?2022年河南省新鄉(xiāng)市輝縣市中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、單選題。
1．﹣3的絕對(duì)值是（　?。?br /> A．13 B．﹣3 C．3 D．±3
2．千磨萬擊還堅(jiān)勁，任爾東西南北風(fēng)．在全球疫情肆虐的大背景下，一場(chǎng)自上世紀(jì)大蕭條以來最嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)衰退也隨之而來，但是率先控制疫情、率先啟動(dòng)復(fù)工復(fù)產(chǎn)、率先實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長轉(zhuǎn)正的中國，1月18日，國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了2020年中國經(jīng)濟(jì)年報(bào)，經(jīng)過初步核算，全年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)101萬億元！數(shù)據(jù)101萬億用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A．10.1×1010 B．1.01×1011 C．1.01×1013 D．1.01×1014
3．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（　　）
A．a(chǎn)8÷a4＝a2 B．a(chǎn)2?a3＝a6
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a2）3＝8a6
4．現(xiàn)在道路上的車輛是越來越多了，如果沒有交通規(guī)則約束和交通標(biāo)志指示，那么路上的車輛一定是混雜堵塞，所以開車時(shí)一定要看清標(biāo)志，文明駕車．下列交通標(biāo)志中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知xx+y=35，則yx=（　?。?br /> A．25 B．34 C．32 D．23
6．把一副直角三角板按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠C＝90°，∠F＝90°，∠D＝30°，∠A＝45°，則∠1+∠2等于（　?。?br />
A．270° B．210° C．180° D．150°
7．如圖，在⊙O中，AB=AC，∠AOB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（　?。?br />
A．40° B．30° C．20° D．15°
8．如圖，菱形ABCD放置在直線l上（AB與直線l重合），AB＝4，∠DAB＝60°，將菱形ABCD沿直線l向右無滑動(dòng)地在直線l上滾動(dòng)，從點(diǎn)A離開出發(fā)點(diǎn)到點(diǎn)A第一次落在直線l上為止，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路徑總長度為（　　）

A．163π3 B．16π3 C．4π3+43π3 D．8π3+83π3
9．對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a+3的性質(zhì)，下列說法中錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1
B．拋物線一定經(jīng)過兩定點(diǎn)（﹣1，3）與（3，3）
C．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
D．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
10．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)B在第一象限角平分線上，BC∥x軸，OB=2AB，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）過點(diǎn)A交BC于點(diǎn)E，連接OA、AE、OE，△AOE的面積為6，則k＝（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空題。
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與y=mx（m≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（2，3），B（﹣6，﹣1），則關(guān)于x的不等式kx+b＞mx的解集是　 ?。?br />
12．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的兩實(shí)數(shù)根，則x2x1+x1x2的值為　 ?。?br /> 13．如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線的長分別為6和8時(shí)，則陰影部分的面積為 　 　．

14．如圖，四邊形ABCD為正方形，且邊長AB＝15，點(diǎn)E是以AB為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠EAB=34時(shí)，DE的長度為　 ?。?br />
15．如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP＝　 ?。?br />
三、解答題。
16．計(jì)算：
（1）計(jì)算：22?(?12)?2+3?1?19+(π?3.14)0；
（2）計(jì)算：a2a?3?a?3；
（3）計(jì)算，使結(jié)果不含負(fù)整指數(shù)冪：（3a2b）﹣2（a﹣3b﹣2）﹣1．
17．一個(gè)不透明的布袋里裝有2個(gè)白球，1個(gè)黑球和若干個(gè)紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個(gè)球，是白球的概率為12．
（1）布袋里紅球有多少個(gè)？
（2）先從布袋中摸出1個(gè)球后不放回，再摸出1個(gè)球，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖等方法求出兩次摸到的球都是白球的概率．
18．目前節(jié)能燈在城市已基本普及，今年山東省面向縣級(jí)及農(nóng)村地區(qū)推廣，為響應(yīng)號(hào)召，某商場(chǎng)計(jì)劃購進(jìn)甲，乙兩種節(jié)能燈共1200只，這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：

進(jìn)價(jià)（元/只）
售價(jià)（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何進(jìn)貨，進(jìn)貨款恰好為46000元？
（2）如何進(jìn)貨，商場(chǎng)銷售完節(jié)能燈時(shí)獲利最多且不超過進(jìn)貨價(jià)的30%，此時(shí)利潤為多少元？
19．如圖，已知⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C、D分別為⊙O上的兩點(diǎn)，CD=BD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，⊙O的切線DF與直線AF交于點(diǎn)F，且AF過點(diǎn)C，連接BD、AD．
（1）求證：CF＝BE；
（2）填空：
①當(dāng)AD＝　 　時(shí)，四邊形AODC是菱形；
②當(dāng)AD＝　 　時(shí)，四邊形AEDF是正方形．

