?2021年福建省福州十六中中考數(shù)學(xué)三模試卷
一、選擇題：（本題共10小題，每小題4分，共40分）
1．（4分）與2021相加和為零的數(shù)是（　　）
A．﹣2021 B．?12021 C．0 D．12021
2．（4分）2021年國家統(tǒng)計局、國務(wù)院第七次全國人口普查領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室5月11日發(fā)布，全國人口超過1400000000人．其中，1400000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．14×108 B．1.4×109 C．0.14×1010 D．1.4×108
3．（4分）如圖所示的幾何體左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
4．（4分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．2a×3a＝6a C．（a2）3＝a6 D．a(chǎn)2?a3＝a6
5．（4分）一名射擊運動員連續(xù)打靶8次，命中的環(huán)數(shù)如圖所示，則命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（　?。?br />
A．9環(huán)與8環(huán) B．8環(huán)與9環(huán) C．8環(huán)與8.5環(huán) D．8.5環(huán)與9環(huán)
6．（4分）實數(shù)a與b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
7．（4分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠B，∠C＝∠D＝∠E＝90°，DE＝DC＝3，AB=2，則五邊形ABCDE的周長是（　?。?br />
A．12+2 B．11+2 C．10+2 D．9+2
8．（4分）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（　?。?br /> A．3（x﹣1）=6210x B．6210x?1=3
C．3x﹣1=6210x D．6210x=3
9．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（10，0），B（8，0），點C，D是以O(shè)A為直徑的半圓上兩點，且四邊形OCDB是平行四邊形，則點C的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（2，3） B．（2，4） C．（1，2） D．（1，3）
10．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3（a＞0），當(dāng)1≤x≤m時，3﹣4a≤y≤4，則m的取值范圍為（　?。?br /> A．1≤m≤2 B．1≤m≤4 C．m≥4 D．2≤m≤4
二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）與23最接近的整數(shù)是 　 ?。?br /> 12．（4分）因式分解：2a2﹣2＝　 ?。?br /> 13．（4分）方差公式S2=15[（6?x）2+（9?x）2+（14?x）2+（15?x）2+（16?x）2]，則公式中x=　 　．
14．（4分）若一個圓錐的底面半徑為3，側(cè)面展開圖的圓心角為120°，則該圓錐體的側(cè)面積為 　 ?。?br /> 15．（4分）下列四個命題：
①一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；
②一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；
③一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
④一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形．
其中假命題的是 　 　．（只填序號）
16．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，sin∠A=35，將平行四邊形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，且AD⊥x軸，點D的橫坐標(biāo)為1，點C的縱坐標(biāo)為2，恰有一條雙曲線y=kx（k＞0，x＞0）同時經(jīng)過B，D兩點，則點B的縱坐標(biāo)是 　 ?。?br />
三、解答題（本大題有8小題，共80分）
17．（8分）計算：4cos30°+2﹣1?12．
18．（8分）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且AE＝CF．求證：BE＝DF．

19．（8分）先化簡，再求值：2x+1?x?3x2?1，其中x＝2021．
20．（8分）已知直線l：y＝kx（k≠0）經(jīng)過點A（﹣1，2）．點P為直線l上一點，其橫坐標(biāo)為m．過點P作y軸的垂線，與函數(shù)y=4x（x＞0）的圖象交于點Q．
（1）求k的值；
（2）①求點Q的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面積大于3，直接寫出點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點M是BC的中點．
（1）在AM上求作一點E，使△ADE∽△MAB（尺規(guī)作圖，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，求AE的長．

22．（10分）如圖，AB是⊙O的弦，C為⊙O上一點，過點C作AB的垂線與AB的延長線交于點D，連接BO并延長，與⊙O交于點E，連接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若tanE=13，BD＝1，求AB的長．

23．（10分）中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普素合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶（男性4000人，女性2000人），從中隨機(jī)抽取了60名（女性20人），統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元），規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機(jī)支付族”，其他為“非手機(jī)支付族”．
（1）①：根據(jù)已知條件，將下列表格補(bǔ)充完整（其中a＝30，d＝8）．

