1．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)且(a－b)⊥b，則m＝( )
A．－8 B．－5
C．5 D．8
解析：由(a－b)⊥b知：(a－b)·b＝0，所以a·b－b2＝0，即3－2m－13＝0，
所以m＝－5.
答案：B
2．已知平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．4 D．12
解析：由題得，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cs 60°＋4＝12.所以|a＋2b|＝2eq \r(3).
答案：B
3．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為( )
A．12 B．8
C．－8 D．2
解析：∵|a|cs〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉＝3×4＝12.
答案：A
4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝( )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
解析：由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故選D.
答案：D
5．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，eq \r(3))，且(a－b)⊥b，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A．－2eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．4eq \r(3) D．6eq \r(3)
解析：因?yàn)閍＝(－2，m)，b＝(1，eq \r(3))，所以a－b＝(－2，m)－(1，eq \r(3))＝(－3，m－eq \r(3))．由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－eq \r(3))·(1，eq \r(3))＝－3＋eq \r(3)m－3＝eq \r(3)m－6＝0，解得m＝2eq \r(3)，故選B.
答案：B
6．若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a，b夾角θ的余弦值為________．
解析：|a|＝|a＋2b|，兩邊平方得，|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b
＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|·cs θ.
又考慮到|a|＝3|b|，
所以0＝4|b|2＋12|b|2cs θ，得cs θ＝－eq \f(1,3).
答案：－eq \f(1,3)
7．(濟(jì)南模擬)已知A(－1，cs θ)，B(sin θ，1)若|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則銳角θ＝________.
解析：利用幾何意義求解：由已知可得，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))是以O(shè)A，OB為鄰邊所作平行四邊形OADB的對(duì)角線向量eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))則是對(duì)角線向量eq \(BA,\s\up6(→))，由對(duì)角線相 等的平行四邊形為矩形．知OA⊥OB.因此eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，所以銳角θ＝eq \f(π,4).
答案：eq \f(π,4)
8．已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________.
解析：由題意，將b·c＝[t a＋(1－t)b]·b整理得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝eq \f(1,2)，所以t＝2.
答案：2
9.如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，點(diǎn)M在AB邊上，且AM＝eq \f(1,3)AB，則eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))等于__________．
解析：因?yàn)閑q \(DM,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))·(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝|eq \(DA,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,3)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋eq \f(4,3)eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝1＋eq \f(4,3)－eq \f(4,3)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(7,3)－eq \f(4,3)|eq \(AD,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs 60°＝eq \f(7,3)－eq \f(4,3)×1×2×eq \f(1,2)＝1.
答案：1
B組 能力提升練
10．已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3).若n⊥(tm＋n)，則實(shí)數(shù)t的值為( )
A．4 B．－4
C.eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
解析：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－eq \f(n2,m·n)＝－eq \f(n2,|m|·|n|cs〈m，n〉)＝－eq \f(|n|2,|m|×|n|×\f(1,3))＝－3×eq \f(|n|,|m|)＝－3×eq \f(4,3)＝－4.故選B.
答案：B
11．在△ABC中，C＝90°，且|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝3，點(diǎn)M滿足：eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，則eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：由題意可得eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，∴eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(CB,\s\up6(→))))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB2,\s\up6(→))＝0＋eq \f(1,3)×9＝3，故選C.
答案：C
12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2,1)，則eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：由四邊形ABCD是平行四邊形，知eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.
答案：A
13．(濟(jì)南模擬)設(shè)非零向量a與b的夾角是eq \f(5π,6)，且|a|＝|a＋b|，則eq \f(|2a＋tb|,|b|)的最小值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(2,3)
解析：因?yàn)榉橇阆蛄縜與b的夾角是eq \f(5π,6)，且|a|＝|a＋b|，
所以|a|2＝|a＋b|2
＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cs eq \f(5π,6)，
所以|b|2－eq \r(3)|a||b|＝0，所以|b|＝eq \r(3)|a|，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|2a＋tb|,|b|)))2＝eq \f(4|a|2＋t2|b|2＋4ta·b,|b|2)
＝eq \f(4|a|2＋t2·3|a|2－6t|a|2,3|a|2)＝t2－2t＋eq \f(4,3)
＝(t－1)2＋eq \f(1,3)，
所以當(dāng)t＝1時(shí)，eq \f(|2a＋tb|,|b|)取最小值eq \r(\f(1,3))＝eq \f(\r(3),3).
答案：B
14．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，若eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝3，則AC的長(zhǎng)是________．
解析：因?yàn)閑q \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(DB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)\(BA,\s\up6(→))＋\(BC,\s\up6(→))))
＝eq \f(4,9)eq \(BA2,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝4－eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝3，
所以eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)，
所以3×2×cs B＝eq \f(3,2)，所以cs B＝eq \f(1,4).
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B＝10.
所以AC＝eq \r(10).
答案：eq \r(10)
15．已知向量a＝(cs x，sin x)，b＝(3，－eq \r(3))，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．
解析：(1)因?yàn)閍＝(cs x，sin x)，b＝(3，－eq \r(3))，a∥b，所以－eq \r(3)cs x＝3sin x.
若cs x＝0，則sin x＝0，與sin2x＋cs2x＝1矛盾，故cs x≠0.于是tan x＝－eq \f(\r(3),3).又x∈[0，π]，所以x＝eq \f(5π,6).
(2)f(x)＝a·b＝(cs x，sin x)·(3，－eq \r(3))＝3cs x－eq \r(3)sin x＝2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
從而－1≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≤eq \f(\r(3),2).
于是，當(dāng)x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，即x＝0時(shí)，f(x)取到最大值3；
當(dāng)x＋eq \f(π,6)＝π，即x＝eq \f(5π,6)時(shí)，f(x)取到最小值－2eq \r(3).

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