?2020-2021學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：共8個(gè)小題，每小題4分，滿分32分..
1．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，300，400件，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丁種型號(hào)的產(chǎn)品中抽?。ā　。┘?br /> A．24 B．18 C．12 D．6
2．下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> ①2022年8月18日，北京市不下雨；
②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰；
③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼?號(hào)簽；
④x∈R，則|x|的值不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知m，n是兩條不同直線α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行
B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行
C．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面
D．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線
4．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B﹣AC﹣P的平面角是（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
5．在5盒酸奶中，有2盒已經(jīng)過了保質(zhì)期，從中任取2盒，取到的酸奶中有已過保質(zhì)期的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
6．如圖是某公司2018年1月至12月空調(diào)銷售任務(wù)及完成情況的統(tǒng)計(jì)圖，如10月份銷售任務(wù)是400臺(tái)，完成率為90%，下列敘述不正確的是（　　）

A．2018年3月的銷售任務(wù)是400臺(tái)
B．2018年月銷售任務(wù)的平均值不超過600臺(tái)
C．2018年總銷售量為4870臺(tái)
D．2018年月銷售量最大的是6月份
7．在空間四邊形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E為對角線AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（　　）

A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED
8．三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D為AB的中點(diǎn)，∠ABC＝90°，則點(diǎn)D到面SBC的距離等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，滿分24分.請將答案填在題中橫線上.
9．某次能力測試中，10人的成績統(tǒng)計(jì)如表，則這10人成績的20%分位數(shù)為 　 ?。?br /> 分?jǐn)?shù)
5
4
3
2
1
人數(shù)（單位：人）
3
1
2
1
3
10．?dāng)S兩顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于8的概率等于　 ?。?br /> 11．如圖，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，則CD與EF的位置關(guān)系為 　 ?。?br />
12．A，B，C，D四名學(xué)生按任意次序站成一排，則A或B在邊上的概率為　 　．
13．為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個(gè)社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查．他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為　 　．（用“＞”連接）
14．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①AC⊥BE；
②平面AEF與平面ABCD的交線平行于直線EF；
③異面直線AE，BF所成的角為定值；
④三棱錐A﹣BEF的體積為定值．
其中錯(cuò)誤結(jié)論的是 　 ?。?br />
三、解答題：本大題共5小題，滿分0分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程.
15．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC＝9，BC＝12，AB＝15，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥B1C；
（2）求證：AC1∥平面CDB1．

16．據(jù)平安保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)，某地車主購買車損險(xiǎn)的概率為0.5，購買第三者人身安全險(xiǎn)的概率為0.6．購買兩種保險(xiǎn)相互獨(dú)立，各車主間相互獨(dú)立．
①求一位車主同時(shí)購買車損險(xiǎn)與第三者人身安全險(xiǎn)保險(xiǎn)的概率．
②求一位車主購買第三者人身安全險(xiǎn)但不購買車損險(xiǎn)的概率．
17．某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在[50，60），[90，100]的頻數(shù)分別為8，2．
（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（2）估計(jì)本次競賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．

18．某市規(guī)定，高中學(xué)生在校期間須參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格．某校隨機(jī)抽取20位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生中任意選取2人，求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率．

