩式相減可得，因?yàn)?/span>，所以，則，所以，因?yàn)?/span>，所以； （2）因?yàn)?/span>，，所以， 則. 18.國(guó)際上常用體重指數(shù)作為判斷胖瘦的指標(biāo)，體重指數(shù)是體重（單位：千克）與身高（單位：米）的平方的比值.高中學(xué)生由于學(xué)業(yè)壓力，缺少體育鍛煉等原因，導(dǎo)致體重指數(shù)偏高.某市教育局為督促各學(xué)校保證學(xué)生體育鍛煉時(shí)間，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)壓力，準(zhǔn)備對(duì)各校學(xué)生體重指數(shù)進(jìn)行抽查，并制定了體重指數(shù)檔次及所對(duì)應(yīng)得分如下表：某校為迎接檢查，學(xué)期初通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到該校高三學(xué)生體重指數(shù)服從正態(tài)分布，并調(diào)整教學(xué)安排，增加學(xué)生體育鍛煉時(shí)間.月中旬，教育局聘請(qǐng)第三方機(jī)構(gòu)抽查了該校高三名學(xué)生的體重指數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下表： 請(qǐng)你從肥胖率、體重指數(shù)學(xué)生平均得分兩個(gè)角度評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)采取措施的效果.附：參考數(shù)據(jù)與公式若，則①；②；③答案：見解析解析：因?yàn)閷W(xué)期高三學(xué)生體重指數(shù)服從正態(tài)分布則學(xué)期初期肥胖率：，  月中旬教體局抽查時(shí)，學(xué)生肥胖率為， 又因?yàn)?/span>，，，，所以初期體重指數(shù)學(xué)生平均得分為.   月中旬教體局抽查時(shí)，體重指數(shù)學(xué)生平均得分為：， 所以從肥胖率、體重指數(shù)學(xué)生平均得分兩個(gè)角度來看學(xué)校采取措施的效果是較好的.  19.如圖，四邊形，都是邊長(zhǎng)為的正方形，，四邊形是矩形，平面平面，平面平面.（1）求直線與平面所成的角的正弦值；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面；若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.答案：見解析解析：方法一：（1）因?yàn)?/span>，，所以平面，所以面平面，過作平面的垂線，垂足為，則點(diǎn)在平面與平面的交線的延長(zhǎng)線上， 因?yàn)?/span>，，所以即為二面角的平面角，同理即為二面角的平面角，則，故，， 所以，，所以直線與平面所成的的正弦值為； （2）因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以，所以，，，四點(diǎn)共面， 又因?yàn)?/span>，，所以，所以當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，，  因?yàn)?/span>平面，所以平面，所以在線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.  方法二：因?yàn)?/span>，，所以平面，過作平面的垂線，垂足為，則點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上， 因?yàn)?/span>，，所以即為二面角的平面角，則，故，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，，，所以. （1）因?yàn)?/span>，，所以，平面的一個(gè)法向量為，所以，所以直線與平面所成的角的正弦值為； （2）假設(shè)在線段上是存在一點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?/span>，，，所以，， 設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則， 因?yàn)?/span>，，所以，所以，則，則，所以在線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面. 20.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心且過原點(diǎn)的圓與直線交于，兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí).圓的半徑為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記直線，的斜率分別為，，判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由.答案：見解析解析：（1）由題意知，因?yàn)?/span>，所以， 所以，所以，即橢圓方程為； （2）方法一：設(shè)，，，因?yàn)?/span>為圓的直徑，所以，則， 設(shè)直線：，則，整理得到，所以，則，，同理可得：，，所以，因?yàn)?/span>，所以. 方法二：：，：，可得，，，因?yàn)?/span>，所以， 由，整理可得：，所以，則，， 同理可得：，，所以，因?yàn)?/span>，所以.  21.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，試判斷在上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意，.答案：見解析解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則， 設(shè)，則在為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，.所以存在，使得. 當(dāng)時(shí)，，則，即在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，即在為增函數(shù)；所以函數(shù)在只有一個(gè)極值點(diǎn)，即唯一極小值點(diǎn)； （2）由，設(shè)，則在為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，.所以存在，使得. 由于（1）可知，又因?yàn)?/span>，所以，即證：對(duì)任意，，即證：對(duì)任意，. 設(shè)，則在單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以，即，故對(duì)任意，.  四、選做題（二選一）22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線極坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，求.答案：見解析解析：（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)）所以，所以曲線的普通方程為， 所以曲線的極坐標(biāo)方程為.  因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，所以，即直線的直角坐標(biāo)方程為. （2）方法一：設(shè)曲線的圓心為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且，所以，則點(diǎn)到直線的距離為， 所以，則或， 當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)，不符合題意；所以. 方法二：設(shè)，，所以，， 又因?yàn)辄c(diǎn)，在直線上，所以，，則， 則或，則或，當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)，不符合題意；所以.23.已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）求的最小值.答案：見解析解析：（1）因?yàn)?/span>，所以，則， ①，解得，②，解得，所以不等式的解集為； （2） . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.

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