請你來當(dāng)法官:仔細(xì)閱讀三角形紅和三角形藍(lán)的對話,看看誰說得有道理.三角形藍(lán)和三角形紅見面了.藍(lán)炫耀地說:“我的面積比你大,所以我的內(nèi)角和也比你大!”紅不服氣地說:“那可不好說噢,你自己量量看!”同學(xué)們,它們誰說得有道理?
1.拼圖直觀感受三角形內(nèi)角和.如圖所示,在小學(xué),我們通過剪拼發(fā)現(xiàn)了三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°.從這種剪拼過程中,你能得到什么啟示?其中哪兩條直線是平行的?
【追問】　你能用哪些方法說明圖中的相關(guān)兩條直線是平行的?
(提示:可以通過內(nèi)錯(cuò)角或同位角相等判斷.)
2.拼圖說明三角形內(nèi)角和定理.
如圖所示,已知△ABC.延長BC到點(diǎn)D,過點(diǎn)C作直線CE∥AB,得到∠4和∠5.∠4和∠5與三角形的內(nèi)角有什么關(guān)系?
把上述兩圖結(jié)合起來看,剪拼的過程相當(dāng)于把∠2沿BC方向平移到∠5的位置,從而有AB∥CE.由此我們得到啟發(fā):如果延長BC到點(diǎn)D,過點(diǎn)C作直線CE∥AB,那么∠2與∠5是同位角,∠1與∠4是內(nèi)錯(cuò)角.利用平行線的性質(zhì)定理以及等量代換,就把三角形三個(gè)內(nèi)角∠1,∠2與∠3的和轉(zhuǎn)化成了∠3,∠4與∠5的和,而這三個(gè)角恰好構(gòu)成一個(gè)平角.
3.推導(dǎo)三角形內(nèi)角和定理.
如圖所示,已知△ABC.對∠A+∠B+∠ACB=180°的說理過程如下:
延長BC到點(diǎn)D,作CE∥AB.因?yàn)镃E∥AB,所以∠1=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=∠5(兩直線平行,同位角相等).
因?yàn)椤?+∠4+∠5=180°(平角的定義),所以∠1+∠2+∠3=180°(等量代換),即∠A+∠B+∠ACB=180°.三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于180°.
4.三角形內(nèi)角和定理的其他說理方法.
結(jié)合其他的拼接方法,你還能得到怎樣的證明方法?還有其他的證明方法嗎?
證明:因?yàn)镃N∥AB,所以∠ACN=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠NCM=∠B(兩直線平行,同位角相等),因?yàn)椤螦CB+∠ACN+∠NCM=180°,所以∠A+∠B+∠ACB=180°.
輔助線的作法:(1)延長BC,過點(diǎn)C作CN∥AB.
(2)如圖所示,在BC邊上任取一點(diǎn)D,作DE∥AB,交AC于E,DF∥AC,交AB于F.
因?yàn)镈F∥AC(已作),所以∠1=∠C(兩直線平行,同位角相等),∠2=∠DEC(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).因?yàn)镈E∥AB(已作),所以∠3=∠B,∠DEC=∠A(兩直線平行,同位角相等).所以∠A=∠2(等量代換).又因?yàn)椤?+∠2+∠3=180°(平角的定義),所以∠A+∠B+∠C=180°(等量代換).
(3)如圖所示,過A點(diǎn)任作直線l1,過B點(diǎn)作l2∥l1,過C點(diǎn)作l3∥l1.
因?yàn)閘1∥l3(已作),所以∠1=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).同理∠3=∠4.
又因?yàn)閘1∥l2(已作),所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)),所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°(等量代換).又因?yàn)椤?+∠3=∠ACB,所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(等量代換).
(教材第104頁例1)如圖所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=65°,求∠C的度數(shù).
解:因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理),所以∠C=180°-(∠A+∠B).
因?yàn)椤螦=30°,∠B=65°(已知),所以∠C=180°-(30°+65°)=85°.
解析:方法1:因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180°,所以∠C=180°× =75°.方法2:設(shè)∠A=3x°,∠B=4x°,∠C=5x°,則3x+4x+5x=180,解得x=15,所以5x=75,即∠C=75°.故選C.
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,則∠C等于(　　)A.45°B.60°C.75°D.90°
2.如圖所示,AB∥CD,FE⊥DB,垂足為E,∠1=50°,則∠2的度數(shù)是(　　) A.60° B.50° C.40° D.30°
解析:利用平行找出∠2和∠D的關(guān)系,再利用∠D和∠1的關(guān)系求出∠2的度數(shù).因?yàn)锳B∥CD,所以∠2=∠D,又因?yàn)镋F⊥DB,所以∠DEF=90°,所以∠1與∠D互余,得∠2=∠D=90°-∠1=90°-50°=40°.故選C.
4.如圖所示,從電線桿離地面一定距離的B處向地面拉一條長8米的纜繩,通過測量,纜繩BC與地面的夾角為46°,則纜繩與電線桿的夾角為　　　　.?
3.若直角三角形的一個(gè)銳角為20°,則另一個(gè)銳角等于　　　　.?
解析:因?yàn)橐粋€(gè)直角三角形的一個(gè)銳角是20°,所以它的另一個(gè)銳角的大小為90°-20°=70°.故填70°.
解析:直角三角形的兩銳角互余.故填44°.
解:不符合規(guī)定.理由如下:設(shè)AF,DE的延長線相交于G點(diǎn),可得△AGD.因?yàn)椤螰AD=34°,∠ADE=63°,所以∠AGD=180°-34°-63°=83°≠85°,所以不符合規(guī)定.
5.一塊模板如圖所示,按規(guī)定AF,DE的延長線相交成85°角,因交點(diǎn)不在板上,不便測量,工人師傅連接AD,測得∠FAD=34°,∠ADE=63°,請問此時(shí)AF,DE的延長線相交所成的角是不是符合規(guī)定?為什么?

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9.2 三角形的內(nèi)角

版本： 冀教版

年級： 七年級下冊

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