大題好拿分期中考前必做30題（壓軸版）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊期中考試高分直通車（滬教版2020必修第二冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?大題好拿分期中考前必做30題（壓軸版）
1．（2021·上海高一單元測試）用分別表示的三個內(nèi)角所對邊的邊長，表示的外接圓半徑.
（1），求的長；
（2）在中，若是鈍角，求證：；
（3）給定三個正實數(shù)，其中，問滿足怎樣的關(guān)系時，以為邊長，為外接圓半徑的不存在，存在一個或存在兩個（全等的三角形算作同一個）？在存在的情況下，用表示.
【答案】（1）（2）見解析（3）見解析
【分析】（1）先根據(jù)正弦定理得，再根據(jù)余弦定理求的長；
（2）先根據(jù)余弦定理得，再根據(jù)正弦定理放縮證明結(jié)果；
（3）先根據(jù)正弦定理討論三角形解的個數(shù)，再根據(jù)余弦定理求.
【詳解】（1）由正弦定理得
所以（負舍）；
（2）因為，是鈍角，
所以
因此；
（3）當時, 不存在，
當時，不存在，
當時，存在一個，此時
當時，存在一個，
此時，
當時，存在兩個，

當A為銳角時，

當A為鈍角時，

【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，考查綜合分析論證與求解能力，屬較難題.
2．（2021·浙江高一期末）已知函數(shù).
（1）求證：是奇函數(shù)；
（2）若對任意，恒有，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）計算化簡，得出即可證明；
（2）根據(jù)奇函數(shù)得出，再根據(jù)單調(diào)性得出，進而得出恒成立，令，可得，利用單調(diào)性求出的最大值即可.
【詳解】（1）證明：的定義城是R，又，
且，
所以，是奇函數(shù).
（2）解：由，
得，
因為是奇函數(shù)，
所以，
即.
又因為在R上單調(diào)遞增，
所以，
即，
所以，對任意，恒成立，
設(shè)，.
則.
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，則，
所以，實數(shù)a的取值范圍是.
【點睛】本題考查奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)是奇函數(shù)和單調(diào)遞增得出恒成立，換元得出，再利用單調(diào)性求出最大值.
3．（2021·云南昆明一中高一期末）函數(shù)在上的最大值為.
（1）求常數(shù)的值；
（2）當時，求使不等式成立的的取值集合.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）本題首先可根據(jù)二倍角公式將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)得出，再然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得出當時函數(shù)在上取最大值，最后根據(jù)即可得出結(jié)果；
（2）本題首先可將不等式轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得出，最后通過計算即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）

，
當時，，
結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)易知，
當，即時，函數(shù)在上取最大值，
因為函數(shù)在上的最大值為，
所以，解得，.
（2），即，，
結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)易知，
即，
解得，
故的取值集合為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)三角函數(shù)最值求參數(shù)以及與三角函數(shù)相關(guān)的不等式問題的解法，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查應(yīng)用二倍角公式進行轉(zhuǎn)化，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是難題.
4．（2021·安徽六安市·六安一中高一期末）六安一中新校區(qū)有一塊形狀為平面四邊形的土地準備種一些花圃，其中A，B為定點，（百米），（百米）.

（1）若，（百米），求平面四邊形的面積；
（2）若（百米）.
（i）證明：；
（ii）若，面積依次為，，求的最大值.
【答案】（1）（平方百米）；（2）（i）證明見解析；（ii）最大值為（平方百米）.
【分析】（1）在中，由余弦定理可求得的長，再分別計算，的面積，即可求解；
（2）（i）在和中，分別利用余弦定理兩式相減即可求證；
（ii）用三角形的面積公式將表示，
再將代入轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最值.
【詳解】
（1）令，在中，由余弦定理可得：
即，解得：或（舍）
在中，，，
所以，
在中，，，
所以邊上的高為，
所以，
所以（平方百米）.
（2）在中，
在中
所以，
所以.
（ii）

所以

因為，
所以，可得
∴
所以時，，
即時取得最大值，且最大值為（平方百米）.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求用三角形的面積公式表示出來，結(jié)合已經(jīng)證明的即可將面積平方和轉(zhuǎn)化為關(guān)于只含一個變量的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值.
5．（2020·浙江杭州市·高一期末）如圖，在半徑為，圓心角為60°的扇形的弧上任取一點P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點N，M在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y.

