專題3.6期末全真模擬卷06（壓軸卷）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試高分直通車【北師大版】

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班級(jí)：______________ 姓名:_______________ 得分：_______________
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分120分，考試時(shí)間90分鐘，試題26題，選擇10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)、座號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)等信息填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．下列微信表情圖標(biāo)屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】結(jié)合軸對(duì)稱圖形的概念求解即可．
【解析】A、不是軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)符合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
2．我國(guó)北斗公司在2020年發(fā)布了一款代表國(guó)內(nèi)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)最高水平的芯片，該芯片的制造工藝達(dá)到了0.000000022米．用科學(xué)記數(shù)法表示0.000000022為（ ）
A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣8
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【解析】0.000000022＝2.2×10﹣8．
故選：D．
3．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為2和6，第三邊為偶數(shù)．則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．16B．14C．12D．10
【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．
【解析】第三邊的取值范圍是大于4且小于8，又第三邊是偶數(shù)，故第三邊是6．
則該三角形的周長(zhǎng)是14．
故選：B．
4．下面的計(jì)算不正確的是（ ）
A．5a3﹣a3＝4a3B．2m?3n＝6m+n
C．2m?2n＝2m+nD．﹣a2?（﹣a3）＝a5
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加的性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解析】A、5a3﹣a3＝（5﹣1）a3＝4a3，正確；
B、2m與3n與底數(shù)不相同，不能進(jìn)行運(yùn)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、2m?2n＝2m+n，正確；
D、﹣a2?（﹣a3）＝a2+3＝a5，正確．
故選：B．
5．下列能判斷AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠2＝∠3
C．∠A＝∠CD．∠A+∠ABC＝180°
【分析】根據(jù)兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行可得答案．
【解析】A、∵∠1＝∠4，
∴AB∥CD，故A選項(xiàng)符合題意；
B、∵∠2＝∠3，
∴AD∥CB，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、∵∠A＝∠C，
無(wú)法判斷AB∥CD，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、∵∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥CB，故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
6．下列事件中，是隨機(jī)事件的是（ ）
A．畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°
B．投擲一枚正六面體骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)為5
C．在只裝了紅色卡片的袋子里，摸出一張白色卡片
D．明天太陽(yáng)從東方升起
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解析】A、畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°，是必然事件；
B、投擲一枚正六面體骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)為5，是隨機(jī)事件；
C、在只裝了紅色卡片的袋子里，摸出一張白色卡片，是不可能事件；
D、明天太陽(yáng)從東方升起，是必然事件；
故選：B．
7．如圖，已知△ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)定理逐個(gè)判斷即可．
【解析】圖甲不符合三角形全等的判定定理，即圖甲和△ABC不全等；
圖乙符合SAS定理，即圖乙和△ABC全等；
圖丙符合AAS定理，即圖丙和△ABC全等；
故選：B．
8．下列整式運(yùn)算正確的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a+2b2）＝a2+2ab+4b2
【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子，可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．
【解析】∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故選項(xiàng)C正確；
∵（a+2b2）＝a2+4ab+4b2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：C．
9．如圖，某電信公司提供了A，B兩種方案的移動(dòng)通訊費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間x（分）之間的關(guān)系，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
（1）若通話時(shí)間少于120分，則A方案比B方案便宜20元；
（2）若通話時(shí)間超過(guò)200分，則B方案比A方案便宜12元；
（3）若通訊費(fèi)用為60元，則B方案比A方案的通話時(shí)間多；
（4）若兩種方案通訊費(fèi)用相差10元，則通話時(shí)間是145分或185分．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)圖象知道：在通話170分鐘收費(fèi)一樣，在通話120時(shí)A收費(fèi)30元，B收費(fèi)50元，其中A超過(guò)120分鐘后每分鐘加收0.4元，B超過(guò)200分鐘加收每分鐘0.4元，由此即可確定有幾個(gè)正確．