手機(jī)支付
非手機(jī)支付
合計
男
a
b
　 　
女
c
d
　 　
合計
　 　
　 　
60
②：用樣本估計總體，由①可得，若從騰訊服務(wù)的女性用戶中隨機(jī)抽取1位，這1位女性用戶是“手機(jī)支付族”的概率是多少？
（2）某商場為了推廣手機(jī)支付，特推出兩種優(yōu)惠方案：
方案一：手機(jī)支付消費每滿1000元可直減100元；
方案二：手機(jī)支付消費每滿1000元可抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：從裝有4個小球（其中2個紅球2個白球，它們除顏色外完全相同）的盒子中隨機(jī)摸出2個小球（逐個放回后抽?。?，若摸到1個紅球則打9折，若摸到2個紅球則打8.5折，若未摸到紅球按原價付款．
如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價值1500元的商品，請從實際付款的平均金額的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算．
24．（12分）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝AC，點E在線段AD上，點F在線段AC上，連接EF，且EF∥CD．
（1）連接BE，若AE＝3，AB＝32，求線段BE的長．
（2）將△AFE繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接BF、CF，CF交AE邊于點P，延長BF交AE于M，且M為AE的中點，求證：AE+BF＝2AP．
（3）如圖3，將△AEF繞A點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接CF，N為CF的中點，連接BN、AN，若ABAF=455，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)線段BN的長最大時，請直接寫出S△ACNS△BCN的值．
25．（14分）已知拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，2）．
（1）若點（﹣1，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時，y1?y2x1?x2＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時，y1?y2x1?x2＜0，拋物線與x軸交于點B，C，若△ABC為等腰直角三角形．
①求拋物線的解析式；
②點P與點O關(guān)于點A對稱，點D在拋物線上，點D關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為E，若直線PD與拋物線存在另一交點F，求證：E，O，F(xiàn)三點在同一條直線上．

2021年福建省福州十六中中考數(shù)學(xué)三模試卷
答案與解析
一、選擇題：（本題共10小題，每小題4分，共40分）
1．（4分）與2021相加和為零的數(shù)是（　?。?br /> A．﹣2021 B．?12021 C．0 D．12021
【分析】根據(jù)有理數(shù)加法法則：相反數(shù)相加為0可得答案．
【解答】解：﹣2021+2021＝0．
故選：A．
2．（4分）2021年國家統(tǒng)計局、國務(wù)院第七次全國人口普查領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室5月11日發(fā)布，全國人口超過1400000000人．其中，1400000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．14×108 B．1.4×109 C．0.14×1010 D．1.4×108
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：1400000000＝1.4×109．
故選：B．
3．（4分）如圖所示的幾何體左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．
【解答】解：從左邊看是一個矩形中間為虛線，
故選：C．
4．（4分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．2a×3a＝6a C．（a2）3＝a6 D．a(chǎn)2?a3＝a6
【分析】直接利用合并同類項法則、單項式乘法、冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘除運算法則分別計算得出答案．
【解答】解：選項A：a2和a3不是同類項，不能合并，不符合題意；
選項B：2a×3a＝6a2，不符合題意；
選項C：（a2）3＝a2×3＝a6，符合題意；
選項D：a2?a3＝a2+3＝a5，不符合題意；
故選：C．
5．（4分）一名射擊運動員連續(xù)打靶8次，命中的環(huán)數(shù)如圖所示，則命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（　　）

