?2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設(shè)集合A={x|1≤x≤3}，B={x|21)，則，
整理可得：，
，
數(shù)列的通項公式為：.
(2)由于：，故：


.
【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ).
19.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：






32
18
4

6
8
12

3
7
10

（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：











（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？
附：，

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828



【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；
（3）計算出，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.
【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，
所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；
（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：




合計

64
16
80

10
10
20
合計
74
26
100



（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得
，
因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).
【點睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.
20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．

（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；
（2）根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點的坐標(biāo)，設(shè)出點，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【詳解】（1）證明：
在正方形中，，
因為平面，平面，
所以平面，
又因為平面，平面平面，
所以，
因為在四棱錐中，底面是正方形，所以
且平面，所以
因為
所以平面；
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因為，則有，
設(shè)，則有，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以平面的一個法向量為，則

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.
21.已知橢圓C：過點M（2，3）,點A為其左頂點，且AM的斜率為 ，
（1）求C的方程；
（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.
【答案】（1）；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；
(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時點N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.
【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.
當(dāng)y=0時，解得，所以a=4，
橢圓過點M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，
如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點為N，此時△AMN的面積取得最大值.

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，
可得：，
化簡可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，
直線AM方程為：，
點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，
利用平行線之間的距離公式可得：，
由兩點之間距離公式可得.
所以△AMN的面積的最大值：.
【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
22.已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點斜式得切線方程，求出與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；
（2）解法一：利用導(dǎo)數(shù)研究，得到函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)遞增，當(dāng)a=1時由得,符合題意；當(dāng)a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.
解法二：利用指數(shù)對數(shù)的運算可將,
令,上述不等式等價于,注意到的單調(diào)性，進(jìn)一步等價轉(zhuǎn)化為，令,利用導(dǎo)數(shù)求得，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的意義得到關(guān)于a的對數(shù)不等式，解得a的取值范圍.
【詳解】（1），，.
，∴切點坐標(biāo)為(1,1+e),
∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為,
∴所求三角形面積為;
（2）解法一：,
，且
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，,∴,∴成立.
當(dāng)時， ，，,
∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當(dāng)時， ∴不是恒成立.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
解法二：等價于
,
令,上述不等式等價于,
顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價于，即，
令,則
在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)

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