【解析】依題意得
A：（1）當(dāng)0≤x≤120，yA＝30，
（2）當(dāng)x＞120，yA＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
B：（1）當(dāng)0≤x＜200，yB＝50，
當(dāng)x＞200，yB＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
所以當(dāng)x≤120時(shí)，A方案比B方案便宜20元，故（1）正確；
當(dāng)x≥200時(shí)，B方案比A方案便宜12元，故（2）正確；
當(dāng)y＝60時(shí)，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正確；
當(dāng)B方案為50元，A方案是40元或者60元時(shí)，兩種方案通訊費(fèi)用相差10元，
將yA＝40或60代入，得x＝145分或195分，故（4）錯(cuò)誤；
故選：C．
10．如圖，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，則∠AEC＝（ ）度．
A．70B．150C．90D．100
【分析】延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠BAE+∠EFC＝180°，已知∠BAE的度數(shù)，不難求得∠EFC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得∠AEC的度數(shù)．
【解析】如圖，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠EFC＝180°，
又∵∠BAE＝120°，
∴∠EFC＝180°﹣∠BAE＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠DCE＝30°，
∴∠AEC＝∠DCE+∠EFC＝30°+60°＝90°．
故選：C．
二．填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上
11．計(jì)算：（a3）2＝ a6 ．
【分析】按照冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘計(jì)算．即（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）
【解析】（a3）2＝a6．
故答案為：a6．
12．等腰三角形的一個(gè)外角是80°，則其底角是 40 度．
【分析】首先判斷出與80°角相鄰的內(nèi)角是底角還是頂角，然后再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算．
【解析】與80°角相鄰的內(nèi)角度數(shù)為100°；
當(dāng)100°角是底角時(shí)，100°+100°＞180°，不符合三角形內(nèi)角和定理，此種情況不成立；
當(dāng)100°角是頂角時(shí)，底角的度數(shù)＝80°÷2＝40°；
故此等腰三角形的底角為40°．
故答案為：40．
13．已知a＝7﹣3b，則代數(shù)式a2+6ab+9b2的值為 49 ．
【分析】先根據(jù)完全平方公式變形，再代入，即可求出答案．
【解析】∵a＝7﹣3b，
∴a+3b＝7，
∴a2+6ab+9b2
＝（a+3b）2
＝72
＝49，
故答案為：49．
14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則∠ADB＝ 120 度．
【分析】利用角平分線的定義可以推知∠CAD＝30°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD＝∠BAD=12∠CAB＝30°，
∴∠ADB＝90°+30°＝120°，
故答案為：120；
15．已知當(dāng)x＝1時(shí)，2ax2+bx的值為3，則當(dāng)x＝2時(shí)，ax2+bx的值為 6 ．
【分析】將x＝1代入2ax2+bx＝3得2a+b＝3，然后將x＝2代入ax2+bx得4a+2b＝2（2a+b），之后整體代入即可．
【解析】將x＝1代入2ax2+bx＝3得2a+b＝3，
將x＝2代入ax2+bx得4a+2b＝2（2a+b），
∵2a+b＝3，
∴原式＝2×3＝6．
故答案為：6．
16．在開展“全民閱讀”活動(dòng)中，某校為了解全校1500名學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間，并繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)該校1500名學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間不少于7小時(shí)的人數(shù)是 600 ．
【分析】用所有學(xué)生數(shù)乘以課外閱讀時(shí)間不少于7小時(shí)的人數(shù)所占的百分比即可．
【解析】該校1500名學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間不少于7小時(shí)的人數(shù)是1500×15+550=600人，
故答案為：600．
17．如圖，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分線交于點(diǎn)A2018，則∠A2018＝ m22018 度．
【分析】利用角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，易證∠A1=12∠A，進(jìn)而可求∠A1，由于∠A1=12∠A，∠A2=12∠A1=122∠A，…，以此類推可知∠A2018即可求得．
【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=12∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即12∠ACD＝∠A1+12∠ABC，
∴∠A1=12（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1=12∠A，
∠A2=12∠A1=122∠A，…，
以此類推可知∠A2018=122018∠A＝（m22018）°，
故答案為：m22018．
18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)CE∥AB時(shí)，若∠BAD＝35°，則∠DEC ＝25 度；
（2）如圖2，設(shè)∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)DE⊥BC時(shí)，∠DEC＝ α﹣90° ．（用含α的式子表示）
【分析】（1）根據(jù)已知條件得到∠BAD＝∠CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等邊三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等邊三角形，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°-12α，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠ACE＝90°-12α，求得∠DCE＝2（90°-12α）＝180°﹣α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