A．9環(huán)與8環(huán) B．8環(huán)與9環(huán) C．8環(huán)與8.5環(huán) D．8.5環(huán)與9環(huán)
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；根據(jù)中位數(shù)的定義求出最中間兩個數(shù)的平均數(shù)即可．
【解答】解：根據(jù)統(tǒng)計圖可得：
8出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
則眾數(shù)是8；
∵共有8個數(shù)，
∴中位數(shù)是第4和5個數(shù)的平均數(shù)，
∴中位數(shù)是（8+9）÷2＝8.5；
故選：C．
6．（4分）實數(shù)a與b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
【分析】根據(jù)數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)b＜a，且，由此即可判斷以上選項正確與否．
【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合題意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合題意；
C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合題意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合題意．
故選：C．
7．（4分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠B，∠C＝∠D＝∠E＝90°，DE＝DC＝3，AB=2，則五邊形ABCDE的周長是（　?。?br />
A．12+2 B．11+2 C．10+2 D．9+2
【分析】可連接CE，作AF⊥CE，BG⊥CE于F、G，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出AB、AE+BC，進(jìn)而求出答案．
【解答】解：連接CE，作AF⊥CE，BG⊥CE于F、G，
根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理和已知條件，可得△CDE，△AEF，△BCG都是等腰直角三角形，
則CE=42，
∴FG＝AB=2，
∴AE+BC＝32×2=6，
所以五邊形的周長是3+3+6+2=12+2．
故選：A．

8．（4分）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（　?。?br /> A．3（x﹣1）=6210x B．6210x?1=3
C．3x﹣1=6210x D．6210x=3
【分析】根據(jù)單價＝總價÷數(shù)量結(jié)合少拿一株椽后剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．
【解答】解：依題意，得：3（x﹣1）=6210x．
故選：A．
9．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（10，0），B（8，0），點C，D是以O(shè)A為直徑的半圓上兩點，且四邊形OCDB是平行四邊形，則點C的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（2，3） B．（2，4） C．（1，2） D．（1，3）
【分析】設(shè)以O(shè)A為直徑的半圓的圓心為M，過點C作CE⊥OA于E，過點M作MF⊥CD于F，連接MC，得出CF＝4，MC＝5，四邊形CEMF為矩形，易求OE＝1，由勾股定理即可求得MF，即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵四邊形OCDB是平行四邊形，點B的坐標(biāo)為（8，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝8，
設(shè)以O(shè)A為直徑的半圓的圓心為M，過點C作CE⊥OA于E，過點M作MF⊥CD于F，連接MC，如圖所示：
則CF=12CD＝4，MC=12OA＝5，四邊形CEMF為矩形，
∴ME＝CF＝4，
∵A（10，0），
∴OA＝10，OM＝5，
∴OE＝OM﹣ME＝5﹣4＝1，
在Rt△CMF中，由勾股定理得：MF=MC2?CF2=52?42=3，
∴點C的坐標(biāo)為（1，3），
故選：D．

