?2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）
1．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，點D是OB上的動點，若PC＝6cm，則PD的長可以是（　?。?br />
A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm
2．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，AE=3，ED=3BE，則AB的值為（　　）

A．6 B．5 C．2 D．3
3．“綠水青山就是金山銀山”．某工程隊承接了60萬平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了25%，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)．設(shè)實際工作時每天綠化的面積為x萬平方米，則下面所列方程中正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
4．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象相交于點A（1，2），有下面四個結(jié)論：①ab＞0；②a﹣b＞﹣；③sinα=；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤1．其中正確的是（　?。?br />
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
5．下列計算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+a2=a4 B．a(chǎn)5?a2=a7 C．（a2）3=a5 D．2a2﹣a2=2
6．如圖是由幾個相同的小正方體搭成的一個幾何體，它的俯視圖是（　　）

A． B． C． D．
7．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔60n mile的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為（　?。?br />
A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile
8．如果邊長相等的正五邊形和正方形的一邊重合，那么∠1的度數(shù)是( )

A．30° B．15° C．18° D．20°
9．如圖，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，則AP＋BP的最小值為

A．1 B． C． D．
10．計算(ab2)3的結(jié)果是(　　)
A．a(chǎn)b5 B．a(chǎn)b6 C．a(chǎn)3b5 D．a(chǎn)3b6
二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11．自2008年9月南水北調(diào)中線京石段應(yīng)急供水工程通水以來，截至2018年5月8日5時52分，北京市累計接收河北四庫來水和丹江口水庫來水達50億立方米．已知丹江口水庫來水量比河北四庫來水量的2倍多1.82億立方米，求河北四庫來水量．設(shè)河北四庫來水量為x億立方米，依題意，可列一元一次方程為_____．
12．為了了解貫徹執(zhí)行國家提倡的“陽光體育運動”的實施情況，將某班50名同學(xué)一周的體育鍛煉情況繪制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的數(shù)據(jù)，該班50名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的中位數(shù)與眾數(shù)之和為_____．

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置，直角頂點C的坐標(biāo)為（1，0），頂點A的坐標(biāo)（0，2），頂點B恰好落在第一象限的雙曲線上，現(xiàn)將直角三角板沿x軸正方向平移，當(dāng)頂點A恰好落在該雙曲線上時停止運動，則此時點C的對應(yīng)點C′的坐標(biāo)為_____．

14．一個n邊形的每個內(nèi)角都為144°，則邊數(shù)n為______．
15．經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)．如果這三種可能性大小相同，現(xiàn)有兩輛汽車先后經(jīng)過這個十字路口，則至少有一輛汽車向左轉(zhuǎn)的概率是___．
16．如圖,正△的邊長為，點、在半徑為的圓上,點在圓內(nèi),將正繞點逆時針針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點第一次落在圓上時，旋轉(zhuǎn)角的正切值為_______________

17．如圖所示，P為∠α的邊OA上一點，且P點的坐標(biāo)為（3，4），則sinα+cosα=_____．

三、解答題（共7小題，滿分69分）
18．（10分）如圖，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，請僅用無刻度直尺作圖：在圖1中作出圓心O；在圖2中過點B作BF∥AC．

19．（5分）如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸的交于點C，其中A點的坐標(biāo)為（﹣3，0），點C的坐標(biāo)為（0，﹣3），對稱軸為直線x＝﹣1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸交于點A，與雙曲線的一個交點為B（－1，4）.求直線與雙曲線的表達式；過點B作BC⊥x軸于點C，若點P在雙曲線上，且△PAC的面積為4，求點P的坐標(biāo).

21．（10分）計算：|﹣|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1．
22．（10分）已知：如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點，過點作的垂線交于點，交延長線于點，連接，.
求證：； 若，，， 求的長.
23．（12分）某學(xué)校為增加體育館觀眾坐席數(shù)量，決定對體育館進行施工改造．如圖，為體育館改造的截面示意圖．已知原座位區(qū)最高點A到地面的鉛直高度AC長度為15米，原坡面AB的傾斜角∠ABC為45°，原坡腳B與場館中央的運動區(qū)邊界的安全距離BD為5米．如果按照施工方提供的設(shè)計方案施工，新座位區(qū)最高點E到地面的鉛直高度EG長度保持15米不變，使A、E兩點間距離為2米，使改造后坡面EF的傾斜角∠EFG為37°．若學(xué)校要求新坡腳F需與場館中央的運動區(qū)邊界的安全距離FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），請問施工方提供的設(shè)計方案是否滿足安全要求呢？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，tan37°≈）

24．（14分）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C.
（1）求證：AB=AC；
（2）若，求⊙O的半徑.




