2022-2023學(xué)年河北省張家口市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集的概念求解即可.【詳解】由解得，所以，所以，故選:A.2．“”是“”的一個(gè)（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，且恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性可得，即；當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性可得；綜上：“”是“”的充要條件.故選：C.3．已知命題：“，”，則為（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】全稱命題的否定是特稱命題，其否定方法為：改量詞，否結(jié)論.【詳解】改量詞：改為，否結(jié)論：否定為，所以為，.故選：A.4．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的定義域后，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，所以有唯一零點(diǎn)在上，故選：C5．已知函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次將與代入即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以.故選：B.6．設(shè)，則的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，所以，即，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，且，所以，即，所以，故選：A.7．若，，，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.【詳解】因?yàn)?/span>，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以，即的最大值為，故選：C.8．已知方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，求出對(duì)稱軸，然后分和兩種情況討論即可.【詳解】令，則對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，因?yàn)榉匠?/span>在上有實(shí)數(shù)解，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榉匠?/span>在上有實(shí)數(shù)解，所以，解得或（舍去），綜上或，故選：D 二、多選題9．下列命題正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【分析】對(duì)于A、B、D選項(xiàng)，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷，C選項(xiàng)利用作差法和立方差公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：若，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：若，則，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：若，則，因?yàn)?/span>，則，且，所以，即，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：若，則兩邊同乘得：；，則兩邊同乘得：，即，所以D選項(xiàng)正確；故選：CD.10．已知不等式，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，則不等式的解集為B．若不等式的解集為，則C．若不等式的解集為，則D．若不等式恒成立，則【答案】ABC【分析】代入解一元二次不等式可判斷A；根據(jù)韋達(dá)定理可判斷B;根據(jù)韋達(dá)定理可得，由指數(shù)的運(yùn)算可判斷C；分與討論可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則即為，解得，故A正確；對(duì)于B，若不等式的解集為，則和是方程的兩個(gè)根，且，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，不等式的解集為，則和是方程的兩個(gè)根，且，則，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，可得，解得.綜上所述，若不等式恒成立，則，故D錯(cuò)誤.故選:ABC.11．若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，則為偶函數(shù)B．若的定義域?yàn)?/span>，則C．若，則的單調(diào)增區(qū)間為D．若在上單調(diào)遞減，則【答案】AB【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)二次函數(shù)在上恒成立的條件即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)：求出的定義域，由單調(diào)區(qū)間和定義域的關(guān)系即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)函數(shù)的定義域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：若，則，其定義域?yàn)?/span>，又，即為偶函數(shù)，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：若的定義域?yàn)?/span>，則在上恒成立，即，解得：，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：若，則，則，解得：或，即的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，單調(diào)區(qū)間要以定義域?yàn)榍疤?，所?/span>C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：若在上單調(diào)遞減，則，且，解得：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)B．方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，則C．方程在上的兩個(gè)不等實(shí)根為，則D．方程共有兩個(gè)實(shí)根【答案】ACD【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可判斷AB；不妨設(shè)，可得，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可判斷C；設(shè)，根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可判斷D.【詳解】畫出的圖象如圖所示：由圖可知，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即和，故A正確；方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，則，故B錯(cuò)誤；方程在上的兩個(gè)不等實(shí)根為，不妨設(shè)，則,即，解得，故C正確；設(shè)，則為偶函數(shù)，當(dāng)，所以，所以在上單調(diào)遞減，由為偶函數(shù)可得在上單調(diào)遞增，且.所以與的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)，在上也有一個(gè)交點(diǎn)，所以與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即方程共有兩個(gè)實(shí)根，故D正確.故選:ACD. 三、填空題13．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），則______.【答案】【分析】首先設(shè)出冪函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)(4,2),進(jìn)而求出解析式，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），所以，，，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的求值，形如的函數(shù)是冪函數(shù)，注意冪函數(shù)的系數(shù)為1，考查了運(yùn)算求解能力.14．