20．學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，已知坡長AC＝12m，坡角α為30°，燈光受燈罩的影響，最遠(yuǎn)端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60°，A、B、C、D在同一平面上．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈1.73．）
（1）求燈桿AB的高度；
（2）求CD的長度．

21．如圖，已知A（﹣4，12），B（﹣1，m）是一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y=?2x（x＜0）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求一次函數(shù)解析式及m的值；
（2）P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，4），B（﹣1，0），C（0，2），拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M（m，n）為（1）中所求拋物線上一點(diǎn)，且0＜m＜4，求n的取值范圍；
（3）一次函數(shù)y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）與（1）中所求拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．
23．如圖1，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P為斜邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作射線PD⊥PE，分別交AC、BC于點(diǎn)D，E．
（1）問題產(chǎn)生
若P為AB中點(diǎn)，當(dāng)PD⊥AC，PE⊥BC時(shí)，PDPE=　 ??；
（2）問題延伸
在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，PDPE的值是否會(huì)發(fā)生改變？如果不變，請(qǐng)證明；如果改變，請(qǐng)說明理由；
（3）問題解決
如圖3，連接DE，若△PDE與△ABC相似，求BP的值．


2022年河南省新鄉(xiāng)市輝縣市中考數(shù)學(xué)一模試卷
答案與解析
一、單選題。
1．﹣3的絕對(duì)值是（　?。?br /> A．13 B．﹣3 C．3 D．±3
【分析】根據(jù)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)即可求解．
【解答】解：﹣3的絕對(duì)值是3．
故選：C．
2．千磨萬擊還堅(jiān)勁，任爾東西南北風(fēng)．在全球疫情肆虐的大背景下，一場(chǎng)自上世紀(jì)大蕭條以來最嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)衰退也隨之而來，但是率先控制疫情、率先啟動(dòng)復(fù)工復(fù)產(chǎn)、率先實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長轉(zhuǎn)正的中國，1月18日，國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了2020年中國經(jīng)濟(jì)年報(bào)，經(jīng)過初步核算，全年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)101萬億元！數(shù)據(jù)101萬億用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　　）
A．10.1×1010 B．1.01×1011 C．1.01×1013 D．1.01×1014
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：將101萬億用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.01×1014．
故選：D．
3．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（　　）
A．a(chǎn)8÷a4＝a2 B．a(chǎn)2?a3＝a6
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a2）3＝8a6
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；積的乘方法則，把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘；對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、a8÷a4＝a4，故A錯(cuò)誤；
B、a2?a3＝a5，故B錯(cuò)誤；
C、（a3）2＝a6，故C正確；
D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
4．現(xiàn)在道路上的車輛是越來越多了，如果沒有交通規(guī)則約束和交通標(biāo)志指示，那么路上的車輛一定是混雜堵塞，所以開車時(shí)一定要看清標(biāo)志，文明駕車．下列交通標(biāo)志中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
5．已知xx+y=35，則yx=（　　）
A．25 B．34 C．32 D．23
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求出2x＝3y，再根據(jù)比例的性質(zhì)求出答案即可．
【解答】解：xx+y=35，
5x＝3x+3y，
2x＝3y，
所以yx=23，
故選：D．
6．把一副直角三角板按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠C＝90°，∠F＝90°，∠D＝30°，∠A＝45°，則∠1+∠2等于（　?。?br />
A．270° B．210° C．180° D．150°
【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)分別表示出∠1和∠2，計(jì)算即可．
【解答】解：如圖：

∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠F+∠FPB，
∵∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，
∴∠1+∠2＝∠D+∠F+∠COP+∠CPO＝∠D+∠F+180°﹣∠C＝30°+90°+180°﹣90°＝210°．
故選：B．
7．如圖，在⊙O中，AB=AC，∠AOB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（　?。?br />
A．40° B．30° C．20° D．15°
【分析】先由圓心角、弧、弦的關(guān)系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圓周角定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：連接CO，如圖：
∵在⊙O中，AB=AC，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠ADC=12∠AOC＝20°，
故選：C．