參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）
1、A
【解析】
過點P作PD⊥OB于D，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PC＝PD，再根據(jù)垂線段最短解答即可．
【詳解】
解：作PD⊥OB于D，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，
∴PD＝PC＝6cm，
則PD的最小值是6cm，
故選A．
【點睛】
考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2、C
【解析】
由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易證得△OAB是等邊三角形，繼而求得∠BAE的度數(shù)，由△OAB是等邊三角形，求出∠ADE的度數(shù)，又由AE=3，即可求得AB的長．
【詳解】
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∵AE⊥BD，AE=3，
∴AB=，
故選C．
【點睛】
此題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件和等邊三角形的判定方法證明△OAB是等邊三角形是解題關(guān)鍵．
3、C
【解析】
分析：設(shè)實際工作時每天綠化的面積為x萬平方米，根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率結(jié)合提前 30 天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程．
詳解：設(shè)實際工作時每天綠化的面積為x萬平方米，則原來每天綠化的面積為萬平方米，
依題意得：，即．
故選C．
點睛：考查了由實際問題抽象出分式方程．找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
4、B
【解析】
根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)確定a、b符號，把點A代入y=ax2+bx得到a與b數(shù)量關(guān)系，代入②，不等式kx≤ax2+bx的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的高低關(guān)系．
【詳解】
解：根據(jù)圖象拋物線開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，則a＞0，b＜0，則①錯誤
將A（1，2）代入y=ax2+bx，則2=9a+1b
∴b=，
∴a﹣b=a﹣（）=4a﹣＞-，故②正確；
由正弦定義sinα=，則③正確；
不等式kx≤ax2+bx從函數(shù)圖象上可視為拋物線圖象不低于直線y=kx的圖象
則滿足條件x范圍為x≥1或x≤0，則④錯誤．
故答案為：B．
【點睛】
二次函數(shù)的圖像，sinα公式，不等式的解集．
5、B
【解析】
根據(jù)整式的加減乘除乘方運算法則逐一運算即可。
【詳解】
A. ，故A選項錯誤。
B. ，故B選項正確。
C.，故C選項錯誤。
D. ，故D選項錯誤。
故答案選B.
【點睛】
本題考查整式加減乘除運算法則，只需熟記法則與公式即可。
6、D
【解析】試題分析：俯視圖是從上面看到的圖形．
從上面看，左邊和中間都是2個正方形，右上角是1個正方形，
故選D．
考點：簡單組合體的三視圖
7、B
【解析】
如圖，作PE⊥AB于E．
在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，
∴PE=AE=×60=n mile，
在Rt△PBE中，∵∠B=30°，
∴PB=2PE=n mile．
故選B．

8、C
【解析】
∠1的度數(shù)是正五邊形的內(nèi)角與正方形的內(nèi)角的度數(shù)的差，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求得角的度數(shù)，進而求解．
【詳解】
∵正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)是×（5-2）×180°=108°，正方形的內(nèi)角是90°，
∴∠1=108°-90°=18°．故選C
【點睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理、正五邊形和正方形的性質(zhì)，求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)是關(guān)鍵．
9、C
【解析】
作點A關(guān)于MN的對稱點A′,連接A′B，交MN于點P，則PA+PB最小，

連接OA′,AA′.
∵點A與A′關(guān)于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，
∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′，
∵點B是弧AN∧的中點，
∴∠BON=30 °，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B=
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=
故選：C.
10、D
【解析】
試題分析：根據(jù)積的乘方的性質(zhì)進行計算，然后直接選取答案即可．
試題解析：（ab2）3=a3?（b2）3=a3b1．
故選D．
考點：冪的乘方與積的乘方．

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11、
【解析】
【分析】河北四庫來水量為x億立方米，根據(jù)等量關(guān)系：河北四庫來水和丹江口水庫來水達50億立方米，列方程即可得.
【詳解】河北四庫來水量為x億立方米，則丹江口水庫來水量為（2x+1.82）億立方米，
由題意得：x+(2x+1.82)=50，
故答案為x+(2x+1.82)=50.
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意，找出等量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵.
12、17
【解析】
∵8是出現(xiàn)次數(shù)最多的，∴眾數(shù)是8，
∵這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，處于中間位置的兩個數(shù)都是9，∴中位數(shù)是9，
所以中位數(shù)與眾數(shù)之和為8+9=17.
故答案為17小時.
13、（，0）
【解析】
試題解析：過點B作BD⊥x軸于點D，

∵∠ACO+∠BCD=90°，
∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△ACO與△BCD中，
，
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC=BD，OA=CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD=3，BD=1，
∴B（3，1），
∴設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，
將B（3，1）代入y=，
∴k=3，
∴y=，
∴把y=2代入y=，
∴x=，
當(dāng)頂點A恰好落在該雙曲線上時，
此時點A移動了個單位長度，
∴C也移動了個單位長度，
此時點C的對應(yīng)點C′的坐標(biāo)為（，0）
故答案為（，0）.
14、10
【解析】
解：因為正多邊形的每個內(nèi)角都相等，每個外角都相等，根據(jù)相鄰兩個內(nèi)角和外角關(guān)系互補，可以求出這個多邊形的每個外角等于36°，因為多邊形的外角和是360°，所以這個多邊形的邊數(shù)等于360°÷36°=10，
故答案為：10
15、．
【解析】
根據(jù)題意，畫出樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖和概率公式求概率即可．
【詳解】
解：畫樹狀圖得：