（1）按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：
①設(shè)PN＝x，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)∠POB＝θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值.
【答案】（1）①.②；（2）選擇②時，函數(shù)取得最大值.
【分析】（1）①根據(jù)PN＝QM=x，結(jié)合半徑為，圓心角為60°，分別求得，，進而得到MN求解；②根據(jù)∠POB＝θ，結(jié)合半徑為，圓心角為60°，求得，再由，進而得到MN求解.
（2）選擇②利用二倍角公式和輔助角公式，將函數(shù)轉(zhuǎn)化，利用直線函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】（1）①因為PN＝QM=x，
所以，
而，
所以，
所以.
因為點P在扇形的弧上，
所以，
所以
②因為∠POB＝θ，
所以，
而，
所以，
所以.
因為點P在扇形的弧上，
所以，
所以.
（2）選擇②，
，
，
因為，
所以，
當時，函數(shù)取得最大值.
【點睛】方法點睛：1．討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為.
3．對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉(zhuǎn)化為研究y＝sin t的性質(zhì)．
6．（2021·江蘇省錫山高級中學(xué)高一期末）在①，②③中任選一個條件，補充在下面問題中，并解決問題.已知，，.
（1）求的值；
（2）求.
【答案】（1）（2）
【分析】選條件①由，根據(jù)同角基本關(guān)系可求sinα，cosα，由兩角和的正弦公式求解，計算，求出；
選條件②由，求出sinα，cosα，同①即可求解；
選條件③由，結(jié)合余弦二倍角公式、同角基本關(guān)系可求sinα，cosα，以下同①．
【詳解】選條件①：
因為，所以．
由平方關(guān)系sin2α+cos2α＝1，解得或
因為，所以．
(1)
.
(2)因為，
所以由sin2（α-β）+cos2（α-β）＝1，解得．
因為，所以，所以，
所以
,
由，
.
選條件②：
因為，所以14sinαcosα＝，
因為，所以cosα≠0，所以．
由平方關(guān)系sin2α+cos2α＝1，解得．
因為，所以．
以下同①的解法．
選條件③：
因為，
所以．
由平方關(guān)系sin2α+cos2α＝1，得．
因為，所以．
以下同①的解法．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要選擇不同的條件，利用三角恒等變換及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出，然后利用角的變換，求出，結(jié)合求解，屬于難題.
7．（2020·江陰市山觀高級中學(xué)高一月考）從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時間長達兩千多年的貨幣.如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個字“同治重寶”.某模具廠計劃仿制這樣的銅錢作為紀念品，其小圓內(nèi)部圖紙設(shè)計如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個大正方形孔，四周是四個全等的小正方形（邊長比孔的邊長?。?，每個正方形有兩個頂點在圓周上，另兩個頂點在孔邊上，四個小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字.設(shè)，五個正方形的面積和為.

（1）求面積關(guān)于的函數(shù)表達式，并求的范圍；
（2）求面積最小值，并求出此時的值.
【答案】（1）；的取值范圍為，；（2）；.
【分析】（1）由題意可知小正方形的邊長為，
大正方形的邊長為，
所以五個正方形的面積和為，
又，所以，
所以的取值范圍為，，；
(2)其中，，所以，此時，所以，則，因為，解得，即可求出面積最小值
【詳解】解：（1）過點分別作小正方形邊，大正方形邊的垂線，垂足分別為，，
因為內(nèi)嵌一個大正方形孔的中心與同心圓圓心重合，所以點，分別為小正方形和大正方形邊的中點，
所以小正方形的邊長為，
大正方形的邊長為.
所以五個正方形的面積和為，
.
因為小正方形邊長小于內(nèi)嵌一個大正方形的邊長，
所以，，，
所以的取值范圍為，.
（2），
，
，
，其中，.
所以，此時.
因為，所以，
所以，
所以，
則，化簡得：，
由此解得：，
因為，所以.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，以及三角恒等變換的應(yīng)用，涉及降冪公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中檔題．
8．（2019·安徽省舒城中學(xué)高一月考）已知函數(shù).
（1）若，恒成立，求的取值范圍；
（2）若，是否存在實數(shù)，使得，都成立？請說明理由.
【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性，將函數(shù)值的比較變?yōu)樽宰兞康谋容^，得到恒成立，利用參變分離，得到的取值范圍；（2）假設(shè)存在，整理和，設(shè)，，
得到，按照和進行分類討論，從而證明不存在所需的.
【詳解】（1），為上的奇函數(shù)，單調(diào)遞減，
所以恒成立，
可得
所以恒成立
即恒成立，
當時，該不等式恒成立，
當時，，
設(shè)，則
，
當且僅當，即時，等號成立，
所以.
（2）
所以，

