數(shù)學(xué)試題（文科）
（時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置．
2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效．
3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5毫米及以上黑色筆跡簽字筆寫(xiě)在答題卡上．
4．考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)等于
A．B．C．D．
2．已知集合，，則等于
A．B．C．D．
3．命題“，”的否定為
A．，B．，
C．，D．，
4．某中學(xué)從甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2022年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，他們?nèi)〉贸煽?jī)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是84，乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86，則xy的值為
A．36B．12C．10D．24
5．設(shè)，，，則
A．B．C．D．
6．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，則等于
A．11000B．5050C．5000D．10000
7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的a的值為17，則輸入的最小整數(shù)l的值為
A．9B．12C．14D．16
8．2022年北京冬奧會(huì)成功舉辦．中國(guó)冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得到釋放，將引領(lǐng)相關(guān)戶(hù)外用品行業(yè)市場(chǎng)增長(zhǎng)．下面是2015年至2021年中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次（萬(wàn)人次）與同比增長(zhǎng)率（與上一年相比）的統(tǒng)計(jì)情況，則下面結(jié)論中正確的是
A．2016年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率逐年下降
B．2016年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加
C．2016年與2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率近似相等，所以同比增長(zhǎng)人數(shù)也近似相等
D．2016年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次增長(zhǎng)率為12.6%
9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”其體現(xiàn)的是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過(guò)方程確定，則等于
A．1B．2C．3D．4
10．如圖所示，圓柱的軸截面是正方形ABCD，母線(xiàn)，若點(diǎn)E是母線(xiàn)BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是
A．B．點(diǎn)F到平面ABCD的距離為2
C．BF⊥ACD．BF與平面ABCD所成的角的大小為
11．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的值可能為
A．B．C．D．
12．已知函數(shù)，若恒成立，則a的取值范圍為
A．B．C．D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知向量，滿(mǎn)足，，且，則與的夾角等于．
14．若圓錐的底面直徑為6，母線(xiàn)長(zhǎng)為5，則其內(nèi)切球的表面積為．
15．已知圓E的圓心為，直線(xiàn)：，：與圓E分別交于點(diǎn)A，B與C，D，若四邊形ABCD是正方形，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
16．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若存在正數(shù)k，使對(duì)一切恒成立，則k的取值范圍為．
三、解答題：共70分．解答題寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．第17～21題是必考題，每個(gè)考生都必須作答．第22、23題是選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（本小題滿(mǎn)分12分）
2022年2月4日，冬奧會(huì)在北京與張家口開(kāi)幕，如圖，四邊形ABCD是主辦方為運(yùn)動(dòng)員精心設(shè)計(jì)的休閑區(qū)域的大致形狀，區(qū)域四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動(dòng)步道AC，，，，．
（1）求氫能源環(huán)保電動(dòng)步道AC的長(zhǎng)；
（2）若，求花卉種植區(qū)域總面積．
18．（本小題滿(mǎn)分12分）
如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，G分別為線(xiàn)段PD，DC的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥平面BEF；
（2）求三棱錐F-BGE的體積．
19．（本小題滿(mǎn)分12分）
某農(nóng)場(chǎng)主擁有兩個(gè)面積都是200畝的農(nóng)場(chǎng)——“生態(tài)農(nóng)場(chǎng)”與“親子農(nóng)場(chǎng)”，種植的都是黃桃，黃桃根據(jù)品相和質(zhì)量大小分為優(yōu)級(jí)果、一級(jí)果、殘次果三個(gè)等級(jí)．農(nóng)場(chǎng)主隨機(jī)抽取了兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)的黃桃各100千克，得到如下數(shù)據(jù)“生態(tài)農(nóng)場(chǎng)”優(yōu)級(jí)果和一級(jí)果共95千克，兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)的殘次果一共20千克，優(yōu)級(jí)果數(shù)目如下：“生態(tài)農(nóng)場(chǎng)”20千克，“親子農(nóng)場(chǎng)”25千克．
