中考命題說明
思維導(dǎo)圖
知識點(diǎn)1： 反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)
知識點(diǎn)梳理
1.反比例函數(shù)的概念：
一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù).反比例函數(shù)的解析式也可以寫成或xy=k(k≠0)的形式.自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù).
2.反比例函數(shù)的圖象：
反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對稱.關(guān)于直線y=x，y=-x成軸對稱.由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸.
3.反比例函數(shù)的性質(zhì)：
(1)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.在兩支上，第一象限y值大于第三象限y值.
(2)當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，列出不等式，解答即可.
【解答】∵反比例函數(shù)y＝eq \f(a－2,x)(a是常數(shù))的圖象在第一、三象限，
∴a-2>0，
即：a>2.
故答案為：D.
【例2】（2019·天津市10/25）若點(diǎn)A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】分別計(jì)算出自變量為﹣3、﹣2和1對應(yīng)的函數(shù)值，從而得到y(tǒng)1，y2，y3的大小關(guān)系．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣3，y1＝﹣＝4；
當(dāng)x＝﹣2，y2＝﹣＝6；
當(dāng)x＝1，y3＝﹣＝﹣12，
所以y3＜y1＜y2．
故選：B．
【例3】（2019?赤峰11/26）如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M．若△POM的面積等于2，則k的值等于（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【答案】A
【分析】利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到|k|＝2，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)和絕對值的意義確定k的值．
【解答】解：∵△POM的面積等于2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故選：A．
知識點(diǎn)2： 反比例函數(shù)解析式的確定
知識點(diǎn)梳理
1.反比例函數(shù)解析式的確定：
確定的方法仍是待定系數(shù)法.由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式.
2.求反比例函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：
(1)設(shè)出函數(shù)的一般形式．
(2)根據(jù)已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)代入表達(dá)式得到關(guān)于k的方程．
(3)解方程，求得k的值．
(4)將所求得的k的值代入到函數(shù)表達(dá)式中．
典型例題
【例4】（2019·安徽省5/23）已知點(diǎn)A（1，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）
A．3B．C．﹣3D．
【答案】A．
【分析】先根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A'的坐標(biāo)為（1，3），然后把A′的坐標(biāo)代入y＝中即可得到k的值．
【解答】解：點(diǎn)A（1，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故選：A．
知識點(diǎn)3： 反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
知識點(diǎn)梳理
1.反比例函數(shù)應(yīng)用問題的求解思路：
建立反比例函數(shù)模型→求出反比例函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)做出解答．
2.利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型：
建立函數(shù)模型的思路主要有兩種：
(1)已知函數(shù)類型，直接設(shè)出函數(shù)的解析式，根據(jù)題目提供的信息求得k的值；
(2)題目本身未明確表明變量間的函數(shù)關(guān)系，此時(shí)需通過分析，先確定變量間的關(guān)系，再求解析式.
典型例題
【例5】（2019·河北省24/26）長為300 m的春游隊(duì)伍，以v（m/s）的速度向東行進(jìn)，如圖1和圖2，當(dāng)隊(duì)伍排尾行進(jìn)到位置O時(shí)，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均為2v（m/s），當(dāng)甲返回排尾后，他及隊(duì)伍均停止行進(jìn)．設(shè)排尾從位置O開始行進(jìn)的時(shí)間為t（s），排頭與O的距離為S頭（m）．

（1）當(dāng)v＝2時(shí)，解答：
①求S頭與t的函數(shù)關(guān)系式（不寫t的取值范圍）；
②當(dāng)甲趕到排頭位置時(shí)，求S頭的值；在甲從排頭返回到排尾過程中，設(shè)甲與位置O的距離為S甲（m），求S甲與t的函數(shù)關(guān)系式（不寫t的取值范圍）
（2）設(shè)甲這次往返隊(duì)伍的總時(shí)間為T（s），求T與v的函數(shù)關(guān)系式（不寫v的取值范圍），并寫出隊(duì)伍在此過程中行進(jìn)的路程．
【分析】（1）①排頭與O的距離為S頭（m）．等于排頭行走的路程+隊(duì)伍的長300，而排頭行進(jìn)的時(shí)間也是t（s），速度是2 m/s，可以求出S頭與t的函數(shù)關(guān)系式；
②甲趕到排頭位置的時(shí)間可以根據(jù)追及問題的數(shù)量關(guān)系得出，代入求S即可；在甲從排頭返回到排尾過程中，設(shè)甲與位置O的距離為S甲（m）是在S的基礎(chǔ)上減少甲返回的路程，而甲返回的時(shí)間（總時(shí)間t減去甲從排尾趕到排頭的時(shí)間），于是可以求S甲與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）甲這次往返隊(duì)伍的總時(shí)間為T（s），是甲從排尾追到排頭用的時(shí)間與從排頭返回排尾用時(shí)的和，可以根據(jù)追及問題和相遇問題的數(shù)量關(guān)系得出結(jié)果；在甲這次往返隊(duì)伍的過程中隊(duì)伍行進(jìn)的路程＝隊(duì)伍速度×返回時(shí)間．
【解答】解：（1）①排尾從位置O開始行進(jìn)的時(shí)間為t（s），則排頭也離開原排頭t（s），
∴S頭＝2t+300
②甲從排尾趕到排頭的時(shí)間為300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此時(shí)S頭＝2t+300＝600 m
甲返回時(shí)間為：（t﹣150）s
∴S甲＝S頭﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；
因此，S頭與t的函數(shù)關(guān)系式為S頭＝2t+300，當(dāng)甲趕到排頭位置時(shí)，求S的值為600 m，在甲從排頭返回到排尾過程中，S甲與t的函數(shù)關(guān)系式為S甲＝﹣4t+1200．
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，
在甲這次往返隊(duì)伍的過程中隊(duì)伍行進(jìn)的路程為：v×＝400；
因此T與v的函數(shù)關(guān)系式為：T＝，此時(shí)隊(duì)伍在此過程中行進(jìn)的路程為400 m．