假設(shè)存在實數(shù)，使得和都成立，
設(shè)，，
則，
，
若，則，解得，或，，均不是有理數(shù)，
若，則，其中，而，所以不成立，
綜上所述，故不存在實數(shù)，使得，都成立.
【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解決不等式恒成立問題，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系，研究是否為有理數(shù)的問題，涉及分類討論的思想，屬于難題.
9．（2020·重慶高一月考）已知向量，，函數(shù)，，.
（1）當時，求的值；
（2）若的最小值為，求實數(shù)的值；
（3）是否存在實數(shù)，使函數(shù)，有四個不同的零點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的公式化簡函數(shù)即可；
（2）求出函數(shù)的表達式，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進行討論求解即可；
（3）由得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】解：（1），
當時，，
則；
（2）∵，
∴，
則，
令，則，
則，對稱軸，
① 當，即時，
當時，函數(shù)取得最小值，此時最小值，得(舍)，
② 當，即時，
當時，函數(shù)取得最小值，此時最小值，得，
③ 當，即時，
當時，函數(shù)取得最小值，此時最小值，得(舍)，
綜上若的最小值為，則實數(shù)；
（3）令，得或，
∴方程或在上有四個不同的實根，
則，得，則，
即實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】本題主要考三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點以及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度.
10．（2019·江蘇南京市·南京師大附中高一期中）在中，.
（1）當時，求的最大值；
（2）當時，求周長的最小值.
【答案】（1）；（2）12.
【分析】（1）由題意，，，由余弦定理、基本不等式，即可求的最大值；
（2）當時，求出，利用余弦定理、基本不等式，即可求出周長的最小值.
【詳解】解：（1）由題意，，，
由余弦定理可得，
，
，
的最大值為；
（2），，
又，
，
，
周長為
當且僅當時，周長的最小值為12.
【點睛】本題考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面積、周長的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于較難題.
11．（2020·江西高一期末（理））將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記作.
（1）在中，三個內(nèi)角且，若C角滿足，求的取值范圍；
（2）已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有2021個零點，求常數(shù) 與的值.
【答案】（1）；（2），..
【分析】（1）首先利用三角函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步求出函數(shù)的取值范圍.
（2）利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的零點的關(guān)系進一步進行分類討論，最后求出參數(shù)的值和n的值.
【詳解】解：（1）函數(shù)的圖象向右平移個單位，
再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍后所得到的圖象.
可知.
因為，所以，
∴，∴，
∴.
因為，所以，
所以，∴，
所以的取值范圍為.
（2）依題意，，
當時，，
則在內(nèi)的零點個數(shù)為偶數(shù)個，故，
令，，
得，，
二次方程必有兩不等實根、，
由于，則、異號，
（i）當且時，
方程在根的個數(shù)為偶數(shù)個，不合乎題意；
（ii）當，則，當時，
關(guān)于的方程在上有三個根，
由于，則為奇數(shù)
則，
解得：，由于不是整數(shù)，故舍去.
（iii）當時，則，當時，
關(guān)于的方程在上有三個根，且為奇數(shù)，
，解得.
此時，，得.
綜上所述：，.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移變換，恒等變換，三角函數(shù)性質(zhì)等，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)運算能力，是難題.
12．（2020·全國高一課時練習(xí)）如圖，在中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分線AD＝2 cm，求此三角形面積.

【答案】
【分析】設(shè)，由于是的角平分線，.設(shè)，則.在與中，分別利用余弦定理可得：，解得.再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和倍角公式可得，利用三角形的面積公式即可得出答案.
【詳解】解：設(shè)，
是的角平分線，.
設(shè)，則.
在與中，分別利用余弦定理可得：
，
.
，解得：.
，
.
此三角形的面積為：.
【點睛】本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)、余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和倍角公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中等題型.
13．（2020·福建廈門市·高一期末）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉，“日行一萬步，健康一輩子”.通過“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線.如圖，為某市的一條健康步道，，為線段，是以為直徑的半圓，，，.

