2021屆天津市河?xùn)|區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案

這是一份2021屆天津市河?xùn)|區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案，共18頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2021屆天津市河?xùn)|區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案一、單選題1．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．3．若，，，則（       ）．A． B． C． D．4．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．5．函數(shù)f(x)=在[—π，π]的圖像大致為A． B．C． D．6．若，則“”是 “”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（       ）．A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位8．設(shè)雙曲線的離心率為，且直線（是雙曲線的半焦距）與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為（       ）．A． B．C． D．9．已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則A． B．C． D．二、填空題10．已知集合，，則=___________.11．某高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150，150，400，300名學(xué)生．為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為________．12． 曲線在點處的切線方程為__________.13．函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為________．14．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為正三角形，分別是的中點，，則球的體積為_________________．15．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題16．在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．17．如圖，在直三棱柱中，，，，，點是的中點．（1）求證：；（2）求證：平面；（3）求二面角正切值的大小．18．設(shè)數(shù)列的前項和為，為等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．19．已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.20．已知實數(shù)，設(shè)函數(shù) （1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意均有 求的取值范圍.注：為自然對數(shù)的底數(shù).
參考答案：1．D【解析】【詳解】,對應(yīng)的點為,在第四象限，故選D.2．B【解析】【分析】本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計算公式求解．【詳解】設(shè)其中做過測試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過測試的取法有共6種，所以恰有2只做過測試的概率為，選B．【點睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹圖法”，可最大限度的避免出錯．3．A【解析】【分析】分別把a，b，c與0，1進(jìn)行比較，即可求得大小關(guān)系.【詳解】；；；則故選：A4．B【解析】【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計算出向量夾角．【詳解】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．5．D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正確答案．【詳解】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱．又．故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．6．A【解析】本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時，，則當(dāng)時，有，解得，充分性成立；當(dāng)時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.7．B【解析】【分析】根據(jù)圖像求得參數(shù)的值，寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)平移的方法求得結(jié)果.【詳解】由題知，，，則，，，則，又，則，即，則只需將函數(shù)向右平移個單位即可；故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)解析，進(jìn)而判斷函數(shù)圖像平移.8．C【解析】【分析】本題首先可根據(jù)離心率為得出，然后根據(jù)直線與拋物線的準(zhǔn)線重合得出，最后兩者聯(lián)立，求出、以及的值，即可得出結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，因為拋物線的準(zhǔn)線為，直線與拋物線的準(zhǔn)線重合，所以，聯(lián)立，解得，，，故雙曲線的方程為，故選：C.9．C【解析】當(dāng)時，最多一個零點；當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【詳解】當(dāng)時，，得；最多一個零點；當(dāng)時，，，當(dāng)，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當(dāng)，即時，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個零點；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，，．故選．【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.10．【解析】先化簡集合N，再利用交集運算求解.【詳解】因為集合，，所以= ，故答案為：11．16【解析】【詳解】試題分析：因為高校甲乙丙丁四個專業(yè)分別有名學(xué)生，所以本校共有學(xué)生名，因為用分層抽樣的方法從該校四個專業(yè)共抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，所以每個個體被抽到的概率是，因為丙專業(yè)有人，所以要抽取人．考點：分層抽樣．12．【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程．【詳解】，當(dāng)時其值為，故所求的切線方程為，即．【點睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程．13．4【解析】函數(shù)的圖象恒過定點，而定點在直線上，代入可得，利用乘“1”法即可得到最值．【詳解】函數(shù)的圖象恒過定點因為點在直線上，所以則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故答案為：4．【點睛】本題關(guān)鍵點在于找到“1”，隱藏的“1”在定點當(dāng)中，提醒我們在備考中，要靈活的使用.14．【解析】【分析】由已知設(shè)出，，，分別在中和在中運用余弦定理表示，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，再在中運用勾股定理得到關(guān)于x與y的又一關(guān)系式，聯(lián)立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是，，兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求出球的半徑，再求出球的體積.【詳解】在中，設(shè)，，，,，因為點，點分別是，的中點，所以，，在中，，在中，，整理得，因為是邊長為的正三角形，所以，又因為，所以，由，解得，所以．又因為是邊長為的正三角形，所以，所以，所以，，兩兩垂直，則球為以為棱的正方體的外接球，則外接球直徑為，所以球的體積為,故答案為.【點睛】本題主要考查空間幾何體的外接球的體積，破解關(guān)鍵在于熟悉正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，運用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱錐的棱的關(guān)系，繼而分析出正三棱錐的外接球是以正三棱錐中互相垂直的三條棱為棱的正方體的外接球，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長求解更方便快捷，屬于中檔題．15．【解析】結(jié)合奇偶性求解函數(shù)的解析式，結(jié)合解析式的特點將問題等價于恒成立，進(jìn)而利用單調(diào)性求解即可.【詳解】由題意知，則，所以恒成立等價于恒成立.由題意得在R上是增函數(shù)，所以恒成立，即恒成立.又，所以當(dāng)時，取得最大值所以，解得.故實數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，稍有綜合性，化為同名函數(shù)是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).16．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】【分析】(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；(Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，結(jié)合正弦定理可得：，很明顯角C為銳角，故，故.【點睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.17．（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.【解析】【分析】（1）本題首先可根據(jù)三棱柱是直三棱柱得出，然后根據(jù)勾股定理得出，最后通過線面垂直的判定與性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）本題可通過三角形的中位線的相關(guān)性質(zhì)得出，然后根據(jù)線面平行的判定即可證得結(jié)論；（3）本題首先可作空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量以及平面的法向量，最后根據(jù)以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以平面，，因為，，，所以，，因為，所以平面，.（2）如圖，與交于點，連接，因為三棱柱是直三棱柱，，，所以四邊形是正方形，點是線段中點，因為點是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（3）如圖，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，因為平面，所以是平面的法向量，設(shè)是平面的法向量，則，即，設(shè)，則，，，設(shè)二面角為，則，，，二面角的正切值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定以及二面角的正切值的求法，可借助空間向量以及同角三角函數(shù)關(guān)系求出二面角的正切值，若直線與平面垂直，則直線垂直平面內(nèi)的所有直線，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.18．（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用遞推公式，可得，代入分別可求數(shù)列的首項，公比，從而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”錯位相減法求和．【詳解】解：(1)當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，故的通項式為．設(shè)的公比為，由已知條件知，，，所以，，即．(2)，兩式相減得：【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求法，錯位相減法求數(shù)列通項，屬于中檔題.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理確定t的值即可證明直線恒過定點.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為，所以；因為橢圓經(jīng)過點,所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)聯(lián)立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因為,所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．20．（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.(2)由題意首先由函數(shù)在特殊點的函數(shù)值得到a的取值范圍，然后證明所得的范圍滿足題意即可.【詳解】(1)當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，且：，因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由，得，當(dāng)時，，等價于，令，則，設(shè)，，則，（i）當(dāng)時，，則，記，則列表討論： x  （） 1 （1，+∞） p′（x） ﹣ 0+ P（x） p（）單調(diào)遞減 極小值p（1）單調(diào)遞增  （ii）當(dāng)時，，令，則，故在上單調(diào)遞增，，由（i）得，，由（i）（ii）知對任意，即對任意，均有，綜上所述，所求的a的取值范圍是．【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．