函數(shù)的值域?yàn)?/span>________.【答案】【分析】利用換元法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，令，則，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>，故答案為：15．不等式的解集為________.【答案】【分析】令（），則原不等式可轉(zhuǎn)化為，解出的范圍，從而可求出的范圍.【詳解】令（），則可化為，即，解得，所以，得，所以原不等式的解集為，故答案為：.16．若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【分析】由題意可得在上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)求出其最小值，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，不等式恒成立，得在上恒成立，令，，任取，且，則，因?yàn)?/span>，所以，，，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為. 四、解答題17．計(jì)算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)3；(2)1 【分析】（1）根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)，即可求解.【詳解】（1）.（2）.18．已知集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）分別解出兩個(gè)不等式，求出集合，從而可求出；（2）求出集合，再由列不等式可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，或，所以或；（2）當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)?/span>，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．李華計(jì)劃將10000元存入銀行，恰巧銀行最新推出兩種存款理財(cái)方案.方案一：年利率為單利（單利是指一筆資金無(wú)論存期多長(zhǎng)，只有本金計(jì)取利息，而以前各期利息在下一個(gè)利息周期內(nèi)不計(jì)算利息的計(jì)息方法），每年的存款利率為；方案二：年利率為復(fù)利（復(fù)利是指在計(jì)息利息時(shí)，某一計(jì)息周期的利息是由本金加上先前周期所積累利息總額來(lái)計(jì)息的計(jì)息方式，也即通常所說(shuō)的“利生利”），每年的存款利率為；(1)如果李華想存款（）年，其所獲得的利息為元，分別寫出兩種方案中，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)李華最后決定存款10年，如果你是銀行工作人員，請(qǐng)幫他合理選擇一種投資方案，并告知原由.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)方案一：，方案二：；(2)選擇方案一投資，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）方案一：因?yàn)橹挥斜窘鹩?jì)取利息，每年的存款利率為，即可得到10000元存入銀行（）年獲得的利息；方案二：計(jì)息利息時(shí)，由本金加上先前周期所積累利息總額來(lái)計(jì)息，每年的存款利率為，就得到10000元存入銀行（）年獲得的利息；（2）結(jié)合（1）分別計(jì)算出方案一和方案二存款10年的總利息，比較大小即可判斷.【詳解】（1）方案一：因?yàn)橹挥斜窘鹩?jì)取利息，每年的存款利率為，所以李華將10000元存入銀行（）年，其所獲得的利息；方案二：計(jì)息利息時(shí)，由本金加上先前周期所積累利息總額來(lái)計(jì)息，每年的存款利率為，所以李華將10000元存入銀行（）年，其所獲得的利息.（2）①方案一存款10年，所得總利息元；②方案二存款10年，所得總利息元；因?yàn)?/span>，所以選擇方案一投資.20．已知函數(shù)（且）.(1)若，且，求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，有最小值，求的值.【答案】(1)6(2) 【分析】(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的定義以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解；(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性討論最值求解.【詳解】（1）時(shí)，定義域?yàn)?/span>，令，即，所以，即解得（舍）或.所以的零點(diǎn)為6.（2）,，令，，則在單調(diào)遞增，若，在單調(diào)遞減，解得，若，在單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不滿足題意，所以.21．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(2)在的條件下，求函數(shù)的最小值.【答案】(1)奇函數(shù)(2) 【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷證明；(2)利用基本不等式求最小值.【詳解】（1）判斷函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：要使函數(shù)有意義，則即解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2）由的即即，則解得，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.22．已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)①作出函數(shù)在上的圖象；②若方程恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，若，，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)①圖象見(jiàn)解析；②；(2). 【分析】（1）①先作出上的圖象，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)作出上的圖象即可，②恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，等價(jià)于與有6個(gè)交點(diǎn)，然后結(jié)合圖象可求得答案；（2）由題意可得，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合換元法求出，再由（1）求出，代入上式可求出實(shí)數(shù)的范圍，從而可求出其最小值.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，.列表：01234567891012432101234 描點(diǎn)連線，圖象如圖，因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以在上的圖象如圖所示；②恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，等價(jià)于與有6個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)時(shí)，有6個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）因?yàn)?/span>在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，因?yàn)?/span>在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，由（1）可知在上的最小值為0，因?yàn)?/span>，，使得成立，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的最小值為. 

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