1．已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得∠AB＝120°，則A，C兩地間的距離為( )
A．10 km B．10eq \r(3) km
C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km
解析：如圖所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cs 120°＝700，
∴AC＝10eq \r(7)(km)．
答案：D
2.(銀川一中月考)如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為( )
A．50eq \r(2) m B．50eq \r(3) m
C．25eq \r(2) m D.eq \f(25\r(2),2) m
解析：由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin B)，
∴AB＝eq \f(AC·sin∠ACB,sin B)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)，故A，B兩點(diǎn)的距離為50eq \r(2) m.
答案：A
3．某位居民站在離地20 m高的陽臺(tái)上觀測(cè)到對(duì)面小高層房頂?shù)难鼋菫?0°，小高層底部的俯角為45°，那么這棟小高層的高度為( )
A．20(1＋eq \f(\r(3),3))m B．20(1＋eq \r(3))m
C．10(eq \r(2)＋eq \r(6))m D．20(eq \r(2)＋eq \r(6))m
解析：如圖，設(shè)AB為陽臺(tái)的高度，CD為小高層的高度，AE為水平線．由題意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20 m，CE＝20eq \r(3) m．所以CD＝20(1＋eq \r(3))m.故選B.
答案：B
4．某船開始看見燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行15 km后，看見燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是( )
A．5 km B．10 km
C．5eq \r(3) km D．5eq \r(2) km
解析：作出示意圖(如圖)，點(diǎn)A為該船開始的位置，點(diǎn)B
為燈塔的位置，點(diǎn)C為該船后來的位置，所以在△ABC中，
有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，
由正弦定理，得eq \f(15,sin 120°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
即BC＝eq \f(15×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝5eq \r(3)，即這時(shí)船與燈塔的距離是5eq \r(3) km.
答案：C
5．為繪制海底地貌圖，測(cè)量海底兩點(diǎn)C，D之間的距離，
海底探測(cè)儀沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，
C，D在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，海底探測(cè)儀測(cè)得∠BAC
＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，
A，B兩點(diǎn)的距離為eq \r(3) 海里，則C，D之間的距
離為( )
A.eq \r(5) 海里 B．2 海里
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),2))) 海里 D．(eq \r(2)＋1) 海里
解析：∠ADB＝180°－30°－45°－45°＝60°，
在△ABD中，由正弦定理，得BD＝eq \f(\r(3) sin 75°,sin 60°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)，
在△ABC中，∠ACB＝180°－30°－45°－75°＝30°，
所以BC＝BA＝eq \r(3)，
在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcs∠
DBC＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2×eq \r(3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),2)×eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝5，所以CD＝eq \r(5).
答案：A
6．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的 持續(xù)時(shí)間為( )
A．0.5小時(shí) B．1小時(shí)
C．1.5小時(shí) D．2小時(shí)
解析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示．BE＝BF＝30 km，△ABD為等腰直角三角形且AB＝40 km，由勾股定理得AD＝BD＝20eq \r(2) km，由BD⊥AD， 可得ED＝DF，在Rt△BED中，由勾股定理得ED＝eq \r(BE2－BD2)＝10 km，所以EF＝2ED＝20 km，因此B市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為20÷20＝1(h)．
答案：B
7．如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq \r(2) n mile.此船的航速是________ n mile/h.
解析：設(shè)航速為v n mile/h，在△ABS中，AB＝eq \f(1,2)v，BS＝8eq \r(2) n mile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得eq \f(8\r(2),sin 30°)＝eq \f(\f(1,2)v,sin 45°)，所以v＝32.
答案：32
8.(西安模擬)游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的eq \f(11,9)倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測(cè)量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于__________．
解析：依題意，設(shè)乙的速度為x m/s，
則甲的速度為eq \f(11,9)x m/s，
因?yàn)锳B＝1 040，BC＝500，
所以eq \f(AC,x)＝eq \f(1 040＋500,\f(11,9)x)，解得：AC＝1 260，
在△ABC中由余弦定理可知
cs∠BAC＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)
＝eq \f(1 0402＋1 2602－5002,2×1 040×1 260)＝eq \f(84,91)＝eq \f(12,13)，
所以sin∠BAC＝eq \r(1－cs2∠BAC)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13).
答案：eq \f(5,13)
9.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq \r(3)，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝eq \f(1,2)，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解析：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋eq \f(1,4)－2×eq \r(3)×eq \f(1,2)cs 30°＝eq \f(7,4).故PA＝eq \f(\r(7),2).
(2)設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，eq \f(\r(3),sin 150°)＝eq \f(sin α,sin?30°－α?)，
化簡(jiǎn)得eq \r(3)cs α＝4sin α.
所以tan α＝eq \f(\r(3),4)，
即tan∠PBA＝eq \f(\r(3),4).
10．(宜賓模擬)一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(2eq \r(3)－2)n mil到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4 n mile到達(dá)海島C.
(1)求AC的長(zhǎng)；
(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求∠CAB的大?。?br>解析：(1)由題意，在△ABC中，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2eq \r(3)－2，BC＝4，
根據(jù)余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cs∠ABC
＝(2eq \r(3)－2)2＋42＋(2eq \r(3)－2)×4＝24，
所以AC＝2eq \r(6).
(2)根據(jù)正弦定理得，
sin∠BAC＝eq \f(4×\f(\r(3),2),2\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
所以∠CAB＝45°.
