2022屆河北省張家口市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，故選：B.2．已知，則（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】，故選：A.3．直線與圓交于、兩點(diǎn)，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得.【詳解】圓心到直線的距離為，圓的半徑為，又，故，故選：B.4．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，其側(cè)面面積是底面面積的倍，則該圓錐的體積為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的母線為，高為，由題意可知，圓錐的底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，所以，故，所以該圓錐的體積為，故選：D.5．已知是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，，則（       ）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】結(jié)合拋物線的定義以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由定義，又，所以，解得.故選：C6．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.故選：C.7．已知函數(shù)，則（       ）A．函數(shù)是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)非奇非偶，在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】A【分析】先判斷的奇偶性，然后結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】，故是奇函數(shù).又，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增.故選：A8．已知，則（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合指數(shù)運(yùn)算、基本不等式、對(duì)數(shù)運(yùn)算、比較大小等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以A錯(cuò)誤；又，所以，又，所以，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，又，所以，故C正確；因?yàn)?/span>，所以，故只要比較和的大小即可，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選: C二、多選題9．年月日，中國(guó)和美國(guó)在聯(lián)合國(guó)氣候變化格拉斯哥大會(huì)期間發(fā)布《中美關(guān)于在世紀(jì)年代強(qiáng)化氣候行動(dòng)的格拉斯哥聯(lián)合宣言》（以下簡(jiǎn)稱《宣言》）.承諾繼續(xù)共同努力，并與各方一道，加強(qiáng)《巴黎協(xié)定》的實(shí)施，雙方同意建立“世紀(jì)年代強(qiáng)化氣候行動(dòng)工作組”，推動(dòng)兩國(guó)氣候變化合作和多邊進(jìn)程.為響應(yīng)《宣言》要求，某地區(qū)統(tǒng)計(jì)了年該地區(qū)一次能源消費(fèi)結(jié)構(gòu)比例，并規(guī)劃了年一次能源消費(fèi)結(jié)構(gòu)比例，如下圖所示：經(jīng)測(cè)算，預(yù)估該地區(qū)年一次能源消費(fèi)量將增長(zhǎng)為年的倍，預(yù)計(jì)該地區(qū)（       ）A．年煤的消費(fèi)量相對(duì)年減少了B．年天然氣的消費(fèi)量是年的倍C．年石油的消費(fèi)量相對(duì)年不變D．年水、核、風(fēng)能的消費(fèi)量是年的倍【答案】BD【分析】設(shè)年該地區(qū)一次能源消費(fèi)總量為，計(jì)算出年該地區(qū)煤、石油、天然氣以及水、核、風(fēng)能的消費(fèi)量，逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)年該地區(qū)一次能源消費(fèi)總量為，年煤的消費(fèi)量為，規(guī)劃年煤的消費(fèi)量為，故A錯(cuò)誤；年天然氣的消費(fèi)量為，規(guī)劃年天然氣的消費(fèi)量為，故B正確；年石油的消費(fèi)量為，規(guī)劃年石油的消費(fèi)量為，故C錯(cuò)誤；年水、核、風(fēng)能的消費(fèi)量為，規(guī)劃年水、核、風(fēng)能的消費(fèi)量為，故D正確.故選：BD.10．已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，則（       ）A．橢圓的離心率為B．四邊形的周長(zhǎng)一定是C．點(diǎn)與焦點(diǎn)重合時(shí)，四邊形的面積最大D．直線的斜率為【答案】ABD【分析】根據(jù)橢圓的離心率、橢圓中四邊形的周長(zhǎng)和面積等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由的方程可得離心率為，故A正確；由橢圓定義可知，，同理，，所以四邊形的周長(zhǎng)一定是，故B正確；四邊形的面積，當(dāng)點(diǎn)與焦點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)四邊形的面積，故C錯(cuò)誤；設(shè)，故，則，故D正確.故選：ABD11．已知，，則（       ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值.【詳解】，故，所以或，故或.又，所以或，故選：BD.12．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biēnào）.如圖，三棱錐為一個(gè)鱉臑，其中平面，，，，為垂足，則（       ）A．平面B．為三棱錐的外接球的直徑C．三棱錐的外接球體積為D．三棱錐的外接球體積與三棱錐的外接球體積相等【答案】BC【分析】利用線面垂直的判定可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用直角三角形的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤；確定球心的位置，求出三棱錐的外接球的半徑，利用球體的體積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；求出三棱錐的外接球半徑，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，過點(diǎn)向引垂線，垂足為，平面，平面，則，，，則平面，又、平面，所以，，，，，則平面，這與平面矛盾，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，平面，平面，則，在三棱錐中，，則的中點(diǎn)到、、、的距離相等，所以為三棱錐的外接球的直徑，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接，因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，則平面，平面，平面，則，故的外心為線段的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>平面，則平面平面，故三棱錐的外接球球心在直線上，即該球球心在平面內(nèi)，所以的外接圓直徑為三棱錐的外接球直徑，，，，,在中，，，在中，由余弦定理得，，故，則，所以三棱錐的外接球體積為，故C正確；因?yàn)?/span>，故為三棱錐的外接球的直徑，且，而三棱錐的外接球直徑為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．已知向量，向量，若，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以.故答案為：.14．已知為等差數(shù)列，，，且、、成等比數(shù)列，則___________.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由可得，整理可得，可得，所以，，可得，因此，.故答案為：.15．四個(gè)不同的小球隨機(jī)放入編號(hào)為的四個(gè)盒子中，則恰有兩個(gè)空盒的概率為___________.【答案】【分析】結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式以及排列組合的計(jì)算，求得所求概率.【詳解】四個(gè)不同的小球隨機(jī)放入編號(hào)為的四個(gè)盒子中共有種放法，若恰有兩個(gè)空盒，則四個(gè)不同的小球可分成1個(gè)和3個(gè)或2個(gè)和2個(gè)，共有種，故恰有兩個(gè)空盒的概率為.故答案為：16．已知函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為___________.【答案】【分析】由結(jié)合的取值范圍可求得的值，由可求得的取值范圍，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，解出的范圍即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，又，所以，所以，，當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，即，因?yàn)?/span>，則，則且，故，從而，因此，的最大值為.故答案為：.四、解答題17．