10．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3（a＞0），當(dāng)1≤x≤m時，3﹣4a≤y≤4，則m的取值范圍為（　　）
A．1≤m≤2 B．1≤m≤4 C．m≥4 D．2≤m≤4
【分析】先建立關(guān)于m的不等式，再求范圍．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+3，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=??4a2a=2，
∴當(dāng)1≤x≤2時，y隨x的增大而減少，當(dāng)x≥2時，y隨x的增大而增大．
∴當(dāng)m≤2時，當(dāng)1≤x≤m時，y隨x的增大而減少．
∴x＝1，y＝4，x＝m，y＝3﹣4a．
∴a﹣4a+3＝4，am2﹣4am+3＝3﹣4a．
∴a=?13，不合題意．
排除A，B．
當(dāng)m＝3時，∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x=??4a2a=2，
∴1≤x≤m，即1≤x≤3．
∴當(dāng)x＝1或x＝3時，y＝4，x＝2時，y＝3﹣4a．
∴a﹣4a+3＝4．
∴a=?13，不合題意．
∴m≠3．
∴排除D．
故選：C．
二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）與23最接近的整數(shù)是 　5?。?br /> 【分析】根據(jù)夾逼法估算無理數(shù)的大小即可得出答案．
【解答】解：∵16＜23＜25，
∴4＜23＜5，
∵4.52＝20.25，
∴4.5＜23＜5，
∴與23最接近的整數(shù)是5．
故答案為：5．
12．（4分）因式分解：2a2﹣2＝　2（a+1）（a﹣1）?。?br /> 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣1）
＝2（a+1）（a﹣1）．
故答案為：2（a+1）（a﹣1）．
13．（4分）方差公式S2=15[（6?x）2+（9?x）2+（14?x）2+（15?x）2+（16?x）2]，則公式中x=　12　．
【分析】由方差公式可得這組數(shù)據(jù)為：6，9，14，15，16，由此即可求出平均數(shù)．
【解答】解：由方差的計算公式可得這組數(shù)據(jù)為：6，9，14，15，16，
∴平均數(shù)x=15×（6+9+14+15+16）＝12．
故答案為：12．
14．（4分）若一個圓錐的底面半徑為3，側(cè)面展開圖的圓心角為120°，則該圓錐體的側(cè)面積為 　27π　．
【分析】設(shè)側(cè)面展開圖所得扇形的半徑為R，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式得到2π?3=120?π?R180，解得R＝9，然后根據(jù)扇形面積公式求解．
【解答】解：設(shè)側(cè)面展開圖所得扇形的半徑為R，
根據(jù)題意得2π?3=120?π?R180，解得R＝9，
所以該圓錐體的側(cè)面積=12?2π?3?9＝27π．
故答案為27π．
15．（4分）下列四個命題：
①一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；
②一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；
③一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
④一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形．
其中假命題的是 ?、佗邰堋。ㄖ惶钚蛱枺?br /> 【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理，逐項判斷即可．
【解答】解：①一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形，不能證明另一組對邊也相等或平行，故錯誤，是假命題；
②一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形，可以利用三角形全等證明平行的一組對邊相等．故是平行四邊形，是真命題；
③一組對邊相等，一組對角相等的四邊形，不滿足三角形全等的條件，無法證明相等的一組對邊平行，故錯誤，是假命題；
④一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形，不能證明一組對邊平行且相等，故錯誤，是假命題；
故答案為：①③④．
16．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，sin∠A=35，將平行四邊形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，且AD⊥x軸，點D的橫坐標(biāo)為1，點C的縱坐標(biāo)為2，恰有一條雙曲線y=kx（k＞0，x＞0）同時經(jīng)過B，D兩點，則點B的縱坐標(biāo)是 　34?。?br />
【分析】連接DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如圖，先利用三角函數(shù)的定義得到sin∠A=BDAD=35，設(shè)BD＝3t，則AD＝5t，AB＝4t，BH=125t，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD＝BC＝5t，CD＝AB＝4t，接著計算出CE=165t，，然后表示出B（1+125t，2﹣5t），k＝2?165t，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到2?165t＝（1+125t）（2﹣5t），解方程求出t即可求得點B的縱坐標(biāo)．
【解答】解：連接DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如圖，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，sin∠A=BDAD=35，
設(shè)BD＝3t，則AD＝5t，
∴AB=AD2?BD2=4t，
在Rt△ABH中，sin∠A=BHAB=35，
∴BH=35?4t=125t，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5t，CD＝AB＝4t，
而AD⊥x軸，
∴BC⊥x軸，
在Rt△CDE中，CE=DC2?DE2=(4t)2?(125t)2=165t，
∵點D的橫坐標(biāo)為1，點C的縱坐標(biāo)為2，
∴D（1，k），B（1+125t，2﹣5t），k＝2?165t，
∵雙曲線y=kx（k＞0，x＞0）同時經(jīng)過B，D兩點，
∵1?k＝（1+125t）（2﹣5t），即2?165t＝（1+125t）（2﹣5t），
整理得4t2﹣t＝0，解得t1＝0（舍去），t2=14，
∴2﹣5t＝2﹣5×14=34，
故答案為：34．

