7．2.4　誘導(dǎo)公式第1課時(shí)　誘導(dǎo)公式(一)[課程目標(biāo)] 1.借助單位圓的直觀性探索正弦、余弦和正切的誘導(dǎo)公式．2．掌握正弦、余弦和正切的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．3．通過對(duì)公式的運(yùn)用，提高三角恒等變形的能力和滲透化歸數(shù)學(xué)思想，提高分析問題、解決問題的能力．[填一填]1．誘導(dǎo)公式①終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等．即：cos(α＋k· 2π)＝cosα，sin(α＋k·2π)＝sinα，tan(α＋k·2π)＝tanα.其作用是把絕對(duì)值大于2π的任意角的三角函數(shù)值化為[0,2π)上的角的同名三角函數(shù)值．2．誘導(dǎo)公式②角－α的三角函數(shù)等于角α的同名三角函數(shù)，前邊放上把α看作銳角時(shí)，－α所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)．即cos(－α)＝cosα，sin(－α)＝－sinα，tan(－α)＝－tanα.其作用是把任意負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù)．3．誘導(dǎo)公式③角π－α的三角函數(shù)等于角α的同名三角函數(shù)，前邊放上把角α看作銳角時(shí)，π－α所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)，即sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.4．誘導(dǎo)公式④角π＋α的三角函數(shù)等于角α的同名三角函數(shù)，前邊放上把角α看作銳角時(shí)，π－α所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)，即sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.[答一答]1．對(duì)四組誘導(dǎo)公式的理解應(yīng)注意什么問題？提示：(1)公式①的作用是：其一，可以將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值，分別化為0°到360°的角的同一三角函數(shù)值(方法是先在0°到360°的范圍內(nèi)找出與它終邊相同的角，再把它寫成公式①的形式，然后得出結(jié)果)；其二，便于研究這三種三角函數(shù)的周期性．(2)公式②和③和④的推導(dǎo)，要緊扣點(diǎn)P(x，y)關(guān)于坐標(biāo)軸和關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性，而且點(diǎn)P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)．于是P(x，y)可以寫為P(cosα，sinα)，P點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱為P′(cosα，－sinα)，P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P″(－cosα，－sinα)，由此推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式②.關(guān)于誘導(dǎo)公式③，最主要的是α與π－α的三角函數(shù)間的關(guān)系，即sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα.tan(π－α)＝－tanα.將上面的三個(gè)公式與誘導(dǎo)公式①聯(lián)合起來，就得到誘導(dǎo)公式④.由誘導(dǎo)公式②③又得到關(guān)于α與π＋α這兩個(gè)互補(bǔ)的角的關(guān)系式： sin(α＋π)＝－sinα，cos(α＋π)＝－cosα，tan(α＋π)＝tanα.這是將公式③中的－α換成α以后得到的結(jié)果．(3)這一組公式的共同特點(diǎn)：角－α，2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α的三角函數(shù)等于角α的同名三角函數(shù)，前邊放上把角α看成銳角時(shí)，該角所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)，口訣為：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”．(4) 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是圓的對(duì)稱性的“代數(shù)表示”，因此，用數(shù)形結(jié)合的思想從單位圓關(guān)于坐標(biāo)軸、直線y＝x、原點(diǎn)等的對(duì)稱性出發(fā)研究誘導(dǎo)公式，可以發(fā)現(xiàn)終邊分別關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對(duì)稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使得誘導(dǎo)公式(數(shù))與單位圓(形)得到緊密結(jié)合，成為一個(gè)整體．2．運(yùn)用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟是怎樣的？3．常用的特殊角的三角函數(shù)值有哪些？提示：類型一　　利用誘導(dǎo)公式求值[例1]　求下列各三角函數(shù)值．(1)sin；(2)cos(－945°)；(3)tan(－855°)；(4)sin(－1 200°)·cos1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan945°.[解]　(1)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝.(2)cos(－945°)＝cos945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－.(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.(4)sin(－1 200°)·cos1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan945°＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2.運(yùn)用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值時(shí)，一般步驟是：負(fù)化正→正化主→主化銳→求值.即先把負(fù)號(hào)化去?誘導(dǎo)公式②?，再把任意正角寫成2kπ＋α，0≤α<2π?或k·360°＋α，0°≤α<360°?的形式轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)，[0，2π?稱為主區(qū)間，再用π±α?或180°±α?化為銳角的三角函數(shù)，最后求值. [變式訓(xùn)練1]　計(jì)算：(1)sin405°·cos(－765°)；(2)sin·tanπ－cosπ·tan.解：(1)原式＝sin(360°＋45°)·cos765°＝sin45°·cos(2×360°＋45°)＝sin45°·cos45°＝×＝.(2)原式＝·tan－cos·tan＝－sin·tan－cos·tan＝－××－×(－1)＝0.類型二　　條件求值[例2]　已知cos＝，求cos－sin2的值．[解]　∵cos＝cos＝－cos＝－，sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝，∴cos－sin2＝－－＝－. ?1?解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.?2?可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.[變式訓(xùn)練2]　已知cos(α－75°)＝－，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解：∵cos(α－75°)＝－<0，且α為第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－＝－＝－.∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝.類型三　　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)[例3]　化簡(jiǎn).[分析]　由于本例含有根式且所給角度不一樣，化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)用誘導(dǎo)公式盡可能將角統(tǒng)一，去根號(hào)時(shí)還應(yīng)注意三角函數(shù)的正負(fù)．[解]　原式＝＝＝＝＝－1. 1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)常用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù).2.化簡(jiǎn)時(shí)要特別注意“1”的變式應(yīng)用.[變式訓(xùn)練3]　化簡(jiǎn)：－(n∈Z)．解：原式＝＋＝＋＝－cosα＋＝－cosα－cos2α.類型四　　三角函數(shù)式的證明[例4]　求證：＝tanθ.[分析]　運(yùn)用誘導(dǎo)公式①②，嘗試從等式的左邊入手，直至推出右邊即可．[證明]　左邊＝＝＝tanθ＝右邊．∴原等式成立． 1.用從等式的一邊開始化為等式的另一邊的方法證明恒等式問題，實(shí)質(zhì)上就是三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問題.2.證明三角恒等式的一般思路是：先分析角的特點(diǎn)及角之間的關(guān)系，再將角變形，然后利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式來完成證明. [變式訓(xùn)練4]　設(shè)tan＝a.求證：＝.證明：左邊＝＝＝＝＝右邊．∴等式成立.1．cos300°＝(　C　)A．－   B．－C.   D.解析：該題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值．cos300°＝cos(360°－60°)＝cos(－60°)＝cos60°＝，故選C.2．已知sin＝m，則cos的值等于(　C　)A．m   B．－mC.   D．－解析：∵sin＝sin＝sin，∴sin＝m，且∈，∴cos＝.3.等于(　A　)A．sin2－cos2   B．sin2＋cos2C．±(sin2－cos2)   D．cos2－sin2解析：∵<2<π，∴sin2>cos2，即sin2－cos2>0，∴＝＝＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.4．已知cos＝，則cos＝.解析：∵－θ＋＋θ＝2π，∴－θ＝2π－，∴cos＝cos＝cos＝.  

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第三冊(cè)電子課本

7.2.4 誘導(dǎo)公式

版本： 人教B版 (2019)

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