2021杭州學(xué)軍中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)含答案

這是一份2021杭州學(xué)軍中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)含答案，共17頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2020-2021學(xué)年浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（8個單選題，每題4分；2個多選題，每題5分；共42分）
1．復(fù)數(shù)z＝﹣i的虛部為（　?。?br /> A． B．﹣ C．i D．﹣i
2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，則實數(shù)k＝（　?。?br /> A．﹣ B．0 C．3 D．
3．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，則B的解的個數(shù)是（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．不確定
4．一個圓錐的表面積為π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，則該圓錐的高為（　?。?br /> A．1 B． C．2 D．2
5．已知向量，不共線，且向量λ+與+（2λ﹣1）的方向相反，則實數(shù)λ的值為（　?。?br /> A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣
6．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|＝（　?。?br /> A．1 B． C． D．2
7．若直線 l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
8．已知，為單位向量，|+|＝|﹣|，記是與+方向相同的單位向量，則在+方向上的投影向量為（　　）
A． B．﹣ C． D．
9．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（　　）
A．若|z1﹣z2|＝0，則＝
B．若z1＝，則＝z2
C．若|z1|＝|z2|，則z1?＝z2?
D．若|z1|＝|z2|，則z12＝z22
10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分線交BC于點D，AD＝1，cosA＝，以下結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．AC＝ B．AB＝8
C．＝ D．△ABD的面積為
二、填空題（6題，每題5分，共30分）
11．若1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復(fù)數(shù)根，則c＝　 　．
12．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為　 　．

13．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的體積為　 　．
14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，則△ABC的面積為　 　．
15．設(shè)P為△ABC所在平面上一點，且滿足（m＞0）．若△ABP的面積為8，則△ABC的面積為　 ?。?br /> 16．如圖，圓O是半徑為1的圓，OA＝，設(shè)B，C為圓上的任意2個點，則?的取值范圍是　 　．

三、解答題（4題，每題12分，共48分）
17．如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）設(shè)平面PBC∩平面PAD＝l，求證：l∥BC．

18．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0．
（1）求A；
（2）若AD為BC邊上的中線，cosB＝，AD＝，求△ABC的面積．

19．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點O．
（1）設(shè)＝x+y，求x+y的值；
（2）若＝6，求的值．

