（全國通用）2022年中考數(shù)學命題點及重難題型分類突破練模型四手拉手模型（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

模型四手拉手模型【基礎(chǔ)模型】【基本模型】手拉手模型可以看作是一個等腰三角形經(jīng)過順時針旋轉(zhuǎn)到另一個地方得到另一個三角形，旋轉(zhuǎn)過程中可能有縮放，這樣形成的幾何圖形。上圖中可以看作△ADE繞著頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△ABC位置（有比例放大），也可以看作是△ABC從頭頂按順時針旋轉(zhuǎn)到△ADE。用旋轉(zhuǎn)的思路可以方便地理解哪一只手對應到哪一只手，因為解題思路通常是做左手拉左手，右手拉右手的輔助線。如果把頂點當作頭，那么位于頂點左邊的可以稱為左手，右邊的成為右手。當然，這種方式要靈活理解，如果三角形是橫躺的，甚至快要倒過來時，可以想象三角形順時針旋轉(zhuǎn)而來。手拉手模型主要抓三個條件：1：共頂點2：等腰（等邊，正方形等等，換句話講共頂點的兩邊相等）3：頂角相等手拉手模型主要分為：“等邊△+等邊△”和“等腰△+等腰△”類型一：等邊△+等邊△前題條件：圖中，B,C,D三點共線，有等邊△ABC和等邊△CDE.（1）圖中，B,C,D三點共線，有等邊△ABC和等邊△CDE.我們可以得到以下一些結(jié)論：結(jié)論一：△ACD≌△BCE（2）記AC、BE交點為M，AD、CE交點為N：結(jié)論二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD（3）連接MN：結(jié)論三：△MNC是等邊三角形+MN//BC（4）記AD、BE交點為P，連接PC：因為△ACD≌△BCE所以過點C作CG⊥BE,CH⊥AD ∴CG與CH分別是BE與AD邊上的高∵BE=AD ∴CG=CH 所以易知Rt△PGC≌Rt△PCH (HL)∴∠1=∠2結(jié)論四：PC平分∠BPD（5）∵∠CAD+∠CDA=∠ACB=60°∴∠DBE+∠CDA=60° ∴∠BPD=120° 由（4）可知∠BPC=∠CPD=60° ∴∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．結(jié)論五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．（6）連接AE：結(jié)論六：P點是△ACE的費馬點（PA+PC+PE值最小）（7）因為∠APB=∠ACB=60°所以可以得到:△AMP∽△BMC同理可以得到以下幾組相似三角形：△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND當然，我們也可以得到A、B、C、P四點共圓/P、C、D、E四點共圓結(jié)論七：△AMP∽△BMC，△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND+A、B、C、P四點共圓和P、C、D、E四點共圓(8) 如圖，在PD上截取PF=PC, 由此可以知道△PCF為等邊三角形∴易證：△PCE≌△FCD∴有PD=CP+PE同理可得:BP=AP+PC結(jié)論八：PD=CP+PE，BP=AP+PC注意：當然前面都是在B、C、D共線的時候得出的結(jié)論。當B、C、D不共線的時候，只有MN//BC不成立【典例】如圖2,兩個等邊三角形△ABD與△BCE,連接AE與CD,證明:⑴△ABE≌△DBC;⑵AE=DC;⑶AE,DC之間的夾角為60°;⑷AE與DC的交點為H,BH平分∠DHE. 【強化訓練】1．如圖所示，是線段上一點，分別以，為邊在同側(cè)作等邊和等邊，交于，交于，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而得到的全等三角形的對數(shù)為（）對.A．3 B．5 C．1 D．22．如圖，正方形的邊長為4，點分別在上，若,且，則的長為（）A． B． C． D．3．如圖，和都是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．以點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與重合B．以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)后與重合C．沿所在直線折疊后，與重合D．沿所在直線折疊后，與重合4．在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．5．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等邊三角形，它的三條邊都相等，三個內(nèi)角都等于60°），AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．試說明：（1）AD=BE；（2）填空∠AOE= °；（3）CP=CQ；6．如圖，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．（1）問題提出：如圖1，若AD=AE，AB=AC．①BD與CE的數(shù)量關(guān)系為　　；②∠BPC的度數(shù)為　　．（2）猜想論證：如圖2，若∠ADE=∠ABC=30°，則（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．如果不正確請寫出正確結(jié)論．（3）拓展延伸：在（1）的條件中，若AB=3，AD=1，若把ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當∠EAC=90°時，直接寫出PB的長． 7.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點．將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當AE的長最小時，求CD的長． 8.如圖，在中，，，，以線段為邊向外作等邊，點是線段的中點，連結(jié)并延長交線段于點.(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求平行四邊形的面積；(3)如圖，分別作射線，，如圖中的兩個頂點，分別在射線，上滑動，在這個變化的過程中，求出線段的最大長度. 9．探究等邊三角形“手拉手”問題．（1）如圖1，已如△ABC，△ADE均為等邊三角形，點D在線段BC上，且不與點B、點C重合，連接CE，試判斷CE與BA的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC＝60°，試說明點B，點D，點E在同一直線上；（3）如圖3，已知點E在ABC外，并且與點B位于線段AC的異側(cè)，連接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜測線段BE、AE、CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

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