三、解答題（本大題有8小題，共80分）
17．（8分）計算：4cos30°+2﹣1?12．
【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，以及二次根式性質(zhì)計算即可求出值．
【解答】解：原式＝4×32+12?23=12．
18．（8分）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且AE＝CF．求證：BE＝DF．

【分析】本題考查平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用，要證BE＝DF，可以通過證△ABE≌△CDF轉(zhuǎn)而證得邊BE＝DF．要證△ABE≌△CDF，由平行四邊形的性質(zhì)知AB＝CD，AB∥CD，∠BAE＝∠DCF，又知AE＝CF，于是可由SAS證明△ABE≌△CDF，從而BE＝DF得證．本題還可以通過證△ADF≌△CBE來證線段相等．
【解答】證明：證法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF
∴△ABE≌△CDF．
∴BE＝DF．
證法二：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAF＝∠BCE．
∵AE＝CF，
∴AF＝AE+EF＝CF+EF＝CE．
在△ADF和△CBE中，
AD=BC∠DAF=∠BCEAF=CE
∴△ADF≌△CBE．
∴BE＝DF．
19．（8分）先化簡，再求值：2x+1?x?3x2?1，其中x＝2021．
【分析】根據(jù)分式的減法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【解答】解：2x+1?x?3x2?1
=2(x?1)?(x?3)(x+1)(x?1)
=2x?2?x+3(x+1)(x?1)
=x+1(x+1)(x?1)
=1x?1，
當(dāng)x＝2021時，原式=12021?1=12020．
20．（8分）已知直線l：y＝kx（k≠0）經(jīng)過點A（﹣1，2）．點P為直線l上一點，其橫坐標(biāo)為m．過點P作y軸的垂線，與函數(shù)y=4x（x＞0）的圖象交于點Q．
（1）求k的值；
（2）①求點Q的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面積大于3，直接寫出點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

【分析】（1）將點A的坐標(biāo)代入y＝kx得：2＝﹣k，即可求解；
（2）①設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣2m），當(dāng)y＝﹣2m=4x時，x=?2m，即可求解；
②由△POQ的面積=12PQ×yP=12×（?2m?m）×（﹣2m）＞3，即可求解．
【解答】解：（1）將點A的坐標(biāo)代入y＝kx得：2＝﹣k，
即k＝﹣2；

（2）①由（1）知，y＝﹣2x，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣2m），
當(dāng)y＝﹣2m=4x時，x=?2m，
故點Q的坐標(biāo)為（?2m，﹣2m）；
②△POQ的面積=12PQ×yP=12×（?2m?m）×（﹣2m）＞3，

解得m＞1或m＜﹣1，
由函數(shù)y=4x（x＞0），則m＜0，
故m＜﹣1．
21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點M是BC的中點．
（1）在AM上求作一點E，使△ADE∽△MAB（尺規(guī)作圖，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，求AE的長．

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到AD∥BC，則∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似，即可證明出△DAE∽△AMB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求出DE的長，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解（1）過D 作DE⊥AM于E，△ADE即為所求；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AMB，
又∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴△DAE∽△AMB，
∴DE：AD＝AB：AM，
∵M(jìn)是邊BC的中點，BC＝6，
∴BM＝3，
又∵AB＝4，∠B＝90°，
∴AM＝5，
∴DE：6＝4：5，
∴DE=245，
∴AE=AD2?DE2=62?(245)2=185．

22．（10分）如圖，AB是⊙O的弦，C為⊙O上一點，過點C作AB的垂線與AB的延長線交于點D，連接BO并延長，與⊙O交于點E，連接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若tanE=13，BD＝1，求AB的長．

【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得到∠ABE＝∠BOC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切線；
（2）連接AC，BC，根據(jù)圓周角定理得到∠BCE＝90°，推出∠BCD＝∠OCE，得到∠BCD＝∠E，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠E+∠OCE，
∴∠BOC＝2∠E，
∵∠ABE＝2∠E
∴∠ABE＝∠BOC，
∴AB∥OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接AC，BC，
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BCE＝90°，
∴∠OCE+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠OCE，
∴∠BCD＝∠E，
∵∠A＝∠E，tanE=13，BD＝1，
∴CDAD=BDCD=13，
∴AD＝9，
∴AB＝8．