（1）求的長度；
（2）為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計劃新增健康步道（，在兩側(cè)），，為線段.若，到健康步道的最短距離為，求到直線距離的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用余弦定理求出半徑，利用圓的周長公式可得結(jié)果；
（2）先求出點的大致軌跡，再結(jié)合正弦定理、圓的幾何性質(zhì)求最點到直線距離的最值即可求解．
【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，
，
．
（2）的軌跡為外接圓的一部分，設(shè) 外接圓的半徑為，
由正弦定理，且滿足，
由（1）得：，所以為直角，
過作于，設(shè)所求距離為，
①當通過圓心時，達到最大，由幾何關(guān)系得，四邊形為矩形，
所以，此時滿足，
②當無限接近時，此時，
綜上：所求到直線距離的取值范圍為．

【點睛】本題考查利用正、余弦定理解三角形，動點到定直線距離的最值問題，同時對學(xué)生推理分析，數(shù)形結(jié)合，運算求解的能力有一定的要求，屬于中檔題．
14．（2020·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高一期中）如圖，某青年租用了一塊邊長為2百米的正方形田地來種植水果、蔬菜與花草，他在正方形的邊，上分別取點，（不與正方形的頂點重合），用柵欄連接，，，使得，將正方形分成四個部分，現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為水果種植區(qū)，部分規(guī)劃為蔬菜種植區(qū)，部分規(guī)劃為花草種植區(qū)，若水果種植區(qū)的投入約為元/百米2，蔬菜與花草種植區(qū)的投入約為103元/百米2.

（1）若使得，那么柵欄的總長度為多少？
（2）若從總投入的角度考慮，則這三個區(qū)域的總投入最少需要多少元？
【答案】（1）百米；（2）元
【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)求出、，再由余弦定理求出，即可得解；
（2）設(shè)陰影部分面積為，三個區(qū)域的總投入為．設(shè)，，由解三角形可得，運用兩角和的正切公式和基本不等式，即可得到所求最小值．
【詳解】解：（1）因為，，所以，，所以
又因為，所以，
因為
所以
在中由余弦定理可得，
即
所以
所以
故柵欄的總長度為百米
（2）設(shè)陰影部分面積為，三個區(qū)域的總投入為．
則，從而只要求的最小值．
設(shè)，，則，
因為，
所以，
所以，
即，解得，即取得最小值為，
從而三個區(qū)域的總投入的最小值約為元．
【點睛】本題考查解三角形的實際應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析式和運用基本不等式或三角函數(shù)的恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
15．（2021·上海高一專題練習(xí)）在中，已知，試討論a的值以確定三角形解的個數(shù).
【答案】答案不唯一，具體見解析
【分析】當a的值變化時，三角形可能無解、有一個解或兩個解，可借助圖像分析.
【詳解】解：由于三角形的一條邊長a不確定，故作出的三角形的圖像有以下幾種情況：
作圖：

.
當時，無解【如圖（1）】；
當時，有一個解【如圖（2）】；
當時，有兩個解【如圖（3）】；
當時，有一個解【如圖（4）、圖（5）】.
【點睛】本題考查不確定三角形個數(shù)解的問題，關(guān)鍵是結(jié)合圖像分析，考查學(xué)生的理解分析能力，屬于易錯題.
16．（2020·福建龍巖市·高一期末）已知函數(shù).
（1）判斷的單調(diào)性并寫出證明過程；
（2）當時，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，求a的取值范圍.
【答案】（1）在R上遞增，證明見解析；（2）或.
【分析】（1）先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差比較大小即可求證明；
（2）根據(jù)（1）中所求單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為的零點問題，利用之間的關(guān)系進行換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點的分布問題即可求得.
【詳解】（1）在R上遞增.
證明：，恒成立，的定義域為R.
令，，
是奇函數(shù).
令，，
，
在上遞增，又是R上連續(xù)不斷的奇函數(shù)，
在R上遞增.
（2）由（1）得
且在R上遞增.