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求得.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.(1)當(dāng)時(shí)，由，得，則.當(dāng)時(shí)，有，符合上式.綜上，.(2)由（1）得，，則.18．已知某區(qū)、兩所初級(jí)中學(xué)的初一年級(jí)在校學(xué)生人數(shù)之比為，該區(qū)教育局為了解雙減政策的落實(shí)情況，用分層抽樣的方法在、兩校初一年級(jí)在校學(xué)生中共抽取了名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：(1)在抽取的名學(xué)生中，、兩所學(xué)校各抽取的人數(shù)是多少？(2)該區(qū)教育局想了解學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過小時(shí)的學(xué)生比例，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這兩個(gè)數(shù)值；(3)另據(jù)調(diào)查，這人中做作業(yè)時(shí)間超過小時(shí)的人中的人來自中學(xué)，根據(jù)已知條件填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“做作業(yè)時(shí)間超過小時(shí)”與“學(xué)校”有關(guān)？ 做作業(yè)時(shí)間超過小時(shí)做作業(yè)時(shí)間不超過小時(shí)合計(jì)校   校   合計(jì)    附表： 附：.【答案】(1)、兩校所抽取人數(shù)分別為、；(2)估計(jì)該區(qū)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)，該區(qū)有的學(xué)生做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過小時(shí)；(3)列聯(lián)表答案見解析，有的把握認(rèn)為“做作業(yè)時(shí)間超過小時(shí)”與“學(xué)校”有關(guān).【分析】（1）設(shè)、兩校所抽取人數(shù)分別為、，根據(jù)已知條件列出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得解；（2）將頻率分布直方圖中每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，可得出該區(qū)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(zhǎng)，計(jì)算出頻率直方圖中后三個(gè)矩形的面積之和，可得出該地區(qū)做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過小時(shí)的學(xué)生比例；（3）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.(1)解：設(shè)、兩校所抽取人數(shù)分別為、，由已知可得，解得.(2)解：由直方圖可知，學(xué)生做作業(yè)的平均時(shí)長(zhǎng)的估計(jì)值為（小時(shí)）.由，可知有的學(xué)生做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過小時(shí).綜上，估計(jì)該區(qū)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)，該區(qū)有的學(xué)生做作業(yè)時(shí)長(zhǎng)超過3小時(shí).(3)解：由（2）可知，有（人）做作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí).故填表如下（單位：人）： 做作業(yè)時(shí)間超過小時(shí)做作業(yè)時(shí)間不超過小時(shí)合計(jì)校校合計(jì) ，所以有的把握認(rèn)為“做作業(yè)時(shí)間超過小時(shí)”與“學(xué)校”有關(guān).19．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，.(1)求；(2)若為的中點(diǎn)，，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角和差的正弦公式可求得的值；（2）由正弦定理得出，設(shè)，，，利用余弦定理可得出關(guān)于的等式，求出的值，利用三角形的面積公式可求得的面積.(1)解：由正弦定理得，，則，則，所以.又，故，所以，.(2)解：由（1）可知，，，.由正弦定理得，設(shè)，，，由余弦定理得，解得，所以.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，、、、分別為、、、的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若平面平面，為等邊三角形，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接、，證明平面，，設(shè)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角的正弦值.(1)證明：連接、、.因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，且，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，則且，為的中點(diǎn)，則且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，故，平面，平面，故平面，因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，所以，平面，，所以，平面平面.又平面，所以平面.(2)解：取的中點(diǎn)，連接、.因?yàn)?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，則，且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，故，則，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則、、、，，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則，所以，故.所以二面角的正弦值為.21．已知雙曲線的離心率為2，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值【分析】（1）結(jié)合雙曲線的離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離求得，由此求得雙曲線的方程.（2）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸平行或不平行兩種情況進(jìn)行分析，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系以及列方程，化簡(jiǎn)后根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到直線的距離.(1)由題意，得雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.又，且，所以，故.又，解得，所以雙曲線的方程為.(2)設(shè).當(dāng)直線和軸線平行時(shí)，，解得，所以點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線和軸線不平行時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，，所以.又，所以，得，解得.又點(diǎn)到直線的距離為，則，故，所以點(diǎn)到直線的距離為定值.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)若，討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再二次求導(dǎo)，可求得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而可得，進(jìn)而可證得結(jié)論，（2）當(dāng)時(shí)，可得單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間和極值，從而分，和求解即可(1)證明：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)解：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，令，則，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，方程有唯一小于零的零點(diǎn)，故函數(shù)存在一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為函數(shù)極小值，所以當(dāng)時(shí)，方程無解，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，但當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)無極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程有兩解，函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn). 

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