【解析】（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△DAE是等邊三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，
故答案為：25；
（2）連接CE，
∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°-12α，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝90°-12α，
∴∠DCE＝2（90°-12α）＝180°﹣α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．
故答案為：α﹣90°．
三．解答題（本大題共8小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19．計(jì)算：
（1）﹣20+4﹣1×（﹣1）2008×（12）﹣2；
（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x+1）2；
（3）（a+3b﹣2c）（a﹣3b﹣2c）；
（4）103×97（運(yùn)用公式簡(jiǎn)算）．
【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）用平方差公式和完全平方公式將式子展開后進(jìn)行合并即可；
（3）可用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）利用平方差公式計(jì)算即可．
【解析】（1）原式＝﹣1+0.25×1×4
＝﹣1+1
＝0；
（2）原式＝4x2﹣1﹣（4x2+4x+1）
＝4x2﹣1﹣4x2﹣4x﹣1
＝﹣4x﹣2；
（3）原式＝（a﹣2c）2﹣9b2
＝a2﹣4ac+4c2﹣9b2；
（4）原式＝（100+3）×（100﹣3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991．
20．化簡(jiǎn)求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷（xy），其中x＝10，y=-125．
【分析】原式被除數(shù)括號(hào)中第一項(xiàng)利用平方差公式化簡(jiǎn)，合并后利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算，得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將x與y的值代入計(jì)算即可求出值．
【解析】原式＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷（xy）＝（﹣x2y2）÷（xy）＝﹣xy，
當(dāng)x＝10，y=-125時(shí)，原式＝﹣10×（-125）=25．
21．如圖，點(diǎn)D是線段CE上一點(diǎn)，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求證：BD＝CE；
（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度數(shù)．
【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出BD＝CE；
（2）由全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠DAE＝20°，則可求出答案．
【解析】（1）證明∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠E＝80°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠E，
∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．
22．如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．
（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線y成軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面積；
（3）在x軸上找出一點(diǎn)P，使得PB+PC的值最小．（不需計(jì)算，在圖上直接標(biāo)記出點(diǎn)P的位置）
【分析】（1）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，即可得到與△ABC關(guān)于直線y成軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）依據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算，即可得出△ABC的面積；
（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'C交x軸于P，則PB+PC的值最?。?br>【解析】（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）△ABC的面積＝3×3-12×2×3-12×1×2-12×1×3=72；
（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．
23．一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)設(shè)置如下的翻獎(jiǎng)牌，翻獎(jiǎng)牌的正面、背面如下，如果你只能在9個(gè)數(shù)字中選中一個(gè)翻牌，請(qǐng)解決下面的問(wèn)題：
（1）直接寫出抽到“手機(jī)”獎(jiǎng)品的可能性的大?。?br>（2）每個(gè)獎(jiǎng)牌只能翻一次，翻過(guò)的獎(jiǎng)牌不能再翻．若第一次沒(méi)有抽到“手機(jī)”獎(jiǎng)品，請(qǐng)求出第二次抽到“手機(jī)”獎(jiǎng)品的可能性的大?。?br>（3）請(qǐng)你根據(jù)題意設(shè)計(jì)翻獎(jiǎng)牌反面的獎(jiǎng)品，包含（手機(jī)、微波爐、球拍、電影票，謝謝參與）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是49．
【分析】（1）用“手機(jī)”的數(shù)量除以總數(shù)量即可；
（2）第二次的抽取機(jī)會(huì)一共有8種可能，第二次抽到“手機(jī)”獎(jiǎng)品的結(jié)果有2種，根據(jù)概率公式求解即可；
（3）根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】（1）由圖可得，抽到“手機(jī)”獎(jiǎng)品的可能性是：29；
（2）由題意可得，第二次的抽取機(jī)會(huì)一共有8種可能，第二次抽到“手機(jī)”獎(jiǎng)品的結(jié)果有2種，
即第二次抽到“手機(jī)”獎(jiǎng)品的可能性是29-1=28=14；
（3）設(shè)計(jì)九張牌中有四張寫著球拍，其它的五張牌中手機(jī)、微波爐、電影票各一張，謝謝參與兩張．（答案不唯一）．
24．我市一水果批發(fā)市場(chǎng)某商家批發(fā)蘋果采取分段計(jì)價(jià)的方式，其價(jià)格如下表：
（1）小剛購(gòu)買蘋果40千克，應(yīng)付多少元？