（1）根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為殘次果率與農(nóng)場(chǎng)有關(guān)？
（2）種植黃桃的成本為5元/千克，且黃桃價(jià)格如下表：
①以樣本的頻率作為概率，請(qǐng)分別計(jì)算兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)每千克黃桃的平均利潤(rùn)；
②由于農(nóng)場(chǎng)主精力有限，決定售賣(mài)其中的一個(gè)農(nóng)場(chǎng)，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)幫他做出決策．（假設(shè)兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)的產(chǎn)量相同）
參考公式：，其中．
附表：
20．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知函數(shù)．
（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）求函數(shù)的最小值，并證明：當(dāng)時(shí)，．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
21．（本小題滿(mǎn)分12分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)與圓：相切，另外，橢圓：的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于C，D兩點(diǎn)．且．
（1）求圓的方程與橢圓的方程；
（2）經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別記為A，B，直線(xiàn)PA，PB分別與圓相交于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），求△OAB的面積的取值范圍．
（二）選考題：共10分．考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑．
22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為．
（1）求直線(xiàn)l的普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求的值．
23．[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù)．
（1）求的解集；
（2）若恒成立，求a的取值范圍．
試卷類(lèi)型：A
晉中市2022年3月普通高等學(xué)校招生模擬考試
數(shù)學(xué)答案（文科）
1．A
[因?yàn)?，所以，故選A．]
2．C
[由題意可知，，，則，故選C．]
3．B
[因?yàn)槊}“，”是特稱(chēng)命題，所以其否定是全稱(chēng)命題，即為“，”，故選B．]
4．D
[因?yàn)榧装鄬W(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是84，
所以根據(jù)莖葉圖可得為中位數(shù)，
即，
解得．
又因?yàn)橐野鄬W(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86，
即，
解得，故，故選D．]
5．D
[因?yàn)椋?br>即，，
即，，
即，所以，故選D．]
6．B
[設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
即，
解得或（舍去），
因?yàn)椋?br>即，
解得，
所以通項(xiàng)公式為，
所以，
所以．故選B．]
7．A
[第一次循環(huán)，，不成立；第二次循環(huán)，，不成立；第三次循環(huán)，．不成立；第四次循環(huán)，，，成立，所以，輸入的最小整數(shù)t的值為9．]
8．B
[對(duì)于A，2016年至2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率逐年增加，2018年至2021年同比增長(zhǎng)率逐年下降，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由條形圖可知，2016年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加，故B正確；對(duì)于C，由條形圖可知，2016年與2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率近似相等，但是2015年滑雪人次為800萬(wàn)，2020年滑雪人次為1750萬(wàn)，同比增長(zhǎng)基數(shù)差距大，同比增長(zhǎng)人數(shù)不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由統(tǒng)計(jì)圖可知，2016年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的增長(zhǎng)率約為，故D錯(cuò)誤．]
9．A
[令，
即，
即，解得，
故，故選A．]
10．B
[如圖所示，設(shè)O是AB的中點(diǎn)，連接OE，OF，在正方形ABCD中，，可得，在△ABC中，可得，則EF與AC不平行，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以O(shè)F⊥平面ABCD，所以點(diǎn)F到平面ABCD的距離為2，選項(xiàng)B正確；∠ABF是BF與平面ABCD所成的角，其大小為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；BF與AB不垂直，也得不出BF⊥AC，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．]
11．A
[由題意可知，
，
將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，因?yàn)樗玫膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可得，則，取，得．故選A．]
12．D
[因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>即恒成立，