整理得，在上有唯一實數(shù)解
構(gòu)造，，.
令，則，
，
在內(nèi)有且只有一個零點，無零點.
又，在上為增函數(shù).
ⅰ）若在內(nèi)有且只有一個零點，無零點.
則
ⅱ）若為的零點，無零點，
則，
又，經(jīng)檢驗符合題意.
綜上所述：或.
【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性的證明，以及由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，涉及對數(shù)型函數(shù)以及之間的關(guān)系，屬綜合困難題.
17．（2018·貴州貴陽市·高一期末）在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式:
具體過程如下：
如圖，在平面直角坐標系內(nèi)作單位圓O，以為始邊作角.它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B．

則
由向量數(shù)量積的坐標表示，有：

設(shè)的夾角為θ，則

另一方面，由圖3.1—3（1）可知，；由圖可知，

.于是.
所以，也有，
所以，對于任意角有：（）
此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作.
有了公式以后，我們只要知道的值，就可以求得的值了.
閱讀以上材料，利用下圖單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：
（1）判斷是否正確？（不需要證明）
（2）證明：
（3）利用以上結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)正確;(2)見解析;(3)單調(diào)遞增區(qū)間為，
的單調(diào)遞減區(qū)間為
【分析】(1) 因為對是方向上的單位向量,又且與共線,即可判斷出正確;
(2)在中, ,又,表示出,的坐標,由縱坐標對應(yīng)相等化簡即可證得結(jié)論;
即
(3)由(2)結(jié)論化簡可得借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.
【詳解】
(1) 因為對于非零向量是方向上的單位向量,又且與共線,所以正確;
(2) 因為M為AB的中點,則,從而在中, ,又,又,,所以,
即
(3) 因為令,解得:
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為
令,解得:
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
【點睛】本題考查向量在證明三角恒等式中的應(yīng)用,考查類比推理,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)性,難度較難.
18．（2020·江蘇無錫市·高一期中）燕山公園計劃改造一塊四邊形區(qū)域鋪設(shè)草坪，其中百米，百米，，，草坪內(nèi)需要規(guī)劃4條人行道以及兩條排水溝，其中分別為邊的中點．

（1）若，求排水溝的長；
（2）當變化時，求條人行道總長度的最大值．
【答案】（1）百米；（2）百米．
【分析】（1）由已知易得，則，在，中分別由余弦定理可得，，解方程組即可；
（2）設(shè)，設(shè)，，則，在中，由正弦定理得，，，由余弦定理，同理，令，則，求出函數(shù)的最值即可.
【詳解】（1）因為，，
所以，所以，
因為，
所以，
所以，
在中：，
即①
在中：
，
即 ②
由①②解得：，即排水溝BD的長為百米；
設(shè)，設(shè)，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由正弦定理：，得，
連接DE，在中，，
，
在中，由余弦定理：
，
同理：．
設(shè)，，則，
所以，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以時，
最大值為
，
所以4條走道總長度的最大值為百米．

【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模能力，是一道有一定難度的題.
19．（2021·福建省福州第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，圖象上相鄰的最高點與最低點的橫坐標相差，______；
（1）①的一條對稱軸且；
②的一個對稱中心，且在上單調(diào)遞減；
③向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱且
從以上三個條件中任選一個補充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；
（2）在（1）的情況下，令，，若存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）選①②③，；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意可得出函數(shù)的最小正周期，可求得的值，根據(jù)所選的條件得出關(guān)于的表達式，然后結(jié)合所選條件進行檢驗，求出的值，綜合可得出函數(shù)的解析式；
（2）求得，由可計算得出，進而可得出，由參變量分離法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，.
選①，因為函數(shù)的一條對稱軸，則，
解得，
，所以，的可能取值為、.
若，則，則，不合乎題意；
若，則，則，合乎題意.
所以，；
選②，因為函數(shù)的一個對稱中心，則，
解得，
，所以，的可能取值為、.
若，則，當時，，
此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意；
若，則，當時，，
此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意；
所以，；
選③，將函數(shù)向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱，
所得函數(shù)為，
由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可得，
解得，
，所以，的可能取值為、.
若，則，，不合乎題意；
若，則，，合乎題意.
所以，；
（2）由（1）可知，
所以，，
當時，，，所以，，
所以，，
，
，，則，
由可得，
所以，，
由基本不等式可得，
當且僅當時，等號成立，所以，.
【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
20．（2021·安徽合肥市·高一期末）已知函數(shù)，．
(1)當時，寫出的單調(diào)遞減區(qū)間（不必證明），并求的值域；
(2)設(shè)函數(shù)，若對任意，總有，使得，求實數(shù)t的取值范圍．
【答案】(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間為；值域為；
(2).
【分析】(1)由對勾函數(shù)的圖像直接寫出遞減區(qū)間和值域；
(2)先求出的值域，把對任意，總有，使得轉(zhuǎn)化為兩個值域的包含關(guān)系，解不等式即可．
【詳解】
(1) 當時，的圖像如圖示，
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為；值域為
(2) 在上單增，在上單減，
∴在上的值域為，記B=
設(shè)的值域為A，
要使“對任意，總有，使得”
只需.
對于
當時，在上單增，∴
∵
只需，解得：.
當時，在上單減，在上單增，
只需，解得：；
當時，在上單減，
∵
只需，無解
綜上：.
∴實數(shù)t的取值范圍為
【點睛】含雙量詞的數(shù)學(xué)問題中參數(shù)范圍的求解分為兩大類：
(1)不等式型轉(zhuǎn)化為最值的比較；
(2)等式型的轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系．
21．（2021·天津靜海區(qū)·靜海一中高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的(縱坐標變)，得到函數(shù)的圖象，當時，求函數(shù)的值域.
（4）對于第（3）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，，，試確定的值，并求的值.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的周期，奇偶性求得函數(shù)的解析式；
（2）令，利用換元法轉(zhuǎn)化為，求最大值即可；
（3）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)的解析式，進而求得函數(shù)的值域；
（4）由方程，得到，根據(jù)，求得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)

