?2021-2022學(xué)年廣西柳州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，每小題選對得3分，選錯(cuò)、不選或多選均得零分，請把選擇題的答案填入下面的表格中）
1．（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）“買一張電影票，座位號正好是偶數(shù)”這個(gè)事件是（　?。?br /> A．不可能事件 B．必然事件 C．隨機(jī)事件 D．確定事件
3．（3分）下列方程中，不是一元二次方程的是（　　）
A．5x2﹣7x4＝﹣3 B．x2＝x+1 C．﹣6x2﹣5＝0 D．x2﹣7x＝6
4．（3分）已知⊙O的半徑為3，OA＝3，則點(diǎn)A和⊙O的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不確定
5．（3分）拋物線y＝2（x﹣1）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
6．（3分）已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間成如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)解析式為（　?。?br />
A．y＝200x B．y＝ C．y＝100x D．y＝
7．（3分）一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩根之和為（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
8．（3分）如圖，已知∠AOB是⊙O的圓心角，∠AOB＝60°，則圓周角∠ACB的度數(shù)是（　?。?br />
A．50° B．25° C．100° D．30°
9．（3分）有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了45場，每兩隊(duì)之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（　　）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
10．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），有以下結(jié)論：①abc＜0；②a+c＞0；③4a+2b+c＜0；④a+b＞0，其中正確的有（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）點(diǎn)P（﹣2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是　 ?。?br /> 12．（3分）某班女生與男生的人數(shù)比為3：2，從該班學(xué)生中隨機(jī)選取一名學(xué)生是女生的概率為 　 ?。?br /> 13．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根為﹣1，則a的值為 　 ?。?br /> 14．（3分）圓心角為90°，半徑為6cm的扇形的弧長是 　 　cm（結(jié)果保留π）．
15．（3分）若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象在其每一分支上，y隨x的增大而減小，則k　 　0（填“＜”或“＞”）．
16．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．若AE＝2，則FM的長為　 ?。?br />
三、解答題（本大題共7題，滿分52分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）
17．（6分）解方程：x2﹣4x＝0．
18．（6分）一個(gè)不透明的袋中中裝有大小、質(zhì)地完全相同的3只球，球上分別標(biāo)有2，3，5三個(gè)數(shù)字．從這個(gè)袋子中任意摸一只球，記下所標(biāo)數(shù)字，不放回，再從這個(gè)袋子中任意摸一只球，記下所標(biāo)數(shù)字．將第一次記下的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二次記下的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)．求所組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率．（請用”畫樹狀圖“或”列表“的方法寫出過程）
19．（6分）如圖，⊙O的弦AB＝8，直徑CE⊥AB于D，DC＝2，求半徑OC的長．

20．（8分）如圖，反比例函數(shù)y＝的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)M（﹣2，m）．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為y軸上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）時(shí)，求△MPN的面積．

21．（8分）某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)抓住商機(jī)，購進(jìn)一批干果，分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元．試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（袋）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天還需支付其他各項(xiàng)費(fèi)用80元．
銷售單價(jià)x（元）
3.5
5.5
銷售量y（袋）
280
120
（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)每天的利潤為W元，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？
22．（8分）如圖，AC是⊙O直徑，弦AD與AC成30°角，BD交AC的延長線于點(diǎn)B，且DA＝DB．
（1）求證：BD為⊙O的切線；
（2）若BC＝，求AD的長．

23．（10分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，3），拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CPA為等腰三角形時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．


2021-2022學(xué)年廣西柳州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，每小題選對得3分，選錯(cuò)、不選或多選均得零分，請把選擇題的答案填入下面的表格中）
1．（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】中心對稱圖形是在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，能夠與自身重合的圖形．軸對稱圖形是在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．依據(jù)定義判斷．
【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．
B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意．
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：B．
2．（3分）“買一張電影票，座位號正好是偶數(shù)”這個(gè)事件是（　　）
A．不可能事件 B．必然事件 C．隨機(jī)事件 D．確定事件
【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)判斷即可開．
【解答】解：“買一張電影票，座位號正好是偶數(shù)”這個(gè)事件是：隨機(jī)事件，
故選：C．
3．（3分）下列方程中，不是一元二次方程的是（　?。?br /> A．5x2﹣7x4＝﹣3 B．x2＝x+1 C．﹣6x2﹣5＝0 D．x2﹣7x＝6
【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)，可得答案．
【解答】解：A．未知數(shù)的最高次數(shù)是4，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
B．是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
4．（3分）已知⊙O的半徑為3，OA＝3，則點(diǎn)A和⊙O的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不確定
【分析】由⊙O的半徑為3，OA＝3知點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，從而得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半徑為3，OA＝3，
∴點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，
∴點(diǎn)A在⊙O上，
故選：A．
5．（3分）拋物線y＝2（x﹣1）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】直接根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：∵拋物線y＝2（x﹣1）2+1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．
故選：A．
6．（3分）已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間成如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)解析式為（　　）