8．如圖，菱形ABCD放置在直線l上（AB與直線l重合），AB＝4，∠DAB＝60°，將菱形ABCD沿直線l向右無滑動(dòng)地在直線l上滾動(dòng)，從點(diǎn)A離開出發(fā)點(diǎn)到點(diǎn)A第一次落在直線l上為止，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路徑總長度為（　?。?br />
A．163π3 B．16π3 C．4π3+43π3 D．8π3+83π3
【分析】畫出圖形即可知道，從點(diǎn)A離開出發(fā)點(diǎn)到點(diǎn)A第一次落在直線l上為止，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路徑的長度為圖中的弧線長，由此即可解決問題．
【解答】解：如圖，從點(diǎn)A離開出發(fā)點(diǎn)到點(diǎn)A第一次落在直線l上為止，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路徑的長度為圖中弧線長．

由題意可知AD=A2A3，∠DOA2＝120°，DO＝43，
所以點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路徑的長度＝2×60π×4180+120π×43180=83π+833π，
故選：D．
9．對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a+3的性質(zhì)，下列說法中錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1
B．拋物線一定經(jīng)過兩定點(diǎn)（﹣1，3）與（3，3）
C．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
D．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
【分析】根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式x=?b2a可判斷A，將y＝ax2﹣2ax﹣3a+3變形為y＝（x2﹣2x﹣3）a+3，令a的系數(shù)為0可判斷B，用a的代數(shù)式表達(dá)出△，分a＜0和a＞0討論△符號(hào)即可判斷C、D．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a+3對(duì)稱軸為x=?(?2a)2a=1，
∴A正確，不符合題意；
∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a+3＝（x2﹣2x﹣3）a+3，
∴當(dāng)x2﹣2x﹣3＝0，即x＝﹣1或3時(shí)，y＝3，
∴拋物線一定經(jīng)過兩定點(diǎn)（﹣1，3）與（3，3），
故B正確，不符合題意；
∵△＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+3）＝16a2﹣12a＝4a（4a﹣3），
當(dāng)a＜0時(shí)，4a＜0，4a﹣3＜0，
∴4a（4a﹣3）＞0，即Δ＞0，
∴C正確，不符合題意；
而當(dāng)拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得：△＝4a（4a﹣3）＞0，解得a＜0或a＞34，
∴D不正確，符合題意；
故選：D．
10．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)B在第一象限角平分線上，BC∥x軸，OB=2AB，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）過點(diǎn)A交BC于點(diǎn)E，連接OA、AE、OE，△AOE的面積為6，則k＝（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】借助反比例函數(shù)K的幾何意義，運(yùn)用面積法求解
【解答】解：如圖，
過點(diǎn)B，E分別作BF，EH⊥x軸，設(shè)OF＝m，
OB為角平分線，∴BF＝m，OB=2m，AB＝m，OH=km，
S△AOE＝S△OAF+S梯形AFHE﹣S△OHE=k2+12×(m+2m)×(km?m)?k2=6，
即k﹣m2＝4，
將A（m，2m）代入反比例函數(shù)y=kx得，k＝2m2，
即k?k2=4，
k＝8．
故選：C．
二、填空題。
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與y=mx（m≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（2，3），B（﹣6，﹣1），則關(guān)于x的不等式kx+b＞mx的解集是　﹣6＜x＜0或x＞2　．

【分析】不等式kx+b＞mx的解集，在圖象上即為一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方時(shí)的自變量的取值范圍．
【解答】解：不等式kx+b＞mx的解集為：﹣6＜x＜0或x＞2，
故答案為：﹣6＜x＜0或x＞2．
12．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的兩實(shí)數(shù)根，則x2x1+x1x2的值為　10?。?br /> 【分析】先根據(jù)根與匇的關(guān)系得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，再運(yùn)用通分和完全平方公式變形得到x2x1+x1x2=(x1+x2)2?2x1x2x1x2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，
所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2?2x1x2x1x2=(?6)2?2×33=10．
故答案為10．
13．如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線的長分別為6和8時(shí)，則陰影部分的面積為 　12?。?br />
【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半求出面積，再根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半解答．
【解答】解：∵菱形的兩條對(duì)角線的長分別為6和8，
∴菱形的面積=12×6×8＝24，
∵O是菱形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴陰影部分的面積=12×24＝12．
故答案為：12．
14．如圖，四邊形ABCD為正方形，且邊長AB＝15，點(diǎn)E是以AB為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠EAB=34時(shí)，DE的長度為　317或365?。?br />
【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得∠AEB＝90°，解直角三角形得BE＝9，AE＝12，過點(diǎn)E分別作EP⊥AD于P，EQ⊥AB于Q，則四邊形AQEP為矩形，可得出AP＝EQ=365，PE＝AQ=485，然后分兩種情況利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵點(diǎn)E是以AB為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BE，
∵tan∠EAB=34，
∴BEAE=34，
設(shè)BE＝3x，AE＝4x，
∴AB=AE2+BE2=5x，
∵AB＝5x＝15，解得：x＝3，
∴BE＝9，AE＝12，
過點(diǎn)E分別作EP⊥AD于P，EQ⊥AB于Q，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB⊥AD，
∴四邊形AQEP為矩形，
∴AP＝EQ，
∵sin∠EAQ=EQAE=BEAB=35，cos∠EAQ=AQAE=AEAB=45，
∴AP＝EQ=35AE，PE＝AQ=45AE，
∵AB＝15，
∴AP＝EQ=365，PE＝AQ=485，
當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時(shí)，
DE=(AD?AP)2+PE2=153=317，
當(dāng)點(diǎn)E在AB下方時(shí)，