因為函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，
所以，可得，
又由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，
所以，
因為，所以，
所以函數(shù).
（2），
令，
則，
所以，，
因為對稱軸，
所以當時，，
即的最大值為.
（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，
再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，
當時，，
當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，
當時，函數(shù)取得最大值，最小值為，
故函數(shù)的值域.
（4）由方程，即，即，
因為，可得，
設(shè)，其中，即，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，如圖

可得方程在區(qū)間有5個解，即，
其中，
即
解得
所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題的關(guān)鍵是首先正確的將已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解析式和圖象，然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性），進而加深理解函數(shù)的極值點、最值點、零點及有界函數(shù)等概念.
22．（2021·江蘇宿遷市·高一期末）已知函數(shù)．請在下面的三個條件中任選兩個解答問題．①函數(shù)的圖象過點；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若是函數(shù)的零點，求的值組成的集合；
（3）當時，是否存在滿不等式？若存在，求出
的范圍，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）選擇①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范圍，利用見解析.
【分析】（1）選擇①②，將點代入，結(jié)合可求，由點是的對稱中心可得，結(jié)合，可得，即可得解析式；選擇①③：將點代入，結(jié)合可求，由，所即，可得，即可得解析式；選擇②③由，所即，可得，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，結(jié)合，可得，即可得解析式；
（2）若是函數(shù)的零點，則，解得
或，可得或，進而可得可能的取值，即可求解；
（3）由得，當時，函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，，，利用偶函數(shù)的性質(zhì)原不等式可化為，即可求解.
【詳解】
選擇①②：
因為函數(shù)的圖象過點，
所以，解得，因為，所以，
因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，
可得，因為，所以，，
所以，
選擇①③：
若函數(shù)的圖象過點，
所以，解得，因為，所以，
因為函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為，
所以，所以，，解得：，
所以，
選擇②③：
因為函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為，
所以，所以，，解得：，
若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，
可得，因為，所以，，
所以
（2）若是函數(shù)的零點，則，
可得，
所以或
解得：或，
若是函數(shù)的零點，則，，

當時，，
當時，，
當時，
所以的值組成的集合為；
（3）當時，，
令，則，令，
則，，
因為，
所以，即，
所以，即，，
解得：.
所以實數(shù)的范圍是：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式，再利用余弦函數(shù)的零點可求可能的取值，求的范圍的關(guān)鍵是構(gòu)造偶函數(shù)，利用單調(diào)性脫掉，解關(guān)于的不等式.
23．（2020·江蘇高一課時練習(xí)）函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù).
（1）求φ的值.
（2）若f（x）圖象上的點關(guān)于M（π，0）對稱.
①求ω滿足的關(guān)系式；
②若f（x）在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，求ω的值.
【答案】（1）；（2）①，②或2.
【分析】（1）根據(jù)，，以及0≤φ≤π可解得結(jié)果；
（2）①根據(jù)可求得結(jié)果；②根據(jù)，，求出且，驗證時，在區(qū)間[0，]上是否單調(diào)即可得解.
【詳解】（1）因為函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，
所以，，
因為0≤φ≤π，所以，＝；
（2）①由f（x）的圖象關(guān)于點M對稱，得，
所以，
又＞0，所以＝+kπ，，
∴，，
②由于，，
因為f（x）在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，所以，即，
所以，所以且，
當k＝0時，，f（x）＝sin（x+）在[0，]上是減函數(shù)，滿足題意；
當k＝1時，，f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，在[0，]上是減函數(shù)，滿足題意；
當k＝2時，ω＝，f（x）＝sin（x+）在[0，]上不是單調(diào)函數(shù)；
所以，綜合得ω＝或2.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三角函數(shù)的奇偶性、對稱性和單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.
24．（2020·浙江高一期末）設(shè)函數(shù)．
（1）當時，用表示的最大值；
（2）當時，求的值，并對此值求的最小值；
（3）問取何值時，方程在上有兩解？
【答案】（1）（a）；（2）或；當時，，當時，；（3）或．
【分析】（1）用同角公式對化簡得，設(shè)，則函數(shù)是開口向下，對稱軸為的拋物線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對進行討論得出答案．
（2）（a）代入（1）中的（a）的表達式即可得出結(jié)果．
（3）方程．即，，欲使方程在，上有兩解．則必須，從而求出的范圍即可．
【詳解】
解：（1）