23．（10分）中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普素合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶（男性4000人，女性2000人），從中隨機(jī)抽取了60名（女性20人），統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元），規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機(jī)支付族”，其他為“非手機(jī)支付族”．
（1）①：根據(jù)已知條件，將下列表格補(bǔ)充完整（其中a＝30，d＝8）．

手機(jī)支付
非手機(jī)支付
合計
男
a
b
　40　
女
c
d
　20　
合計
　42　
　18　
60
②：用樣本估計總體，由①可得，若從騰訊服務(wù)的女性用戶中隨機(jī)抽取1位，這1位女性用戶是“手機(jī)支付族”的概率是多少？
（2）某商場為了推廣手機(jī)支付，特推出兩種優(yōu)惠方案：
方案一：手機(jī)支付消費每滿1000元可直減100元；
方案二：手機(jī)支付消費每滿1000元可抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：從裝有4個小球（其中2個紅球2個白球，它們除顏色外完全相同）的盒子中隨機(jī)摸出2個小球（逐個放回后抽取），若摸到1個紅球則打9折，若摸到2個紅球則打8.5折，若未摸到紅球按原價付款．
如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價值1500元的商品，請從實際付款的平均金額的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算．
【分析】（1）①由題意從中隨機(jī)抽取了60名（女性20人）得c+d＝20，男性為60﹣20＝40（人），則a+b＝40，再求出b＝10，c＝12，即可解決問題；
②直接由概率公式求解即可；
（2）求出選方案一，則需付款：1500﹣100＝1400（元），再由樹狀圖法和加權(quán)平均數(shù)求出選方案二實際付款的平均金額，然后比較大小即可．
【解答】解：（1）①∵從中隨機(jī)抽取了60名（女性20人），
∴c+d＝20，男性為：60﹣20＝40（人），
∴a+b＝40，
∵a＝30，d＝8，
∴b＝10，c＝12，
∴a+c＝42，b+d＝18，
故答案為：40，20，42，18；
②若從騰訊服務(wù)的女性用戶中隨機(jī)抽取1位，這1位女性用戶是“手機(jī)支付族”的概率是1220=35；
（2）若選方案一，則需付款：1500﹣100＝1400（元）；
若選方案二，設(shè)實際付款為x元，
則x＝1500元或x＝1500×0.9＝1350（元）或x＝1275（元），
設(shè)兩個紅球為A、B，兩個白球為C、D，
畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中摸到1個紅球的結(jié)果有8種，摸到2個紅球的結(jié)果有4種，未摸到紅球的結(jié)果有4種，
∴摸到1個紅球的概率為816=12，則打9折，
摸到2個紅球的概率為416=14，則打8.5折，
未摸到紅球的概率為416=14，按原價付款，
∴實際付款的平均金額為：1350×12+1275×14+1500×14=1368.75（元），
∵1368.75＜1400，
∴選擇方案二更劃算．
24．（12分）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝AC，點E在線段AD上，點F在線段AC上，連接EF，且EF∥CD．
（1）連接BE，若AE＝3，AB＝32，求線段BE的長．
（2）將△AFE繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接BF、CF，CF交AE邊于點P，延長BF交AE于M，且M為AE的中點，求證：AE+BF＝2AP．
（3）如圖3，將△AEF繞A點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接CF，N為CF的中點，連接BN、AN，若ABAF=455，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)線段BN的長最大時，請直接寫出S△ACNS△BCN的值．
【分析】（1）如圖1中，過點B作BH⊥DA交DA的延長線于H．解直角三角形求出BH，HE即可解決問題．
（2）如圖2中，作BT∥FE交AE的延長線于T，連接CT．想辦法證明BF＝ET，PA＝PT即可解決問題．
（3）如圖3中，取AC的中點J，連接BJ，JN．AF=5m，AB＝4m，首先說明當(dāng)B，J，N共線時，BN的值最大，如圖3﹣2中，過點N作NH⊥AC于H，NK⊥BC于K，過點J作JT⊥BC于T．分別求出△ACN，△BCN的面積（用m表示），即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖1中，過點B作BH⊥DA交DA的延長線于H．