19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．



參考答案
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題4分，滿分32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確結(jié)論的代號(hào)填在下表內(nèi).
1．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，300，400件，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丁種型號(hào)的產(chǎn)品中抽?。ā　。┘?br /> A．24 B．18 C．12 D．6
【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解．
解：某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，300，400件，
為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，
則應(yīng)從丁種型號(hào)的產(chǎn)品中抽?。?0×＝24（件）．
故選：A．
2．下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> ①2022年8月18日，北京市不下雨；
②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰；
③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號(hào)簽；
④x∈R，則|x|的值不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)題意，依次分析4個(gè)事件是不是隨機(jī)事件，綜合可得答案．
解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)事件；
①2022年8月18日，北京市不下雨，是隨機(jī)事件；
②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰，是不可能事件；
③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號(hào)簽，是隨機(jī)事件；
④x∈R，則|x|的值不小于0，是必然事件；
則其中是隨機(jī)事件的有2個(gè)；
故選：B．
3．已知m，n是兩條不同直線α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行
B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行
C．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面
D．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線
【分析】對4個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．
解：對于A，若α，β垂直于同一平面，則α與β平行或相交，不正確；
對于B，若m，n平行于同一平面，則m與n平行、相交或異面，不正確；
對于C，根據(jù)垂直與同一平面的兩條直線平行，可知C正確；
對于D，若α，β不平行，則在α內(nèi)存在與β平行的直線，與交線平行即可，不正確，
故選：C．
4．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B﹣AC﹣P的平面角是（　?。?br />
A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理證明二面角B﹣AC﹣P是直二面角即可．
解：∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，
∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，
∵PA∩AC＝A，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面PAC，
即二面角B﹣AC﹣P為直二面角，
則二面角B﹣AC﹣P的大小為90°，
故選：A．
5．在5盒酸奶中，有2盒已經(jīng)過了保質(zhì)期，從中任取2盒，取到的酸奶中有已過保質(zhì)期的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法和古典概型的概率公式，即可求解．
解：設(shè)5盒酸奶分別為A1，A2，A3，B1，B2，
其中保質(zhì)期內(nèi)的為A1，A2，A3，過了保質(zhì)期為B1，B2，
從5盒酸奶中，隨機(jī)抽取2盒，有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共10種，其中取到的酸奶中有已過保質(zhì)期，有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共7種，
故所求的概率P＝．
故選：C．
6．如圖是某公司2018年1月至12月空調(diào)銷售任務(wù)及完成情況的統(tǒng)計(jì)圖，如10月份銷售任務(wù)是400臺(tái)，完成率為90%，下列敘述不正確的是（　?。?br />
A．2018年3月的銷售任務(wù)是400臺(tái)
B．2018年月銷售任務(wù)的平均值不超過600臺(tái)
C．2018年總銷售量為4870臺(tái)
D．2018年月銷售量最大的是6月份
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，依次判斷各選項(xiàng)即可．
解：對于A．由圖中的數(shù)據(jù)，2018年3月的銷售任務(wù)是400臺(tái)，A正確．
對于B．2018年月銷售任務(wù)的平均值為（100+200+3×300+3×300+500+700+800+1000）＜600，B正確．
對于C.2018年總銷售量＝300×50%+200×100%+400×120%+500×110%+800×100%+1000×70%+700×80%+400×90%+300×150%+400×90%+100×80%+300×60%＝4870臺(tái)，C正確，
對于D.2018年月銷售量5月份是800臺(tái)，6月份是1000×70%＝700臺(tái)，
因此2018年月銷售量最大的是5月份，D錯(cuò)誤；
故選：D．
7．在空間四邊形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E為對角線AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（　?。?br />
A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED
【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
解：∵AB＝BC，AD＝CD，E為對角線AC的中點(diǎn)，
∴BE⊥AC，DE⊥AC，
∵BE∩DE＝E，
∴AC⊥平面BED，
∵AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BED，
故選：D．
8．三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D為AB的中點(diǎn)，∠ABC＝90°，則點(diǎn)D到面SBC的距離等于（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】先由面面垂直的性質(zhì)找出點(diǎn)D到面SBC的距離DE，再利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例求出DE的值．
解：∵SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D為AB的中點(diǎn)，∠ABC＝90°，
∴BC⊥面SAB，
∴面SBC⊥面SAB，在面SAB中，作DE⊥SB，
則DE⊥面SBC，DE為所求．
由△BDE∽△BSA，
得＝，即＝，解得DE＝，
故選：C．

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，滿分24分.請將答案填在題中橫線上.
9．某次能力測試中，10人的成績統(tǒng)計(jì)如表，則這10人成績的20%分位數(shù)為 　1?。?br /> 分?jǐn)?shù)
5
4
3
2
1
人數(shù)（單位：人）
3
1
2
1
3
【分析】根據(jù)題意，由分位數(shù)的定義直接求解即可．
解：根據(jù)題意，因?yàn)?0×20%＝2，由表格中的數(shù)據(jù)可得，
這10人成績的20%分位數(shù)為＝1．
故答案為：1．
10．?dāng)S兩顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于8的概率等于　?。?br /> 【分析】根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是擲兩顆骰子有6×6＝36個(gè)結(jié)果，滿足條件的事件是向上點(diǎn)數(shù)之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5種結(jié)果，得到概率．
解：由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是擲兩顆骰子有6×6＝36個(gè)結(jié)果，
滿足條件的事件是向上點(diǎn)數(shù)之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5種結(jié)果，
∴要求的概率是P＝，
故答案為：．
11．如圖，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，則CD與EF的位置關(guān)系為 　CD∥EF?。?br />
【分析】由AB∥平面α，推導(dǎo)出AB∥CD，由AB∥平面α，推導(dǎo)出AB∥EF，由此得到CD∥EF．
解：∵AB∥平面α，AB?β，α∩β＝CD，
∴AB∥CD，
∵AB∥平面α，AB?γ，α∩γ＝EF，
∴AB∥EF，
∴CD∥EF．
故答案為：CD∥EF．

