4月23日考
萍鄉(xiāng)市2021－2022學(xué)年度高三二?？荚囋嚲?br>理 科 數(shù) 學(xué)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．滿分150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自已的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上．考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人的準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答題無效．
3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．
第Ⅰ卷
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
（1）設(shè)，，，則
A．B．C．D．
（2）復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為
A．B．
C．D．
（3）北京2022年冬奧會的成功舉辦，帶動了我國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運動市場需求得到釋放．下圖是2012-2019年我國已投入運營的室內(nèi)滑雪場數(shù)量（家）與同比增長率（與上一年相比）的統(tǒng)計情況，則下面說法錯誤的是
A．2012-2019年，我國室內(nèi)滑雪場的數(shù)量總體呈增長態(tài)勢
B．2013-2019年，我國室內(nèi)滑雪場的增速逐漸加快
C．2013-2019年，我國室內(nèi)滑雪場的增速在2017年觸底
D．2013-2019年，我國室內(nèi)滑雪場的增速在2018年首次出現(xiàn)正增長
（4）等比數(shù)列中，，，則
A．B．C．D．
（5）若函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為，則
A． B．C． D．
（6）在中，為邊上的中線，在線段上，，則
A． B．
C． D．
（7）某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為
A． B．
C． D．
（8）函數(shù)，若，，則的范圍是
A．B．C．D．
（9）拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點是準(zhǔn)線上的動點，若點在拋物線上，且，則的最小值為
A． B．C．D．
（10）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形小木塊（如圖所示），并且每一排小木塊數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個小木塊正好對準(zhǔn)上面一排兩個相鄰小木塊的正中央，從入口處放入一個直徑略小于兩個小木塊間隔的小球，當(dāng)小球從之間的間隙下落時，于是碰到下一排小木塊，它將以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通過間隙，又碰到下一排小木塊.如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)，則小球落到第 = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤個格子的概率是
A．B．C． D．
（11）已知雙曲線左頂點為，左、右焦點分別為，以為直徑的圓交雙曲線一條漸近線于兩點，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
（12）正方體棱長為，動點在線段上（含端點），以下結(jié)論不正確的為
A．三棱錐的體積為定值
B．過，，三點若可作正方體的截面，則截面圖形為三角形或平面四邊形
C．當(dāng)點和重合時，三棱錐的外接球體積為
D．直線與面所成角的正弦值的范圍為
萍鄉(xiāng)市2021－2022學(xué)年度高三二?？荚囋嚲?br>理 科 數(shù) 學(xué)
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求做答.
二、填空題:本大題共4小題，每小題5分．
（13）若實數(shù)滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________．
（14）在的方格中放入1個白球和完全相同的2個黑球，每一行、每一列各只有一個球，每球占一格，則不同的放法種數(shù)為__________．（結(jié)果用數(shù)字作答）
（15）已知函數(shù)，等差數(shù)列滿足，則
__________．
（16）若函數(shù)的最小值為，則函數(shù)的最小值為__________．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（17）（本小題滿分12分）
在中，角,,所對邊分別為,,，現(xiàn)有下列四個條件：①；②；③；④．
(1)題干中的③與④兩個條件可以同時成立嗎？請說明理由；
(2)請選擇一組使有解的三個條件，并求的面積．
（18）（本小題滿分12分）
如圖，在五面體中，已知平面，，為正三角形，且．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
（19）（本小題滿分12分）
若四點恰有三點在橢圓上．
(1)求橢圓的方程；
(2)動直線與橢圓交于兩點，中點為，連(其中為坐標(biāo)原點)交橢圓于兩點，證明：．
（20）（本小題滿分12分）
為慶祝建黨一百周年，某衛(wèi)視開展了“學(xué)黨史”知識競賽答題活動，每位參賽嘉賓共需要回答（，且）次答題，以獲得扶貧基金．若每次回答正確的概率為，回答錯誤的概率為，且各次答題相互獨立．規(guī)定第一次答題時，若回答正確得200元，回答錯誤得100元．第二次答題時，設(shè)置了兩種答題方案供參賽嘉賓選擇．方案一：若回答正確得500元，回答錯誤得0元；方案二：若回答正確則獲得上一次獲得答題基金的兩倍，回答錯誤得100元．從第三次答題開始執(zhí)行第二次答題所選方案，直到答題結(jié)束．
(1)如果，參賽嘉賓甲應(yīng)該選擇何種方案參加比賽答題更加有利？并說明理由；
(2)記參賽嘉賓甲第i次獲得的基金為，期望為，且選擇方案二．記，請直接寫出用表示的表達(dá)式，并求．
參考數(shù)據(jù)：，．
（21）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
(1)求在上的值域；
(2)若函數(shù)，試討論的零點個數(shù)．
請考生在第22，23兩題中任選一題做答.只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題記分.做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題號后方框涂黑.