DE=(AD+AP')2+P'E'2=585=365．
∴DE的長度為317或365．
故答案為：317或365．
15．如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP＝　1或4或2.5　．

【分析】需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得DP的長度．
【解答】解：①當(dāng)△APD∽△PBC時(shí)，ADPC=PDBC，
即25?PD=PD2，
解得：PD＝1，或PD＝4；
②當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，ADBC=PDPC，即22=PD5?PD，
解得：DP＝2.5．
綜上所述，DP的長度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
三、解答題。
16．計(jì)算：
（1）計(jì)算：22?(?12)?2+3?1?19+(π?3.14)0；
（2）計(jì)算：a2a?3?a?3；
（3）計(jì)算，使結(jié)果不含負(fù)整指數(shù)冪：（3a2b）﹣2（a﹣3b﹣2）﹣1．
【分析】（1）化簡有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，算術(shù)平方根，零指數(shù)冪，然后再算加減；
（2）將原式進(jìn)行通分，然后再計(jì)算；
（3）利用積的乘方與冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算乘方，然后根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算乘法，最后根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡．
【解答】解：（1）原式＝4﹣4+13?13+1
＝1；
（2）原式=a2a?3?(a+3)(a?3)a?3
=a2?a2+9a?3
=9a?3；
（3）原式＝3﹣2a﹣4b﹣2?（a3b2）
＝3﹣2a﹣1
=19a．
17．一個(gè)不透明的布袋里裝有2個(gè)白球，1個(gè)黑球和若干個(gè)紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個(gè)球，是白球的概率為12．
（1）布袋里紅球有多少個(gè)？
（2）先從布袋中摸出1個(gè)球后不放回，再摸出1個(gè)球，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖等方法求出兩次摸到的球都是白球的概率．
【分析】（1）設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x，根據(jù)白球的概率可得關(guān)于x的方程，解方程即可；
（2）畫出樹形圖，即可求出兩次摸到的球都是白球的概率．
【解答】解：（1）設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x，由題意可得：
22+1+x=12，
解得：x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1是方程的根，
即紅球的個(gè)數(shù)為1個(gè)；
（2）畫樹狀圖如下：

∴P（摸得兩白）=212=16．
18．目前節(jié)能燈在城市已基本普及，今年山東省面向縣級(jí)及農(nóng)村地區(qū)推廣，為響應(yīng)號(hào)召，某商場(chǎng)計(jì)劃購進(jìn)甲，乙兩種節(jié)能燈共1200只，這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：

進(jìn)價(jià)（元/只）
售價(jià)（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何進(jìn)貨，進(jìn)貨款恰好為46000元？
（2）如何進(jìn)貨，商場(chǎng)銷售完節(jié)能燈時(shí)獲利最多且不超過進(jìn)貨價(jià)的30%，此時(shí)利潤為多少元？
【分析】（1）設(shè)商場(chǎng)購進(jìn)甲型節(jié)能燈x只，則購進(jìn)乙型節(jié)能燈（1200﹣x）只，根據(jù)兩種節(jié)能燈的總價(jià)為46000元建立方程求出其解即可；
（2）設(shè)商場(chǎng)購進(jìn)甲型節(jié)能燈a只，則購進(jìn)乙型節(jié)能燈（1200﹣a）只，商場(chǎng)的獲利為y元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立y與a的解析式就可以求出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)商場(chǎng)購進(jìn)甲型節(jié)能燈x只，則購進(jìn)乙型節(jié)能燈（1200﹣x）只，由題意，得
25x+45（1200﹣x）＝46000，
解得：x＝400．
∴購進(jìn)乙型節(jié)能燈1200﹣400＝800（只）．
答：購進(jìn)甲型節(jié)能燈400只，購進(jìn)乙型節(jié)能燈800只進(jìn)貨款恰好為46000元；