12．A，B，C，D四名學(xué)生按任意次序站成一排，則A或B在邊上的概率為　　．
【分析】基本事件總數(shù)n＝＝24，A或B在邊上包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝20，由此能求出A或B在邊上的概率．
解：A，B，C，D四名學(xué)生按任意次序站成一排，
基本事件總數(shù)n＝＝24，
A或B在邊上包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝20，
∴A或B在邊上的概率為p＝＝＝．
故答案為：．
13．為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個(gè)社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查．他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為　s1＞s2＞s3?。ㄓ谩埃尽边B接）
【分析】第二組數(shù)據(jù)是單峰的每一個(gè)小長方形的差別比較小，數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)較分散，各個(gè)段內(nèi)分布均勻，第一組數(shù)據(jù)的兩端數(shù)字較多，絕大部分?jǐn)?shù)字都處在兩端最分散，而第三組數(shù)據(jù)絕大部分?jǐn)?shù)字都在平均數(shù)左右，是集中，由此得到結(jié)果．
解：根據(jù)三個(gè)頻率分步直方圖知，
第一組數(shù)據(jù)的兩端數(shù)字較多，絕大部分?jǐn)?shù)字都處在兩端數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)遠(yuǎn)，最分散，其方差最大；
第二組數(shù)據(jù)是單峰的每一個(gè)小長方形的差別比較小，數(shù)字分布均勻，數(shù)據(jù)不如第一組偏離平均數(shù)大，方差比第一組中數(shù)據(jù)中的方差小，
而第三組數(shù)據(jù)絕大部分?jǐn)?shù)字都在平均數(shù)左右，數(shù)據(jù)最集中，故其方差最小，
總上可知s1＞s2＞s3，
故答案為：s1＞s2＞s3，
14．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①AC⊥BE；
②平面AEF與平面ABCD的交線平行于直線EF；
③異面直線AE，BF所成的角為定值；
④三棱錐A﹣BEF的體積為定值．
其中錯(cuò)誤結(jié)論的是 ?、邸。?br />
【分析】對于①，由AC⊥平面BDD1B1，得AC⊥BE；對于②，由面面平行的性質(zhì)定理可證得平面AEF與平面ABCD的交線平行于直線EF；對于③，可由兩個(gè)特殊位置說明兩異面直線所成的角不是定值；對于④，A到平面BDD1B1的距離是定值，S△BEF是定值，從而可得三棱錐A﹣BEF的體積為定值．
解：對于①，∵AC⊥平面BDD1B1，BE?平面BDD1B1，∴AC⊥BE，故①正確；
對于②，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，設(shè)平面AEF∩平面ABCD＝l，平面AEF∩平面A1B1C1D1＝EF，故l∥EF，故②正確；
對于③，∵當(dāng)點(diǎn)E在D1處，F(xiàn)為D1B1的中點(diǎn)時(shí)，
由BC1∥AD1可知異面直線AE，BF所成的角是∠FBC1；
當(dāng)E在上底面的中心時(shí)，F(xiàn)在B1的位置，
異面直線AE，BF所成的角是∠EAA1，兩個(gè)角不相等，
從而異面直線AE，BF所成的角不一定為定值，故③錯(cuò)誤；
對于④，∵A到平面BDD1B1的距離d＝AC＝是定值，
S△BEF＝××1＝是定值，
∴三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故④正確．
故答案為：③．
三、解答題：本大題共5小題，滿分0分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程.
15．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC＝9，BC＝12，AB＝15，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥B1C；
（2）求證：AC1∥平面CDB1．

【分析】（1）只需證明AC⊥平面BB1C1C．即可證明AC⊥B1C．
（2）連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接OD．即可得OD//AC1．從而證明AC1//平面CDB1．
解：（1）證明：因?yàn)锳B2＝AC2+BC2，
所以∠ACB＝90°，AC⊥BC，
又CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥AC，
CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C．
因?yàn)锽1C?平面BB1C1C，
所以AC⊥B1C．
（2）證明：連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接OD．
因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為矩形，所以點(diǎn)O為BC1的中點(diǎn)．
又因?yàn)辄c(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D//AC1．
因?yàn)镺D?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
所以AC1//平面CDB1．