∵AB＝AC，AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠HAB＝∠ABC＝45°，
∵∠H＝90°，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴HB＝HA，
∵AB＝32，
∴HB＝HA＝3，HE＝HA+AE＝3+3＝6，
∴BE=BH2+HE2=32+62=35．

（2）如圖2中，作BT∥FE交AE的延長線于T，連接CT．

由（1）可知，△AFE是等腰直角三角形，
∴FA＝FE，∠AFE＝90°，
∵AM＝ME，
∴BM⊥AE，F(xiàn)M＝ME＝AM，
∴∠MFE＝∠MEF＝45°，
∵BT∥FE，
∴∠MFE＝∠MBT＝45°，∠MTB＝∠MEF＝45°，
∴∠MBT＝∠MTB＝45°，
∴BM＝MT，
∵∠ABC＝∠MBT＝45°，
∴∠ABM＝∠CBT，
∵ABBC=BMBT=22，
∴△ABM∽△CBT，
∴AMCT=22，∠AMB＝∠CTB＝90°，
∴CT=2AM，
∵AF=2AM，
∴AF＝CT，
∴CT⊥BT，
∵AF⊥EF，EF∥CF，
∴AF∥CT，
∴∠FAP＝∠CTP，
∵∠APF＝∠TPC，
∴△APF≌△TPC（AAS），
∴PA＝PT，
∵BM＝MT，MF＝ME，
∴FB＝ET，
∴AE+BF＝AE+ET＝AT＝2AP．

（3）如圖3中，取AC的中點J，連接BJ，JN．

∵AB：AF＝45：5，
∴可以假設(shè)AF=5m，AB＝4m，
∴AJ＝JC＝2m，BJ=AB2+AJ2=(4m)2+(2m)2=25m，
∵AJ＝JC，F(xiàn)N＝CN，
∴JN=12AF=52m，
∵BN≤BJ+JN，
∴BN≤552m，
∴當(dāng)B，J，N共線時，BN的值最大，如圖3﹣2中，過點N作NH⊥AC于H，NK⊥BC于K，過點J作JT⊥BC于T．