B組 能力提升練
11．如圖，某海上緝私小分隊(duì)駕駛緝私艇以40 km/h的速度由A處出發(fā)，沿北偏東60°方向進(jìn)行海上巡邏，當(dāng)航行半小時(shí)到達(dá)B處時(shí)，發(fā)現(xiàn)北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏東30°方向上，則緝私艇所在的B處與船C的距離是( )
A．5(eq \r(6)＋eq \r(2)) km B．5(eq \r(6)－eq \r(2)) km
C．10(eq \r(6)－eq \r(2)) km D．10(eq \r(6)＋eq \r(2)) km
解析：由題意知∠BAC＝60°－30°＝30°，
∠CBA＝30°＋45°＝75°，所以∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，故AC＝AB，因?yàn)锳B＝40×eq \f(1,2)＝20，所以AC＝AB＝20.在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcs∠CAB＝400＋400－2×20×20cs 30°＝400(2－eq \r(3))，故BC＝eq \r(400?2－\r(3)?)＝eq \r(200?\r(3)－1?2)＝10(eq \r(6)－eq \r(2))．
答案：C
12．(廣州模擬)如圖，在海岸線上相距2eq \r(6)千米的A，C兩地分別測(cè)得小島B
在A的北偏西α方向，在C的北偏西eq \f(π,2)－α方向，且
cs α＝eq \f(\r(6),3)，則B，C之間的距離是( )
A．30eq \r(3)千米 B．30千米
C．12eq \r(3)千米 D．12千米
解析：依題意得，AC＝2eq \r(6)，sin∠BAC＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(\r(6),3)，
sin B＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(1,3)，
在△ABC中，由正弦定理得，BC＝eq \f(ACsin∠BAC,sin B)＝eq \f(2\r(6)×\f(\r(6),3),\f(1,3))＝12，
則B與C之間的距離是12千米．
答案：D
13．(長(zhǎng)沙模擬)地面上有兩座塔AB，CD，相距120米，一人
分別在兩塔底測(cè)得一塔頂?shù)难鼋鞘橇硪凰斞鼋堑?倍，在兩
塔底連線的中點(diǎn)O處測(cè)得塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，則兩塔的高
度分別為( )
A．50米，100米 B．40米，90米
C．40米，50米 D．30米，40米
解析：設(shè)高塔高H，矮塔高h(yuǎn)，在矮塔下望高塔仰角為α，在
O點(diǎn)望高塔仰角為β.
分別在兩塔底部測(cè)得一塔頂仰角是另一塔頂仰角的兩倍，所以在高塔下望矮塔仰角為eq \f(α,2)，即tan α＝eq \f(H,120)，taneq \f( α,2)＝eq \f(h,120)，
根據(jù)倍角公式有eq \f(H,120)＝eq \f(2×\f(h,120),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,120)))2)①，
在塔底連線的中點(diǎn)O測(cè)得兩塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，所以在O點(diǎn)望矮塔仰角為eq \f(π,2)－β，
即tan β＝eq \f(H,60)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＝eq \f(h,60)，
根據(jù)誘導(dǎo)公式有eq \f(H,60)＝eq \f(60,h)②，
聯(lián)立①②得H＝90，h＝40.
即兩座塔的高度為40米，90米．
答案：B
14.(衡水模擬)如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸電視塔CD的高度，小王在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到達(dá)M處，測(cè)得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為__________．
解析：在△ACM中，
∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得eq \f(AM,sin∠MCA)＝eq \f(AC,sin∠AMC)，
即eq \f(1 200,\f(\r(2),2))＝eq \f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq \r(6).
在Rt△ACD中，因?yàn)閠an∠DAC＝eq \f(DC,AC)＝eq \f(\r(3),3)，
所以DC＝ACtan∠DAC＝600eq \r(6)×eq \f(\r(3),3)＝600eq \r(2)(m)．
答案：600eq \r(2) m
15．(遂寧模擬)海輪“和諧號(hào)”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號(hào)”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時(shí)9海里的速度行駛，則海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為__________小時(shí)．
解析：設(shè)海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為x小時(shí)，如圖，則由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°，
由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cs 120°，
整理，得36x2－9x－10＝0，
解得x＝eq \f(2,3)或x＝－eq \f(5,12)(舍)．
所以海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為eq \f(2,3)小時(shí)．
答案：eq \f(2,3)
16．如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1 m，圓心角為eq \f(π,3)的扇形白鐵片AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ，使點(diǎn)P在弧AB上，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)∠BOP＝θ，平行四邊形MNPQ的面積為S.
(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式．
(2)求S的最大值及相應(yīng)的θ角．
解析：(1)分別過P，Q作PD⊥OB于點(diǎn)D，QE⊥OB于點(diǎn)E，則四邊形QEDP為矩形．
由扇形半徑為1 m，
得PD＝sin θ，OD＝cs θ.
在Rt△OEQ中，
OE＝eq \f(\r(3),3)QE＝eq \f(\r(3),3)PD，
MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cs θ－eq \f(\r(3),3)sin θ，
S＝MN·PD＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ－\f(\r(3),3)sin θ))·sin θ
＝sin θcs θ－eq \f(\r(3),3)sin2θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).
(2)S＝eq \f(1,2)sin 2θ－eq \f(\r(3),6)(1－cs 2θ)
＝eq \f(1,2)sin 2θ＋eq \f(\r(3),6)cs 2θ－eq \f(\r(3),6)＝eq \f(\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,6)))－eq \f(\r(3),6)，
因?yàn)棣取蔱q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
所以2θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
當(dāng)θ＝eq \f(π,6)時(shí)，Smax＝eq \f(\r(3),6)(m2)．

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