（2）若小剛購(gòu)買蘋果x千克，用去了y元．分別寫出當(dāng)0≤x≤50和x＞50時(shí)，y與x的關(guān)系式；
（3）計(jì)算出小剛?cè)粢淮涡再?gòu)買80千克所付的費(fèi)用比分兩次共購(gòu)買80千克（每次都購(gòu)買40千克）所付的費(fèi)用少多少元？
【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出小剛購(gòu)買蘋果40千克，應(yīng)付多少元；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以分別寫出當(dāng)0≤x≤50和x＞50時(shí)，y與x的關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式，可以求得兩種情況下的花費(fèi)，然后作差即可解答本題．
【解析】（1）由表格可得，
40×10＝400（元），
答：小剛購(gòu)買蘋果40千克，應(yīng)付400元；
（2）由題意可得，
當(dāng)0≤x≤50時(shí)，y與x的關(guān)系式是y＝10x，
當(dāng)x＞50時(shí)，y與x的關(guān)系式是y＝10×50+8（x﹣50）＝8x+100，
即當(dāng)x＞50時(shí)，y與x的關(guān)系式是y＝8x+100；
（3）小剛?cè)粢淮涡再?gòu)買80千克所付的費(fèi)用為：8×80+100＝740（元），
分兩次共購(gòu)買80千克（每次都購(gòu)買40千克）所付的費(fèi)用為：40×10×2＝800（元），
800﹣740＝60（元），
答：小剛?cè)粢淮涡再?gòu)買80千克所付的費(fèi)用比分兩次共購(gòu)買80千克（每次都購(gòu)買40千克）所付的費(fèi)用少60元．
25．【閱讀材料】把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式（或其一部分）經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、證明恒等式、利用a2≥0求代數(shù)式最值等問(wèn)題中都有廣泛應(yīng)用．
例如：利用配方法將x2﹣6x+8變形為a（x+m）2+n的形式，并把二次三項(xiàng)式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
【解決問(wèn)題】根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：
（1）利用配方法將多項(xiàng)式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三項(xiàng)式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分別是△ABC的三邊，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．
（4）求證：無(wú)論x，y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒為正數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行變形即可配方法．
（2）先利用配方法把二次三項(xiàng)式x2﹣2x﹣35變形，再利用平方差公式分解即可．
（3）△ABC為等邊三角形，將a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法變形，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得答案．
（4）分別對(duì)含x和含y的式子進(jìn)行配方，再利用偶次方的非負(fù)性可得答案．
【解析】（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+22﹣22﹣5
＝（x﹣2）2﹣9．
（2）x2﹣2x﹣35
＝x2﹣2x+1﹣1﹣35
＝（x﹣1）2﹣62
＝（x﹣1+6）（x﹣﹣6）
＝（x+5）（x﹣7）．
（3）△ABC為等邊三角形，理由如下：
∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝b，b＝1，c＝1，
∴a＝b＝c，
∴△ABC為等邊三角形．
（4）證明：x2+y2+4x﹣6y+15
＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2
＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，
∴代數(shù)式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒為正數(shù)．
26．已知：△ABC為等邊三角形．
（1）如圖1，點(diǎn)D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE．
i）求證：△ABD≌△BCE；
ii）求∠AFE的度數(shù)；
（2）如圖2，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的長(zhǎng)；
（3）如圖3，線段DB的長(zhǎng)為3，線段DC的長(zhǎng)為2，連接BC，以BC為邊作等邊△ABC，連接AD，直接寫出當(dāng)線段AD取最大值與最小值時(shí)∠BDC的度數(shù)．
【分析】（1）i）根據(jù)SAS證明三角形全等即可．
ii）利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，在DB上取一點(diǎn)J，使得CJ＝CD，利用全等三角形的性質(zhì)證明BD＝AD+DC即可．
（3）如圖3中，以CD為邊向外作等邊△CDT，連接BT．構(gòu)造全等三角形，證明BT＝AD，求出BT的取值范圍即可解決問(wèn)題．
【解析】（1）i）證明：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）．
ii）解：如圖1中，∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．
（2）解：如圖2中，在DB上取一點(diǎn)J，使得CJ＝CD，
∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，
∴△CDJ是等邊三角形，
∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，
∴∠BCJ＝∠ACD，
∵CB＝CA，
∴△BCJ≌△ACD（SAS），
∴BJ＝AD，
∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．
（3）解：如圖3中，以CD為邊向外作等邊△CDT，連接BT．
∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，
∴∠TCB＝∠DCA，
∴△TCB≌△DCA（SAS），
∴BT＝AD，
∵CT＝CD＝2，BD＝3，
∴3﹣2≤BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，
∴1≤AD≤5．
∴AD的最小值為1，最大值為5．
AD最大時(shí)∠BDE＝120（C在BD上方），AD最小時(shí)∠BDC＝60（C在BD下方）．
購(gòu)買蘋果數(shù)x（千克）
不超過(guò)50千克的部分
超過(guò)50千克的部分
每千克價(jià)格（元）
10
8