A．y＝200x B．y＝ C．y＝100x D．y＝
【分析】由于近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，可設(shè)y＝，由于點(diǎn)（0.5，200）在此函數(shù)解析式上，故可先求得k的值．
【解答】解：根據(jù)題意近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，設(shè)y＝，
由于點(diǎn)（0.5，200）在此函數(shù)解析式上，
∴k＝0.5×200＝100，
∴y＝，
故選：D．
7．（3分）一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩根之和為（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩根之和為5，
故選：B．
8．（3分）如圖，已知∠AOB是⊙O的圓心角，∠AOB＝60°，則圓周角∠ACB的度數(shù)是（　　）

A．50° B．25° C．100° D．30°
【分析】直接利用圓周角定理得出答案．
【解答】解：∵∠AOB是⊙O的圓心角，∠AOB＝60°，
∴圓周角∠ACB的度數(shù)是：30°．
故選：D．
9．（3分）有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了45場，每兩隊(duì)之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（　　）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【分析】先列出x支籃球隊(duì)，每兩隊(duì)之間都比賽一場，共可以比賽x（x﹣1）場，再根據(jù)題意列出方程為x（x﹣1）＝45．
【解答】解：∵有x支球隊(duì)參加籃球比賽，每兩隊(duì)之間都比賽一場，
∴共比賽場數(shù)為x（x﹣1），
∴共比賽了45場，
∴x（x﹣1）＝45，
故選：A．
10．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），有以下結(jié)論：①abc＜0；②a+c＞0；③4a+2b+c＜0；④a+b＞0，其中正確的有（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【分析】首先根據(jù)開口方向確定a的取值范圍，根據(jù)對稱軸的位置確定b的取值范圍，根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)確定c的取值范圍，根據(jù)圖象和x＝﹣1和x＝2的函數(shù)值即可確定a+c和a+b的取值范圍，根據(jù)x＝2的函數(shù)值可以確定4a+2b+c的范圍．
【解答】解：∵拋物線開口方向向下，
∴a＜0，
∵對稱軸直線位于y軸右側(cè)，則a、b異號，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y1＝a﹣b+c＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，y2＝a+b+c＞0，
∴y1+y2＞0，
∴2a+2c＞0，即a+c＞0，故②正確．
由圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，故③錯(cuò)誤；
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y1＝a﹣b+c＝0，當(dāng)x＝2時(shí)，y2＝4a+2b+c＞0，
∴y2﹣y1＞0，
∴3a+3b＞0，即a+b＞0，故④正確．
故選：B．
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）點(diǎn)P（﹣2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是?。?，3）?。?br /> 【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)P（﹣2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是P′（2，3）；
【解答】解：根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴點(diǎn)P（﹣2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3）；
故答案為（2，3）．
12．（3分）某班女生與男生的人數(shù)比為3：2，從該班學(xué)生中隨機(jī)選取一名學(xué)生是女生的概率為 　　．
【分析】求出男生與女生的份數(shù)，讓女生份數(shù)除以學(xué)生的總份數(shù)解答即可．
【解答】解：因?yàn)榕c男生的人數(shù)比為3：2，所以總份數(shù)是3+2＝5，
所以該班學(xué)生中隨機(jī)選取一名學(xué)生是女生的概率為．
故答案為：．
13．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個(gè)根為﹣1，則a的值為 　2?。?br /> 【分析】把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，然后解關(guān)于a的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故答案為：2．
14．（3分）圓心角為90°，半徑為6cm的扇形的弧長是 　3π　cm（結(jié)果保留π）．
【分析】利用弧長公式求解即可．
【解答】解：扇形的弧長＝＝3π（cm），
故答案為：3π．
15．（3分）若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象在其每一分支上，y隨x的增大而減小，則k?。尽?（填“＜”或“＞”）．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到k＞0，然后取k＝1即可得到滿足條件的反比例函數(shù)解析式．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象在其每一分支上，y隨x的增大而減小，
∴k＞0，
故答案為：＞．
16．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．若AE＝2，則FM的長為　5?。?br />
【分析】由旋轉(zhuǎn)可得DE＝DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出EF＝MF；則可得到AE＝CM＝2，正方形的邊長為6，用AB﹣AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設(shè)EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為FM的長．
【解答】解：∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三點(diǎn)共線，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
設(shè)EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴FM＝5．
故答案為：5．
三、解答題（本大題共7題，滿分52分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）
17．（6分）解方程：x2﹣4x＝0．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0或x2＝4．
18．（6分）一個(gè)不透明的袋中中裝有大小、質(zhì)地完全相同的3只球，球上分別標(biāo)有2，3，5三個(gè)數(shù)字．從這個(gè)袋子中任意摸一只球，記下所標(biāo)數(shù)字，不放回，再從這個(gè)袋子中任意摸一只球，記下所標(biāo)數(shù)字．將第一次記下的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二次記下的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)．求所組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率．（請用”畫樹狀圖“或”列表“的方法寫出過程）
【分析】列表得出所有等可能的結(jié)果，找出組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的情況，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表得：