．

令，則，，
可知函數(shù)是開口向下，對稱軸為的拋物線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當時，最大值為；當可得最大值；當時，可得最大值.故的最大值（a）．
（2）當（a）時，
；
或（與矛盾，全部舍去；
；
或．
當時，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，；
②當時，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，．
（3）方程
即，
即，，
令，則有，如圖，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得值域為，如圖所示

即，根據(jù)以上圖象大致可得圖象如圖所示：

方程在，上有兩解．
即在，上有兩解，
由上圖可知，
或．
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)．在二次函數(shù)的性質(zhì)的使用的時候要特別注意對稱軸的位置．
25．（2020·界首中學(xué)高一期末）已知向量，，函數(shù).
（1）求的最小正周期及圖象的對稱軸方程；
（2）若先將的圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，然后再向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點之和.
【答案】（1）最小正周期為，對稱軸方程為；（2）.
【分析】（1）結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標運算，化簡求得，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，結(jié)合函數(shù)的零點的概念和正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）由題意，向量，，
所以

.
可得，即函數(shù)的最小正周期為，
令，解得
所以函數(shù)的最小正周期為，對稱軸方程為.
（2）由（1）知，
將的圖象上每個點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得，
然后將向左平移個單位長度得到函數(shù)，
令，即，
由圖可知，在上有4個零點：，，，，
根據(jù)對稱性有，，
所以所有零點和為.

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象變換，以及向量的數(shù)量積運算，函數(shù)與方程等知識點的綜合應(yīng)用，著重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.
26．（2020·全國）已知函數(shù).

（1）用五點法畫出這個函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像；（必須列表）
（2）求它的振幅、周期、初相、對稱軸方程；
（3）說明此函數(shù)圖象可由在上的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.
【答案】（1）作圖見解析（2）周期，振幅，初相，對稱軸（3）詳見解析
【分析】（1）列表描點作圖即可求解；
（2）由正弦型函數(shù)性質(zhì)即可求出振幅、周期、初相；
（3）根據(jù)圖象的變換，可先平移，后伸縮，再上下平移即可.
【詳解】（1）列表：

0

3
6
3
0
3

（2）周期，
振幅，
初相，
由，得即為對稱軸；
（3）①由的圖象上各點向左平移個長度單位，得的圖象；
②由的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得的圖象；
③由的圖象上各點的縱坐標伸長為原來的3倍（橫坐標不變），得的圖象；
④由的圖象上各點向上平移3個長度單位，得的圖象.
【點睛】本題主要考查了“五點法”作圖，的性質(zhì)、圖象變換，屬于中檔題.
27．（2020·廣東云浮市·高一期末）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）證明：在上單調(diào)遞增.
（2）設(shè)，函數(shù)，如果總存在，對任意，都成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)定義任取,,且,利用作差,變形后即可判斷符號,即可證明函數(shù)的單調(diào)性.
（2）根據(jù)定義可判斷和的奇偶性.由不等式在區(qū)間上的恒成立,可知存在,對任意都有.根據(jù)解析式及單調(diào)性,分別求得的最大值和的最大值,即可得不等式.再利用換元法,構(gòu)造對勾函數(shù)形式,即可解不等式求得的取值范圍.
【詳解】（1）證明：任取,,且,則