（2）設(shè)商場(chǎng)購進(jìn)甲型節(jié)能燈a只，則購進(jìn)乙型節(jié)能燈（1200﹣a）只，商場(chǎng)的獲利為y元，由題意，得
y＝（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a），
y＝﹣10a+18000．
∵商場(chǎng)銷售完節(jié)能燈時(shí)獲利最多且不超過進(jìn)貨價(jià)的30%，
∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×30%，
∴a≥450．
∵y＝﹣10a+18000，
∴k＝﹣10＜0，
∴y隨a的增大而減小，
∴a＝450時(shí)，y最大＝13500元．
∴商場(chǎng)購進(jìn)甲型節(jié)能燈450只，購進(jìn)乙型節(jié)能燈750只時(shí)的最大利潤為13500元．
19．如圖，已知⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C、D分別為⊙O上的兩點(diǎn)，CD=BD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，⊙O的切線DF與直線AF交于點(diǎn)F，且AF過點(diǎn)C，連接BD、AD．
（1）求證：CF＝BE；
（2）填空：
①當(dāng)AD＝　23　時(shí)，四邊形AODC是菱形；
②當(dāng)AD＝　22　時(shí)，四邊形AEDF是正方形．

【分析】（1）連接OD，CD，由切線的性質(zhì)得出∠ODF＝90°，由圓周角定理得出∠ADB＝90°，得出∠ODB＝∠ADF，證出DE＝DF，證明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）①由勾股定理求出BD的長，得出△OBD和△OCD是等邊三角形，根據(jù)菱形的判定可得出結(jié)論；
②根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及正方形的判定可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接OD，CD，

∵FD是⊙O的切線，
∴∠ODF＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ODB＝∠ADF，
∵CD=BD，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝BD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠B＝∠ADF，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴CF＝BE；
（2）①解：連接OC，

當(dāng)AD＝23時(shí)，四邊形AODC是菱形．
∵∠ADB＝90°，AD＝23，AB＝4，
∴BD=AB2?AD2=2，
∴BD=12AB，
∴OD＝OA＝BD＝2，∠BAD＝30°，
又∵BD＝CD，
∴OA＝CD＝OD＝OC，
∴△ODC和△OBD都是等邊三角形，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°，
∴OA∥DC，
∴四邊形AODC是平行四邊形，
又∵OA＝OD，
∴四邊形AODC是菱形；
故答案為23；
②當(dāng)AD＝22時(shí)，四邊形AEDF是正方形．

當(dāng)AD＝22時(shí)，如圖，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，
∵DE⊥CE，DF⊥ED，
∴CE∥DF，
∵△CED為等腰直角三角形，
∴CE＝OD＝DF，
∴四邊形AEDF是正方形．
故答案為22．
20．學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，已知坡長AC＝12m，坡角α為30°，燈光受燈罩的影響，最遠(yuǎn)端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60°，A、B、C、D在同一平面上．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈1.73．）
（1）求燈桿AB的高度；
（2）求CD的長度．

【分析】（1）延長BA交CG于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)正切的定義求出CE，再根據(jù)正切的定義求出BE，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)正切的定義求出DE，進(jìn)而求出CD．
【解答】解：（1）延長BA交CG于點(diǎn)E，
則BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE=12AC=12×12＝6（m），CE＝AC?cosα＝12×32=63（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE?tan∠BCE＝63×3=18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE=BEtan∠BDE?63≈24.9（m）．

21．如圖，已知A（﹣4，12），B（﹣1，m）是一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y=?2x（x＜0）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求一次函數(shù)解析式及m的值；
（2）P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