2
3
5
2
﹣﹣﹣
32
52
3
23
﹣﹣﹣
53
5
25
35
﹣﹣﹣
所有等可能的情況有6種，其中組成兩位數(shù)是5的倍數(shù)的情況有2種，
則所組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為＝．
19．（6分）如圖，⊙O的弦AB＝8，直徑CE⊥AB于D，DC＝2，求半徑OC的長．

【分析】連接OA，如圖，設(shè)半徑為r，利用垂徑定理得到AD＝BD＝4，再利用勾股定理得到42+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：連接OA，如圖，設(shè)半徑為r，
∵CE⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4，∠ODA＝90°，
在Rt△AOD中，∵OA＝r，OD＝r﹣2，
∴42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5，
即半徑OC的長為5．

20．（8分）如圖，反比例函數(shù)y＝的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)M（﹣2，m）．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為y軸上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）時(shí)，求△MPN的面積．

【分析】（1）把M（﹣2，m）代入函數(shù)式y(tǒng)＝﹣x中，求得m的值，從而求得M的坐標(biāo)，代入y＝可求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的中心對稱性求得N的坐標(biāo)，然后利用S△MPN＝S△MOP+S△NOP求得即可．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)M（﹣2，m）在一次函數(shù)y＝﹣x的圖象上，
∴m＝﹣×（﹣2）＝1．
∴M（﹣2，1）．
∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)M（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2．
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣；
（2）∵反比例函數(shù)y＝的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，M（﹣2，1），
∴N（2，﹣1），
∵點(diǎn)P為y軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），
∴OP＝，
∴S△MPN＝S△MOP+S△NOP＝×2+×2＝2．
21．（8分）某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)抓住商機(jī)，購進(jìn)一批干果，分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元．試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（袋）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天還需支付其他各項(xiàng)費(fèi)用80元．
銷售單價(jià)x（元）
3.5
5.5
銷售量y（袋）
280
120
（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)每天的利潤為W元，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？
【分析】（1）根據(jù)每天的銷售量y（袋）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，可設(shè)y＝kx+b，再將x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)每天的利潤＝每天每袋的利潤×銷售量﹣每天還需支付的其他費(fèi)用，列出W關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，
將x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，
得，
解得，
則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣80x+560；

（2）由題意得：W＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝﹣80x2+800x﹣1760＝﹣80（x﹣5）2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴當(dāng)x＝5時(shí)，W有最大值為240．
故當(dāng)銷售單價(jià)定為5元時(shí)，每天的利潤最大，最大利潤是240元．
22．（8分）如圖，AC是⊙O直徑，弦AD與AC成30°角，BD交AC的延長線于點(diǎn)B，且DA＝DB．
（1）求證：BD為⊙O的切線；
（2）若BC＝，求AD的長．

【分析】（1）連接OD，由DA＝DB，得∠B＝∠A＝30°，根據(jù)圓周角定理得∠COD＝2∠A＝60°，則∠ODB＝90°，而OD是⊙O的半徑，可判定BD為⊙O的切線；
（2）連接CD，證明∠B＝∠CDB，得DC＝BC＝，由AC是⊙O的直徑得∠ADC＝90°，而∠A＝30°，則AC＝2DC＝2，根據(jù)勾股定理可求出AD的長．
【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，
∵DA＝DB，∠A＝30°，
∴∠B＝∠A＝30°，
∵∠COD＝2∠A＝2×30°＝60°，
∴∠ODB＝90°，
∴BD⊥OD，
∵OD是⊙O的半徑，
∴BD為⊙O的切線．
（2）解：如圖2，連接CD，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ADC＝90°，
∵∠B＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠CDB＝∠ACD﹣∠B＝60°﹣30°＝30°，
∴∠B＝∠CDB，
∴DC＝BC＝，
∴AC＝2DC＝2，
∴AD＝＝＝3，
∴AD的長為3．


23．（10分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，3），拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CPA為等腰三角形時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【分析】（1）求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再將點(diǎn)B（2，3），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2設(shè)P（1，t），分別求出AP2＝1+t2，AC2＝13，PC2＝1+（t﹣3）2，再分三種情況討論：①當(dāng)AP＝AC時(shí)；②當(dāng)PA＝PC時(shí)；③當(dāng)CA＝CP時(shí)；分別列出方程求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，A，C的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，3），
∴B（2，3），
將點(diǎn)B（2，3），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵x＝﹣＝1，
∴D（1，4）；
（2）∵對稱軸為x＝1，設(shè)P（1，t），
∴AP2＝1+t2，AC2＝13，PC2＝1+（t﹣3）2，
①當(dāng)AP＝CP時(shí)，1+t2＝1+（t﹣3）2，
解得t＝，
∴P（1，），
∵P是AC的中點(diǎn)，
∴P（1，）不符合題意；
②當(dāng)CP＝AC時(shí)，1+（t﹣3）2＝13，
解得t＝﹣2+3或t＝2+3，
∴P（1，2+2）或P（1，﹣2+3）；
③當(dāng)AC＝AP時(shí)，1+t2＝13，
解得t＝±2，
∴P（1，2）或P（1，﹣2）；
綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2+2）或（1，﹣2+3）或（1，2）或（1，﹣2）．


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