共有9種等可能的結(jié)果，至少有一輛汽車向左轉(zhuǎn)的有5種情況，
至少有一輛汽車向左轉(zhuǎn)的概率是：．
故答案為：．
【點睛】
此題考查的是求概率問題，掌握樹狀圖的畫法和概率公式是解決此題的關(guān)鍵．
16、
【解析】
作輔助線，首先求出∠DAC的大小，進而求出旋轉(zhuǎn)的角度，即可得出答案．
【詳解】
如圖，分別連接OA、OB、OD；

∵OA=OB= ，AB=2，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
同理可證：∠OAD=45°，
∴∠DAB=90°；
∵∠CAB=60°，
∴∠DAC=90°?60°=30°，
∴旋轉(zhuǎn)角的正切值是，
故答案為：.
【點睛】
此題考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，解題關(guān)鍵在于作輔助線.
17、
【解析】
根據(jù)正弦和余弦的概念求解．
【詳解】
解：∵P是∠α的邊OA上一點，且P點坐標(biāo)為（3，4），

∴PB=4，OB=3，OP= =5,
故sinα= = , cosα= ,
∴sinα+cosα=,
故答案為
【點睛】
此題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，解答此類題目的關(guān)鍵是找出所求角的對應(yīng)邊．

三、解答題（共7小題，滿分69分）
18、見解析.
【解析】
（1）畫出⊙O的兩條直徑，交點即為圓心O．
（2）作直線AO交⊙O于F，直線BF即為所求．
【詳解】
解：作圖如下：
（1）；
（2）.
【點睛】
本題考查作圖?復(fù)雜作圖，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
19、（1）y＝x2+2x﹣3；（2）點P的坐標(biāo)為（2，21）或（﹣2，5）；（3）．
【解析】
（1）先根據(jù)點A坐標(biāo)及對稱軸得出點B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）利用（1）得到的解析式，可設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，a2+2a﹣3），則點P到OC的距離為|a|．然后依據(jù)S△POC＝2S△BOC列出關(guān)于a的方程，從而可求得a的值，于是可求得點P的坐標(biāo)；
（3）先求得直線AC的解析式，設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則點Q的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），然后可得到QD與x的函數(shù)的關(guān)系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．
【詳解】
解：（1）∵拋物線與x軸的交點A（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，
∴拋物線與x軸的交點B的坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），
將點C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，
解得a＝1，
則拋物線解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，a2+2a﹣3），則點P到OC的距離為|a|．
∵S△POC＝2S△BOC，
∴?OC?|a|＝2×OC?OB，即×3×|a|＝2××3×1，解得a＝±2．
當(dāng)a＝2時，點P的坐標(biāo)為（2，21）；
當(dāng)a＝﹣2時，點P的坐標(biāo)為（﹣2，5）．
∴點P的坐標(biāo)為（2，21）或（﹣2，5）．
（3）如圖所示：

設(shè)AC的解析式為y＝kx﹣3，將點A的坐標(biāo)代入得：﹣3k﹣3＝0，解得k＝﹣1，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3．
設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則點Q的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3）．
∴QD＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x2+3x+﹣）＝﹣（x+）2+，
∴當(dāng)x＝﹣時，QD有最大值，QD的最大值為．
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用．
20、（1）直線的表達式為，雙曲線的表達方式為；（2）點P的坐標(biāo)為或
【解析】
分析：（1）將點B（-1，4）代入直線和雙曲線解析式求出k和m的值即可；
（2）根據(jù)直線解析式求得點A坐標(biāo)，由S△ACP＝AC?|yP|＝4求得點P的縱坐標(biāo)，繼而可得答案．
詳解：（1）∵直線與雙曲線 （）都經(jīng)過點B（－1，4），
，
，
∴直線的表達式為，雙曲線的表達方式為.

（2）由題意，得點C的坐標(biāo)為C（－1，0），直線與x軸交于點A（3，0），
，
∵，
，
點P在雙曲線上，
∴點P的坐標(biāo)為或.
點睛：本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
21、
【解析】
分析：化簡絕對值、0次冪和負指數(shù)冪，代入30°角的三角函數(shù)值，然后按照有理數(shù)的運算順序和法則進行計算即可．
詳解：原式=+1﹣2×+=．
點睛：本題考查了實數(shù)的運算，用到的知識點主要有絕對值、零指數(shù)冪和負指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟記相關(guān)法則和性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
22、（1）詳見解析；（2）
【解析】
（1）根據(jù)題意平分可得，從而證明即可解答
（2）由（1）可知，再根據(jù)四邊形是平行四邊形可得，過點作延長線于點，再根據(jù)勾股定理即可解答
【詳解】
（1）證明：平分



又


又

（2）

四邊形是平行四邊形
，


為等邊三角形


過點作延長線于點.

在中，



【點睛】
此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作好輔助線
23、不滿足安全要求,理由見解析．
【解析】
在Rt△ABC中，由∠ACB=90°，AC=15m，∠ABC=45°可求得BC=15m；在Rt△EGD中，由∠EGD=90°，EG=15m，∠EFG=37°，可解得GF=20m；通過已知條件可證得四邊形EACG是矩形，從而可得GC=AE=2m；這樣可解得：DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2

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