鞏固訓(xùn)練

1.（2019?保定定州期末）點(diǎn)M(a，2a)在反比例函數(shù)y＝eq \f(8,x)的圖象上，那么a的值是( )
A. 4 B. －4 C. 2 D. ±2
2.（2019?河北省12/26）如圖，函數(shù)y＝的圖象所在坐標(biāo)系的原點(diǎn)是（ ）
A．點(diǎn)MB．點(diǎn)NC．點(diǎn)PD．點(diǎn)Q
3.（2019?通遼9/26）關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x＜y，則直線y＝kx﹣k﹣1與雙曲線y＝在同一平面直角坐標(biāo)系中大致圖象是（ ）
A． B．C．D．
4.（2018?包頭19/26）以矩形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于兩邊的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，BE⊥AC，垂足為E．若雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)D，則OB?BE的值為 ．
5.（2019?北京市13/28）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（a，b）（a＞0，b＞0）在雙曲線y＝上，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B在雙曲線y＝，則k1+k2的值為 ．
6.（2018?赤峰16/26）如圖，已知一次函數(shù)y＝﹣x+b與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)P，則關(guān)于x的方程﹣x+b＝的解是 ．

7.（2019?呼和浩特23/25）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCAB（OC＞OB）的對角線長為5，周長為14．若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過矩形頂點(diǎn)A．
（1）求反比例函數(shù)解析式；若點(diǎn)（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，試比較y1與y2的大小；
（2）若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過點(diǎn)A并與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），求出一次函數(shù)解析式，并直接寫出kx+b﹣＜0成立時(shí)，對應(yīng)x的取值范圍．
8.（2019?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝eq \f(1,2)x＋5和y＝－2x的圖象相交于點(diǎn)A，反比例函數(shù)y＝eq \f(k,x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)設(shè)一次函數(shù)y＝eq \f(1,2)x＋5的圖象與反比例函數(shù)y＝eq \f(k,x)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為B，連接OB，求△ABO的面積．
9.紅星糧庫需要把晾曬場上的k噸玉米入庫封存．已知該糧庫有職工60名，入庫所需的時(shí)間t(單位：天)與入庫速度y(單位：噸/天)之間的關(guān)系如圖所示．
(1)求時(shí)間t與入庫速度y之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若糧庫工人用4天時(shí)間能將玉米全部入庫，求每名工人每天能入庫幾噸；
(3)在（2）的條件下，糧庫的職工連續(xù)工作了兩天后，天氣預(yù)報(bào)報(bào)道在未來的幾天很可能會下雨，糧庫決定次日把剩下的玉米全部入庫，需要增加多少名職工才能完成任務(wù)．
鞏固訓(xùn)練參考答案
1. 【解答】∵點(diǎn)M(a，2a)在反比例函數(shù)y＝eq \f(8,x)的圖象上，∴2a＝eq \f(8,a).解得a＝±2，故選D.
2. 【分析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)關(guān)于y軸對稱，即可求解；
【解答】解：由已知可知函數(shù)y＝關(guān)于y軸對稱，
所以點(diǎn)M是原點(diǎn)；
故選：A．
3. 【分析】關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x＜y確定k的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)確定圖象即可．
【解答】解：二元一次方程組中第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程得：x﹣y＝﹣5k，
∵關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴﹣5k＜0，
即：k＞0，
∴y＝kx﹣k﹣1經(jīng)過一三四象限，雙曲線y＝的兩個(gè)分支位于一三象限，B選項(xiàng)符合，
故選：B．
4. 【分析】由雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)D知S△ODF＝k＝，由矩形性質(zhì)知S△AOB＝2S△ODF＝，據(jù)此可得OA?BE＝3，根據(jù)OA＝OB可得答案．
【解答】解：如圖，
∵雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)D，
∴S△ODF＝k＝，
則S△AOB＝2S△ODF＝，即OA?BE＝，
∴OA?BE＝3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∴OB?BE＝3，
故答案為：3．
5. 【分析】由點(diǎn)A（a，b）（a＞0，b＞0）在雙曲線y＝上，可得k1＝ab，由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱，可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出k2，然后得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn)A（a，b）（a＞0，b＞0）在雙曲線y＝上，
∴k1＝ab；
又∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱，
∴B（a，﹣b）
∵點(diǎn)B在雙曲線y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案為：0．
6. 【分析】根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)解方程，可得答案．
【解答】解：由圖象，得
y＝﹣x+b與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象相交于點(diǎn)P（1，2），
把P點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
﹣1+b＝2，k＝1×2＝2，
解得b＝3，k＝2
關(guān)于x的方程﹣x+b＝，即﹣x+3＝，
解得x1＝1，x2＝2，
故答案為：x1＝1，x2＝2．
7. 【解答】解：（1）根據(jù)題意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函數(shù)y＝中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函數(shù)為：y＝，
∵點(diǎn)（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴當(dāng)a＜﹣1時(shí)，﹣a＞0，a+1＜0，則點(diǎn)（﹣a，y1）和（a+1，y2）分別在第一象限和第三象限的反比例函數(shù)的圖象上，于是有y1＞y2；
當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜時(shí)，y1＜y2，若﹣a＝a+1，即a＝時(shí)，y1＝y(tǒng)2，若﹣a＜a+1，即＜a＜0時(shí)，y1＞y2；
當(dāng)a＞0時(shí)，﹣a＜0，a+1＞0，則點(diǎn)（﹣a，y1）和（a+1，y2）分別在第三象限和第一象限的反比例函數(shù)的圖象上，于是有y1＜y2；
綜上，當(dāng)a＜﹣1時(shí)，y1＞y2；當(dāng)﹣1＜a＜時(shí)，y1＜y2；當(dāng)a＝時(shí)，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)＜a＜0時(shí)，y1＞y2；當(dāng)a＞0時(shí)，y1＜y2．
（2）∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過點(diǎn)A（3，4）并與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），
∴，解得，，
∴一次函數(shù)的解析式為：y＝x+1；
解方程組，得，，
∴一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于兩點(diǎn)（﹣4，﹣3）和（3，4），
當(dāng)一次函數(shù)y＝kx+b的圖象在反比例函數(shù)y＝的圖象下方時(shí)，x＜﹣4或0＜x＜3，
∴kx+b﹣＜0成立時(shí)，對應(yīng)x的取值范圍：x＜﹣4或0＜x＜3．
8. 【解答】解：(1)聯(lián)立一次函數(shù)y＝eq \f(1,2)x＋5與正比例函數(shù)y＝－2x得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋5,y＝－2x)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝－2,y＝4)))，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，4)．
∵反比例函數(shù)y＝eq \f(k,x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，
∴k＝－2×4＝－8.
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝－eq \f(8,x)；
(2)如解圖，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A，B作x軸的垂線，垂足記為E，D.
聯(lián)立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋5,y＝－\f(8,x)))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－8,y＝1))，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－8，1)．
∴AE＝4，BD＝1.
令y＝eq \f(1,2)x＋5＝0，解得x＝－10，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－10，0)．
∴CO＝10.
∴S△AOB＝S△AOC－S△BOC
＝eq \f(1,2)OC·AE－eq \f(1,2)OC·BD
＝eq \f(1,2)×10×4－eq \f(1,2)×10×1
＝15.
9. 【解答】解：(1)設(shè)入庫時(shí)間t與入庫速度y的函數(shù)關(guān)系為：y＝eq \f(k,t)，
代入可得60＝eq \f(k,20)，解得k＝1200，
∴t與y之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq \f(1200,t)；
(2)當(dāng)t＝4時(shí)，y＝eq \f(1200,4)＝300噸/天，
∴每名工人每天入庫為eq \f(300,60)＝5噸；
(3)設(shè)需要增加x名職工才能完成任務(wù)，
根據(jù)題意可列方程為：300÷60×(60＋x)＝1200－300×2，
解得：x＝60.
答：需要增加60名職工才能完成任務(wù)．考點(diǎn)
課標(biāo)要求
考查角度
1
反比例函數(shù)的意義和函數(shù)表達(dá)式
結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)表達(dá)式
常以選擇題、填空題的形式考查反比例函數(shù)的意義和函數(shù)解析式的求法，部分地市以解答題的形式考查
2
反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和解析表達(dá)式y(tǒng)＝eq \f(k,x)(k≠0)探索并理解其性質(zhì)(k>0或k

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