第二十三講 橢圓及其方程-2022年新高二年級數(shù)學(xué)暑假精品課程（人教A版2019）練習(xí)題

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?第二十三講 橢圓及其方程
【考點(diǎn)剖析】
1.橢圓的定義
平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.
其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a＞c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a＜c，則集合P為空集.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形


性質(zhì)范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一　橢圓的定義及其應(yīng)用
【例1】 (1)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是(　　)

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓
(2)設(shè)P為橢圓C：＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且△PF1F2的重心為點(diǎn)G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面積為(　　)
A.24 B.12 C.8 D.6
解析　(1)連接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因為點(diǎn)A在圓內(nèi)，所以|OA|＜|OP|，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓.
(2)∵P為橢圓C：＋＝1上一點(diǎn)，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
∵△PF1F2的重心為點(diǎn)G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，
∴△GPF1的面積為8.
答案　(1)A　(2)C
規(guī)律方法　(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：判斷平面內(nèi)動點(diǎn)的軌跡是否為橢圓，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.
(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.
考點(diǎn)二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】 (1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(2，0)和(0，1)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.
解析　(1)設(shè)圓M的半徑為r，
則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝＝＝4，
故所求的軌跡方程為＋＝1.
(2)法一　當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1 (a>b>0).
∵橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(2，0)，(0，1)，
∴　解得
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1；
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1 (a>b>0).
∵橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(2，0)，(0，1)，
∴　解得
與a>b矛盾，故舍去.
綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
法二　設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵橢圓過(2，0)和(0，1)兩點(diǎn)，
∴　解得
綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
答案　(1)D　(2)＋y2＝1
規(guī)律方法　根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法有：
(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.
(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.
考點(diǎn)三　橢圓的幾何性質(zhì)　
角度1　橢圓的長軸、短軸、焦距
【例3－1】 已知橢圓＋＝1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
解析　因為橢圓＋＝1的長軸在x軸上，所以解得60)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
解析　由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，

設(shè)|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，過P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，則∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，
|PE|＝c，即點(diǎn)P(2c，c).∵點(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為的直線上，
∴＝，解得＝，∴e＝.
答案　D
角度3　與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值或范圍問題
【例3－3】 設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　)
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
解析?、佼?dāng)焦點(diǎn)在x軸上，依題意得
00，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2