20．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．


參考答案
一、選擇題（8個單選題，每題4分；2個多選題，每題5分；共42分）
1．復(fù)數(shù)z＝﹣i的虛部為（　?。?br /> A． B．﹣ C．i D．﹣i
解：z＝﹣i的虛部為﹣，
故選：B．
2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，則實數(shù)k＝（　?。?br /> A．﹣ B．0 C．3 D．
解：∵＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）
∴2﹣3＝（2k﹣3，﹣6），
∵（2﹣3）⊥，
∴（2﹣3）?＝0'
∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）＝0，
解得，k＝3．
故選：C．
3．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，則B的解的個數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不確定
解：因為a＝80，b＝100，A＝30°，
由正弦定理得，，
所以sinB＝，
因為a＜b，
所以B＞A，
故B有兩解．
故選：C．
4．一個圓錐的表面積為π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，則該圓錐的高為（　?。?br /> A．1 B． C．2 D．2
解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，
∵它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，
∴圓錐的母線長為3r，
又∵圓錐的表面積為π，
∴πr（r+3r）＝π，
解得：r＝，l＝，
故圓錐的高h(yuǎn)＝＝，
故選：B．
5．已知向量，不共線，且向量λ+與+（2λ﹣1）的方向相反，則實數(shù)λ的值為（　?。?br /> A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣
解：與的方向相反，且不共線，
∴存在μ＜0，使，
∴，解得或1（舍去）．
故選：B．
6．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|＝（　?。?br /> A．1 B． C． D．2
解：∵復(fù)數(shù)z滿足＝i，
∴1+z＝i﹣zi，
∴z（1+i）＝i﹣1，
∴z＝＝i，
∴|z|＝1，
故選：A．
7．若直線 l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
解：A．l與l1，l2可以相交，如圖：
∴該選項錯誤；
B．l可以和l1，l2中的一個平行，如上圖，∴該選項錯誤；
C．l可以和l1，l2都相交，如下圖：
，∴該選項錯誤；
D．“l(fā)至少與l1，l2中的一條相交”正確，假如l和l1，l2都不相交；
∵l和l1，l2都共面；
∴l(xiāng)和l1，l2都平行；
∴l(xiāng)1∥l2，l1和l2共面，這樣便不符合已知的l1和l2異面；
∴該選項正確．
故選：D．
8．已知，為單位向量，|+|＝|﹣|，記是與+方向相同的單位向量，則在+方向上的投影向量為（　?。?br /> A． B．﹣ C． D．
解：由題意可得2+2＝2﹣4+2，可得＝，則＝1+＝，
設(shè)與+的夾角為α，則||?||cosα＝，
有||＝＝，故＝＝．
則在+方向上的投影向量為：．
故選：C．
9．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（　?。?br /> A．若|z1﹣z2|＝0，則＝
B．若z1＝，則＝z2
C．若|z1|＝|z2|，則z1?＝z2?
D．若|z1|＝|z2|，則z12＝z22
解：對（A），若|z1﹣z2|＝0，則z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以為真；
對（B）若，則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以為真；
對（C）設(shè)z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，則，
，所以為真；
對（D）若z1＝1，z2＝i，則|z1|＝|z2|為真，而，所以為假．
故選：ABC．
10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分線交BC于點D，AD＝1，cosA＝，以下結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．AC＝ B．AB＝8
C．＝ D．△ABD的面積為
解：因為b＝ccosA，
由正弦定理可得，sinB＝sinCcosA＝sin（A+C），
所以sinAcosC＝0，
因為sinA≠0，
所以cosC＝0即C＝，
∵＝cosA＝，
由角平分線定理可得，＝，
設(shè)AC＝x，AB＝8x，則BC＝3x，CD＝，
Rt△ACD中，由勾股定理可得，，
解可得x＝，即AC＝，AB＝6，
∵SABC＝＝，
所以S△ABD＝＝．
故選：ACD．

二、填空題（6題，每題5分，共30分）
11．若1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復(fù)數(shù)根，則c＝　3　．
解：因為1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復(fù)數(shù)根，所以1﹣i也是方程的根，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，所以b＝﹣2，c＝3．
故答案為：3．
12．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為　2+?。?br />
解：DC＝ABsin 45°＝，BC＝ABsin 45°+AD＝+1，
S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，
S＝S梯形ABCD＝2+．
故答案為：2+
13．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的體積為　?。?br /> 解：正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，
記為O，PO＝AO＝R，PO1＝4，OO1＝4﹣R，
在Rt△AO1O中，AO1＝，由勾股定理R2＝2+（4﹣R）2得R＝，
∴球的體積為．
故答案為：．

14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，則△ABC的面積為　　．
解：∵cosA＝，A為三角形的內(nèi)角，
∴sinA＝＝＝，
∵sinB＝cosC，且sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC＝cosC，則cosC+sinC＝cosC，
即sinC﹣cosC＝0，
由得，sinC＝，cosC＝，
∴sinB＝cosC＝，
又a＝，由正弦定理得，
則c＝＝＝，
∴△ABC的面積S＝＝＝，
故答案為：．
15．設(shè)P為△ABC所在平面上一點，且滿足（m＞0）．若△ABP的面積為8，則△ABC的面積為　14　．
解：由3+4＝m，
可得+＝，
可設(shè)＝+，
則D，A，C共線，且D在線段AC上，
可得＝，
即有D分AC的比為4：3，
即有C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的倍，
故S△ABC＝S△ABP＝×8＝14．
故答案為：14．