（22）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；
(2)若是曲線上的兩點，且，求的最小值．
（23）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)．
(1)解不等式 QUOTE ；
(2)若不等式 QUOTE 恒成立，求實數(shù) QUOTE 的取值范圍．
萍鄉(xiāng)市2021－2022學(xué)年度高三二?？荚?br>理科數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（12×5=60分） BCBCA； BCADA； BD．
二、填空題（4×5=20分） 13．； 14．； 15．； 16. .
三、解答題（共75分）
17. 解：(1)
，即2分
又，由余弦定理知，即4分
不符合
所以 = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④兩個條件不可以同時成立6分
(2)若選擇 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③，由(1)可知，由，
則，9分
所以12分
若選擇 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④，由，代入 = 4 \* GB3 ④得
9分
由(1)可知，則12分
18.解：(1)取中點，中點，連接，，2分
且，又，，，且
所以四邊形是平行四邊形，，且
又平面，平面，平面平面；
，4分
又平面平面，平面，平面，平面，
又平面，所以平面平面6分
(2)由(1)知，，且，平面，平面平面；以為原點，，所在直線為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，……7分
則，，………………………………8分
設(shè)平面法向量為，則，取9分
又，則，又平面平面，平面，
所以平面，即為平面的一個法向量，10分
11分
顯然二面角為鈍角，故其余弦值為12分
19.解：（1）由于，，兩點關(guān)于原點對稱，必在橢圓上1分
則，且3分
所以必在橢圓上，即有，，橢圓；4分
（2）設(shè)，，聯(lián)立，得5分
則，7分
，則8分
聯(lián)立，9分
10分
11分
12分
20．（1）若甲第2次答題選方案一，記兩次答題累計基金為，則可能取700，600，200，100．
，，，，
則累計基金的期望．2分
若甲第2次答題選方案二，記兩次答題累計基金為，則可能取600，300，200．
則，，，
則累計基金的期望．4分
因為，所以應(yīng)選擇方案一．5分
（2）依題意得6分
的可能取值為200，100，其分布列為
所以，7分
則，由得：，
所以為等比數(shù)列．其中首項為，公比為．9分
所以，故．10分
元12分
21.（1），
當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞增；故在上單調(diào)遞增，，即的值域為；4分
（2）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當(dāng)，即時，在遞減，在遞增，，即有唯一的零點；5分
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)，即時，在遞增，在遞減，，即有唯一的零點；6分
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③當(dāng)，即時，有兩根和，其中
在和遞增，在遞減，
當(dāng)，即時，在有一個零點，在有一個零點，即有兩個零點；7分
當(dāng)，即時，在無零點，在有一個零點，即有唯一零點；8分
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④當(dāng)時，，恰有一個零點；9分
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤當(dāng)，即時，有兩根和，其中
在和遞增，在遞減
當(dāng)，即時，在有一個零點，在無零點，即有一個零點；10分
當(dāng)，即時，在有一個零點，在有一個零點，即有兩個零點；11分
綜上所述： 或或，存在一個零點；
或，存在兩個零點．12分
22.(1)由參數(shù)方程可得，2分
兩式相乘得普通方程為．4分
故曲線的極坐標(biāo)方程為，即．5分
(2)因為，所以可設(shè)，，6分
9分
故當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為．10分
23.（1）1分
當(dāng)時，，則2分
當(dāng)時，，則3分
當(dāng)時，，則4分
綜上，5分
（2）法一：令.
當(dāng)時，，故不合題意7分
當(dāng)時，如圖所示為的圖象，恒過定點，
故恒成立，又，則…………10分
法二：當(dāng)時，為，顯然成立， ……6分
當(dāng)時，化為……………………7分
令，則8分
當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立.9分
綜上知：10分
200
100
P

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