因為,,所以,,,
所以,即當時,總有,所以在上單調(diào)遞增.
（2）由,
得是上的偶函數(shù),同理,也是上的偶函數(shù).
總存在,對任意都有,即函數(shù)在上的最大值不小于,的最大值.
由（1）知在上單調(diào)遞增,所以當時,的最大值為,
.
因為,,所以當時,的最大值為.
所以.
令,則,
令,
易知在上單調(diào)遞增,又,所以,即,
所以,即實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】本題考查了利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,由存在性與恒成立問題,解不等式求參數(shù)的取值范圍,綜合性強,對思維能力要求較高,屬于難題.
28．（2019·河南省實驗中學(xué)高一期中）已知向量（其中），記，且滿足.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若關(guān)于的方程在上有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據(jù)向量坐標運算公式，求出的表達式，化簡為標準型，結(jié)合周期可得的解析式；
（2）結(jié)合所給區(qū)間，求出的值域，再利用根的分布問題求解.
【詳解】（1）

由，得是函數(shù)的一個周期，
所以，的最小正周期，解得
又由已知，得 ,
因此，.
（2）由，得
故：
因此函數(shù)的值域為.
設(shè)，
使關(guān)于的方程在上有三個不相等的實數(shù)根，當且僅當關(guān)于的方程在和上分別有一個實數(shù)根，或有一個實數(shù)根為1，另一實數(shù)根在區(qū)間上
令
①當關(guān)于的方程在和上分別有一個實數(shù)根時，
解得
②當方程的一個根是時，，
另一個根為，不滿足條件；
③當方程的一個根是時，，
另一個根為，不滿足條件；
因此，滿足條件的實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，利用恒等變換先把函數(shù)化為標準型，再結(jié)合周期可求解析式；結(jié)合換元法可求最值問題等.
29．（2020·商丘市第一高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，其中常數(shù)．
（1）在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若，將函數(shù)圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，且過，若函數(shù)在區(qū)間（，且）滿足：在上至少含30個零點，在所上滿足上述條件的中，求的最小值；
（3）在（2）問條件下，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】(1)由二倍角正弦公式化簡原函數(shù)，即知最小正周期，找到其中一個遞增區(qū)間，由已知區(qū)間屬于遞增區(qū)間列不等式組求的范圍即可；(2)根據(jù)函數(shù)圖象平移得到，由其過P點且求出值，在上至少含30個零點，根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范圍
【詳解】解（1）由題意，有，又則最小正周期
由正弦函數(shù)的性質(zhì)，當，函數(shù)取得最小值，函數(shù)取得最大值
∴是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間
若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則且
解得
（2）∵由（1）：
∴將函數(shù)圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象
∵的圖象過．
∴，可得：，解得：，，
即：，，
∵
∴，可得的解析式為：
∴的周期為
在區(qū)間（，且）滿足：在上至少有30個零點，
即在上至少有30個解．
∴有或
解得：或
分析：直線與三角函數(shù)圖象的一個周期內(nèi)的交點中，兩個交點距離：最小為波谷跨度，最大為波峰跨度：
∴當交點正好跨過15個波谷，即跨過14個整周期和一個波谷時，有最小值
即，在所有滿足上述條件的中的最小值為
（3），設(shè)，
∵即可
只需要解得
綜上所述
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，1、應(yīng)用二倍角正弦公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍；2、根據(jù)函數(shù)圖象平移得到新函數(shù)的解析式，由函數(shù)的零點個數(shù)求最值；3、將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值情況下不等式成立，進而求參數(shù)范圍
30．（2020·河南高一期末）如圖所示，點在圓的一段圓弧上，設(shè).

（Ⅰ）若，求的取值范圍；
（Ⅱ)設(shè)，過點的直線與軸垂直交于點，設(shè)曲邊多邊形的面積為；
（?。┣蠛瘮?shù)的解析表達式；
（ⅱ）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）運用向量的模的計算　和向量的數(shù)量積的定義可得.再運用正弦函數(shù)的值域可求得的取值范圍.
（Ⅱ）（?。┯缮刃蔚拿娣e公式和三角形的面積公式可表示.
（ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為，由三角函數(shù)的值域和不等式的恒成立思想可求得取值范圍．
【詳解】（Ⅰ）.
因為，所以的值域為，所以的取值范圍為.
（Ⅱ）（?。?
（ⅱ），即，
因為，所以，所以，
所以.
【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算之求向量的模，正弦函數(shù)的值域，以及不等式的恒成立思想的運用，屬于較難題．

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