【分析】（1）把B（﹣1，m）代入反比例函數(shù)y=?2x可求出m的值，把A（﹣4，12），B（﹣1，2）代入一次函數(shù)y＝kx+b可求出k、b的值，進(jìn)而確定一次函數(shù)的關(guān)系式：
（2）由于點(diǎn)P在直線y=12x+52上；可設(shè)P（x，12x+52），利用兩個(gè)三角形的面積相等列方程求出x，進(jìn)而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把B（﹣1，m）代入反比例函數(shù)y=?2x得，m＝2，
把A（﹣4，12），B（﹣1，2）代入一次函數(shù)y＝kx+b得：
則?4k+b=12?k+b=2，解得k=12b=52
∴一次函數(shù)的解析式為y=12x+52，
即：m＝2，一次函數(shù)的關(guān)系式為y=12x+52；
（2）連接PC、PD，如圖，由于點(diǎn)P在直線y=12x+52上；
設(shè)P（x，12x+52）
由△PCA和△PDB面積相等得：12×12×（x+4）=12×1×（2?12x?52），
解得，x=?52，
把x=?52代入得，y=12×（?52）+52=54，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（?52，54）．

22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，4），B（﹣1，0），C（0，2），拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M（m，n）為（1）中所求拋物線上一點(diǎn)，且0＜m＜4，求n的取值范圍；
（3）一次函數(shù)y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）與（1）中所求拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)拋物線圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求得；
（3）根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．
【解答】解：（1）由題意可知：拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，
∴a+b+3=4a?b+3=0．
解得：a=?1b=2，
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵拋物線y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
當(dāng)m＝0時(shí)，n＝3；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝﹣5，
∴當(dāng)0＜m＜4時(shí)，﹣5＜n≤4；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝（x+1）（x﹣3），
∴拋物線開口向下，與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0），
∵一次函數(shù)y＝（k﹣1）x﹣3k+3＝（k﹣1）（x﹣3），
∴一次函數(shù)y＝（k﹣1）x﹣3k+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），
∵一次函數(shù)y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）與（1）中所求拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，
∴一次函數(shù)y＝（k﹣1）x﹣3k+3經(jīng)過一、三、四象限，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1．
23．如圖1，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P為斜邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作射線PD⊥PE，分別交AC、BC于點(diǎn)D，E．
（1）問題產(chǎn)生
若P為AB中點(diǎn)，當(dāng)PD⊥AC，PE⊥BC時(shí)，PDPE=　43??；
（2）問題延伸
在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，PDPE的值是否會(huì)發(fā)生改變？如果不變，請(qǐng)證明；如果改變，請(qǐng)說明理由；
（3）問題解決
如圖3，連接DE，若△PDE與△ABC相似，求BP的值．

【分析】（1）可將PDPE轉(zhuǎn)化為BEPE，進(jìn)而根據(jù)△BEP∽△BCA求得結(jié)果；
（2）作PG⊥AC于G，作PH⊥BC于H，證明△PHE∽△PGD，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（3）當(dāng)△PDE∽△CAB時(shí)，可證得點(diǎn)C、D、P、E共圓，進(jìn)一步證得△BPC∽△BCA，進(jìn)而求得BP，當(dāng)△PDE∽△CBA時(shí)，則∠PDE＝∠B，同樣得出∠PDE＝∠PCB，進(jìn)而推出點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，從而求得BP．
【解答】解：（1）∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴∠PDC＝∠PEC＝∠C＝90°，
∴四邊形CDPE是矩形，
∴PD＝CE，PE∥AC，
∴△BEP∽△BCA，
∴BEBC=BPAB==12，BEPE=BCAC=43，
∴BE=12BC，
∴CE＝BE，
∴PDPE=43，
故答案是：43
（2）如圖1，

PDPE的值不變，理由如下：
作PG⊥AC于G，作PH⊥BC于H，
∴∠PGC＝∠PHC＝∠C＝90°，
∴四邊形PHCG是矩形，
∴∠GPH＝90°，
∵PD⊥PE，
∴∠DPE＝90°，
∴∠DPE＝∠GPH，
∴∠HPE＝∠DPG，
∴△PHE∽△PGD，
∴PDPE=PGPH，
由（1）得：PGPH=43，
∴PDPE=43；
（3）如圖2，

連接CP，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
當(dāng)△PDE∽△CAB時(shí)，則∠PDE＝∠A，
∵∠DPE+∠ACB＝90°+90°＝180°，
∴點(diǎn)C、D、P、E共圓，
∴∠PDE＝∠BCP，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BPC∽△BCA，
∴PBBC=BCAB，
∴PB4=45，
∴PB=165，
如圖3，

當(dāng)△PDE∽△CBA時(shí)，則∠PDE＝∠B，
由圖2知，∠PDE＝∠PCB，
∴∠B＝∠PCB，
∴PC＝PB，
同理可得：PC＝PA，
∴PB＝PA，
∴PB=12AB=52，
綜上所述：BP=165或52．



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