即恒成立，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，
則．故選D．]
13．
解析
由條件，
可得，
即，
得到，
所以，
所以．
14．
解析
圓錐的軸截面如圖所示，
則圓錐的高，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，
根據(jù)面積相等，可得圓錐軸截面的面積為，
得到，
所以?xún)?nèi)切球的表面積為．
15．
解析
設(shè)半徑為r，這時(shí)圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由題意知，圓心E在直線(xiàn)上，
所以．
又，兩直線(xiàn)間的距離，
且四邊形ABCD是正方形，
所以，
解得，
所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
16．
解析
因?yàn)椋?br>即，
所以數(shù)列為公比為人的等比數(shù)列，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，，
所以，①
，②
②－①得，
，
所以．
因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切恒成立，
所以對(duì)一切恒成立，
即對(duì)一切恒成立，
只需滿(mǎn)足，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
所以，
故k的取值范圍是．
17．解
（1）因?yàn)?，?br>所以，
在△ADC中，由余弦定理可知，
所以．
（2）因?yàn)?，在△ABC中，由余弦定理可得，
即，
得，
解得或（舍去），
即．
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以
，
所以花卉種植區(qū)域總面積為．
18．（1）證明
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
又因?yàn)?，?br>所以，
所以點(diǎn)E為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，
所以，
所以，
又，EF，平面BEF，
所以平面BEF．
（2）解
由（1）可知且，
又因?yàn)槠矫鍭BCD，
所以平面ABCD，
，
所以．
19．解
（1）作出2×2列聯(lián)表如下：
因?yàn)椋?br>所以有95%的把握認(rèn)為黃桃的殘次果率與農(nóng)場(chǎng)有關(guān)．
（2）①對(duì)于“生態(tài)農(nóng)場(chǎng)”，抽到的產(chǎn)品中盈利為5元的頻率為0.2，盈利為3元的頻率為0.75，盈利為－5.5元的頻率為0.05，所以該農(nóng)場(chǎng)每千克黃桃的平均利潤(rùn)為（元）；
對(duì)于“親子農(nóng)場(chǎng)”，抽到的產(chǎn)品中盈利為5元的頻率為0.25，盈利為3元的頻率為0.60，盈利為－5.5元的頻率為0.15，所以該農(nóng)場(chǎng)每千克黃桃的平均利潤(rùn)為（元）．
②由于兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)的產(chǎn)量相同，所以“生態(tài)農(nóng)場(chǎng)”的盈利能力更大，應(yīng)該售賣(mài)“親子農(nóng)場(chǎng)”．
20．解
（1）的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即．
（2）令，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
證明如下：當(dāng)時(shí)，有，
所以，
即，
所以．
21．解
（1）由題可知，圓：的圓心為，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓：相切，
所以，
所以圓的方程為，
因?yàn)闄E圓的離心率為，
所以，
即，
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
解得，，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)，，．
當(dāng)直線(xiàn)PA的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)PA，PB的斜率分別為，，則直線(xiàn)PA的方程為．
由，消去y，得．
．
令，整理得．
則，
所以直線(xiàn)PA的方程為．
化簡(jiǎn)可得，
即．
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線(xiàn)PA的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)PA的方程為或，也滿(mǎn)足．
同理，可得直線(xiàn)PB的方程為．
因?yàn)樵谥本€(xiàn)PA，PB上，所以，．
所以直線(xiàn)AB的方程為．
由，
消去y，得．
所以，．
所以
．
又點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離．
所以．
令，，
則．
又，
所以△OAB的面積的取值范圍為．
22．解
（1）由（t為參數(shù)），消去參數(shù)得直線(xiàn)l的普通方程為，
由曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為
及，
得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為．
（2）把（t為參數(shù)）代入得到，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，
則，，
所以，異號(hào)，
故，
所以的值為．
23．解
（1）當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
故的解集為．
（2）由于，
所以，
即，
因?yàn)椋?br>故，即．
故a的取值范圍為．
等級(jí)
優(yōu)級(jí)果
一級(jí)果
殘次果
價(jià)格（元/千克）
0
8
－0.5（無(wú)害化處理費(fèi)用）
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
農(nóng)場(chǎng)
非殘次果
殘次果
總計(jì)
生態(tài)農(nóng)場(chǎng)
95
5
100
親子農(nóng)場(chǎng)
85
15
100
總計(jì)
180
20
200

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