16．據(jù)平安保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)，某地車主購買車損險(xiǎn)的概率為0.5，購買第三者人身安全險(xiǎn)的概率為0.6．購買兩種保險(xiǎn)相互獨(dú)立，各車主間相互獨(dú)立．
①求一位車主同時(shí)購買車損險(xiǎn)與第三者人身安全險(xiǎn)保險(xiǎn)的概率．
②求一位車主購買第三者人身安全險(xiǎn)但不購買車損險(xiǎn)的概率．
【分析】記A表示事件“購買車損險(xiǎn)”，B表示事件“購買第三者人身安全險(xiǎn)”，則由題意，得A與B，A與，與B，與都是相互獨(dú)立事件，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6．
（1）記C表示事件“同時(shí)購買兩種保險(xiǎn)”，則C＝AB，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出一位車主同時(shí)購買車損險(xiǎn)與第三者人身安全險(xiǎn)保險(xiǎn)的概率．
（2）記D表示事件“購買第三者人身安全險(xiǎn)但不購買車損險(xiǎn)”，則，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出一位車主購買第三者人身安全險(xiǎn)但不購買車損險(xiǎn)的概率．
解：記A表示事件“購買車損險(xiǎn)”，B表示事件“購買第三者人身安全險(xiǎn)”，
則由題意，得A與B，A與，與B，與都是相互獨(dú)立事件，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6．
（1）記C表示事件“同時(shí)購買兩種保險(xiǎn)”，則C＝AB，
所以一位車主同時(shí)購買車損險(xiǎn)與第三者人身安全險(xiǎn)保險(xiǎn)的概率為：
P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.6＝0.3．
（2）記D表示事件“購買第三者人身安全險(xiǎn)但不購買車損險(xiǎn)”，則，
所以一位車主購買第三者人身安全險(xiǎn)但不購買車損險(xiǎn)的概率：
．
17．某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在[50，60），[90，100]的頻數(shù)分別為8，2．
（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（2）估計(jì)本次競賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．

【分析】（1）由頻率分布直方圖求出[50，60）的頻率為0.16，根據(jù)得分在[50，60），[90，100]的頻數(shù)分別為8，2．能求出n，y，從而能求出x．
（2）由頻率分布直方圖能估計(jì)本次競賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．
解：（1）由頻率分布直方圖得[50，60）的頻率為0.016×10＝0.16，
∵得分在[50，60），[90，100]的頻數(shù)分別為8，2．
∴＝50，y＝＝，
∴x＝[1﹣（0.016+0.04+0.01+0.004）×10]÷10＝0.03．
（2）估計(jì)本次競賽學(xué)生成績的眾數(shù)為：，
∵[50，70）的頻率為：（0.016+0.03）×10＝0.46，
[70，80）的頻率為：0.04×10＝0.4，
∴中位數(shù)為：＝71，
平均數(shù)為：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．
18．某市規(guī)定，高中學(xué)生在校期間須參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格．某校隨機(jī)抽取20位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生中任意選取2人，求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率．

【分析】（I）利用頻率分布直方圖，求出頻率，進(jìn)而根據(jù)頻數(shù)＝頻率×樣本容量，得到答案；
（II）先計(jì)算從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生中任意選取2人的情況總數(shù)，再計(jì)算所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的情況數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．
解：（Ⅰ）由題意可知，
參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段[90，95）的學(xué)生人數(shù)為20×0.04×5＝4（人），
參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段[95，100]的學(xué)生人數(shù)為20×0.02×5＝2（人）．
所以參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為 4+2＝6（人）．
…
（Ⅱ）設(shè)所選學(xué)生的服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)為事件A．
由（Ⅰ）可知，
參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段[90，95）的學(xué)生有4人，記為a，b，c，d；
參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段[95，100]的學(xué)生有2人，記為A，B．
從這6人中任意選取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB
共15種情況．
事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．
所以所選學(xué)生的服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率．…
19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，從而∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角，由此能求出異面直線AP與BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角，由此能求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）如圖，由已知AD∥BC，
故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角．
因?yàn)锳D⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得，
故．
所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為．
證明：（Ⅱ）因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因?yàn)锽C∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，
則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．
因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，
由已知，得CF＝BC﹣BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DPF中，可得．
所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為．




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