∵AB∥NH，
∴NHAB=JNBJ，
∴NH4m=52m25m，
∴HN＝m，
∴S△ACN=12×4m×m＝2m2，
∵JT∥NH，JT=2m，
∴JTNK=BJBN，
∴2mNK=25m552m，
∴NK=524m，
∴S△BCN=12×42m×524m＝5m2，
∴S△ACNS△BCN=2m25m2=25．
25．（14分）已知拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，2）．
（1）若點（﹣1，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時，y1?y2x1?x2＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時，y1?y2x1?x2＜0，拋物線與x軸交于點B，C，若△ABC為等腰直角三角形．
①求拋物線的解析式；
②點P與點O關(guān)于點A對稱，點D在拋物線上，點D關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為E，若直線PD與拋物線存在另一交點F，求證：E，O，F(xiàn)三點在同一條直線上．
【分析】（1）將點A（0，2），點（﹣1，0）代入拋物線y＝ax2+bx+c即可求解；
（2）①由已知可得拋物線的對稱軸為y軸，開口向下，點B，C關(guān)于y軸對稱，不妨設(shè)點C在y軸右側(cè)，則點C的坐標(biāo)為（2，0），由點C在拋物線上，且c＝2，b＝0，所以4a+2＝0，解得a=?12，則拋物線的解析式為y=?12x2+2；②由點P是點O關(guān)于點A的對稱點，可求點P（0，4），設(shè)點D坐標(biāo)為D(m，?12m2+2)，則m≠0，則點E坐標(biāo)為E(?m，?12m2+2)，求出直線PD表達(dá)式為y=?(m2+2m)x+4，把y=?(m2+2m)x+4代入y=?12x2+2，得x1＝m，x2=4m，求出點F=(4m，?8m2+2)，設(shè)直線OE的表達(dá)式為y＝px，則?pm=?12m2+2，則p=m2?2m，直線OE的表達(dá)式為y=(m2?2m)x，當(dāng)x=4m時，y=4m(m2?2m)=?8m2+2，這說明點F在直線OE上，可證E，O，F(xiàn)三點在同一條直線上．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，2），
∴c＝2，
又∵點（﹣1，0）也在該拋物線上，
∴a×（﹣1）2﹣b+c＝0，
∴a﹣b+2＝0（a≠0）；
（2）①∵當(dāng)x1＜x2＜0時，y1?y2x1?x2＞0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大；
同理：當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，
∴拋物線的對稱軸為y軸，開口向下，
∴b＝0，
∵拋物線與x軸交于點B，C，△ABC為等腰直角三角形，
∴點B，C關(guān)于y軸對稱，
∵△ABC為等腰直角三角形，A（0，2），
不妨設(shè)點C在y軸右側(cè)，則點C的坐標(biāo)為（2，0），
∵點C在拋物線上，且c＝2，b＝0，
∴4a+2＝0，
∴a=?12，
∴拋物線的解析式為y=?12x2+2；
②證法一：∵點P是點O關(guān)于點A的對稱點，
∴OP＝2OA＝4，
∴點P的坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)點D坐標(biāo)為D(m，?12m2+2)，則m≠0，
∴點E坐標(biāo)為E(?m，?12m2+2)，
設(shè)直線PD的表達(dá)式為y＝kx+b，
則b=4mk+b=?12m2+2，
∴k=?(m2+2m)b=4，
∴直線PD表達(dá)式為y=?(m2+2m)x+4，
把y=?(m2+2m)x+4代入y=?12x2+2，得?(m2+2m)x+4=?12x2+2，
解得x1＝m，x2=4m，
當(dāng)x1＝m時，y1=?12m2+2；
當(dāng)x2=4m時，y2=?8m2+2，
∴點F坐標(biāo)為(4m，?8m2+2)，
設(shè)直線OE的表達(dá)式為y＝px，則?pm=?12m2+2，
∴p=m2?2m，
直線OE的表達(dá)式為y=(m2?2m)x，
當(dāng)x=4m時，y=4m(m2?2m)=?8m2+2，
這說明點F在直線OE上，
∴E，O，F(xiàn)三點在同一條直線上．
②證法二：
∵點P是點O關(guān)于點A的對稱點，
∴OP＝2OA＝4，
∴點P的坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)點D坐標(biāo)為D(m，?12m2+2)，則m≠0，
∴點E坐標(biāo)為E(?m，?12m2+2)，
設(shè)直線PD的表達(dá)式為y＝kx+b，則b=4mk+b=?12m2+2，
∴k=?(m2+2m)b=4，
∴直線PD表達(dá)式為y=?(m2+2m)x+4．
把y=?(m2+2m)x+4代入y=?12x2+2，得?(m2+2m)x+4=?12x2+2，
解得x1＝m，x2=4m，
當(dāng)x1＝m時，y1=?12m2+2；
當(dāng)x2=4m時，y2=?8m2+2，
∴點F坐標(biāo)為(4m，?8m2+2)，
設(shè)直線OE的表達(dá)式為y＝px，則?pm=?12m2+2，
∴p=m2?2m，
∴直線OE的表達(dá)式為y=(m2?2m)x，
設(shè)直線OF的表達(dá)式為y＝qx，則4qm=?8m2+2，
∴q=m2?2m，
∴直線OF的表達(dá)式為y=(m2?2m)x，
∴直線OE，OF是同一條直線，即點E，O，F(xiàn)三點在同一條直線上．



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