16．如圖，圓O是半徑為1的圓，OA＝，設(shè)B，C為圓上的任意2個點，則?的取值范圍是　　．

解：如圖，

設(shè)D是線段BC的中點，則OD⊥BC，連接OA，OB．OC，OD，設(shè)θ為和的夾角，
則 ?＝（﹣）?＝?﹣?＝||?||?∠BCO﹣||?||?cosθ
＝﹣|?cosθ≥﹣|＝（||﹣）2﹣，
∵||∈[0，2]，∴當(dāng)||＝時，? 有最小值為﹣，
當(dāng)||＝2且cosθ＝﹣1時，﹣|?cosθ有最大值為3，即 ? 有最大值為3，
故答案為：[﹣，3]．
三、解答題（4題，每題12分，共48分）
17．如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）設(shè)平面PBC∩平面PAD＝l，求證：l∥BC．

【解答】證明：（1）取PD的中點E，連接AE、NE，如圖所示：

由NE∥DC，且NE＝DC，
AM∥DC，且AM＝DC，
所以NE∥AM，且NE＝AM，
所以四邊形MNEA是平行四邊形，
所以MN∥AE，
又AE?平面PAD，MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD；
（2）因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
又因為平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥BC．
18．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0．
（1）求A；
（2）若AD為BC邊上的中線，cosB＝，AD＝，求△ABC的面積．

解：（1）由題意知，acosC+asinC﹣b﹣c＝0，
由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，
由sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）得，
sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，
則sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，
又sinC≠0，則sinA﹣cosA＝1，
化簡得，，即，
又0＜A＜π，所以A＝；
（2）在△ABC中，cosB＝得，sinB＝＝…
則sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB
＝＝…
由正弦定理得，＝＝…
設(shè)a＝7x、c＝5x，
在△ABD中，由余弦定理得：
AD2＝AB2+BD2﹣2?AB?BD?cosB，
，
解得x＝1，
則a＝7，c＝5…
所以△ABC的面積S＝＝…
19．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點O．
（1）設(shè)＝x+y，求x+y的值；
（2）若＝6，求的值．

解：（1）△ABC中，D是BC的中點，BE＝2EA，AD與CE交于點O．
設(shè)＝x+y＝x+y（﹣）＝﹣x﹣y+y＝（﹣x﹣y）+y，
又＝，＝，
所以＝（﹣x﹣y）+y，
所以﹣x﹣y+y＝1，①
又＝﹣（x+y）+2y，
所以﹣（x+y）+2y＝1，②
由①②組成方程組解得，
所以x+y＝﹣＝﹣；
（2）設(shè)＝m＝m（+），
＝+＝+n＝+n（﹣）＝（1﹣n）+n＝+n；
所以，，
所以＝＝（+），＝﹣＝﹣+，
所以6?＝6×（+）?（﹣+）＝﹣+?+；
又?＝6，
所以0＝﹣+，
所以＝3，
所以＝．

20．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．
解：（1）若f（0）≥1，則﹣a|a|≥1，
∵|a|＞0，∴﹣a＞0
∴?a≤﹣1
（2）當(dāng)x≥a時，f（x）＝3x2﹣2ax+a2，∴，
如圖所示：

當(dāng)x≤a時，f（x）＝x2+2ax﹣a2，
∴．

綜上所述：．
（3）x∈（a，+∞）時，h（x）≥1，
得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△＝4a2﹣12（a2﹣1）＝12﹣8a2
當(dāng)a≤﹣或a≥時，△≤0，x∈（a，+∞）；
當(dāng)﹣＜a＜時，△＞0，得：
即
進而分2類討論：
當(dāng)﹣＜a＜﹣時，a＜，
此時不等式組的解集為（a，]∪[，+∞）；
當(dāng)﹣≤a≤時，＜a＜；
此時不等式組的解集為[，+∞）．
當(dāng)＜x＜，a＞；
此時不等式組的解集為（a，+∞）．
綜上可得，
當(dāng)a∈（﹣∞，﹣]∪（，+∞）時，不等式組的解集為（a，+∞）；
當(dāng)a∈（﹣，﹣）時，不等式組的解集為（a，]∪[，+∞）；
當(dāng)a∈[﹣，]時，不等式組的解集為[，+∞）．