?2021年廣東省中考數(shù)學試卷
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（3分）（2021?廣東）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（　?。?br /> A．π B．2 C．|﹣2| D．3
2．（3分）（2021?廣東）據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.510858×109 B．51.0858×107
C．5.10858×104 D．5.10858×108
3．（3分）（2021?廣東）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（　?。?br /> A．112 B．16 C．13 D．12
4．（3分）（2021?廣東）已知9m＝3，27n＝4，則32m+3n＝（　　）
A．1 B．6 C．7 D．12
5．（3分）（2021?廣東）若|a-3|+9a2-12ab+4b2=0，則ab＝（　?。?br /> A．3 B．92 C．43 D．9
6．（3分）（2021?廣東）下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（3分）（2021?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1，則⊙O的直徑為（　　）

A．3 B．23 C．1 D．2
8．（3分）（2021?廣東）設6-10的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則（2a+10）b的值是（　?。?br /> A．6 B．210 C．12 D．910
9．（3分）（2021?廣東）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積S=p(p-a)(p-b)(p-c)．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（　?。?br /> A．5 B．4 C．25 D．5
10．（3分）（2021?廣東）設O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（　?。?br /> A．12 B．22 C．32 D．1
二、填空題：本大題7小題，每小題4分，共28分.
11．（4分）（2021?廣東）二元一次方程組x+2y=-22x+y=2的解為 　 ?。?br /> 12．（4分）（2021?廣東）把拋物線y＝2x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為 　 　．
13．（4分）（2021?廣東）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分別以點B、點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為 　 　．

14．（4分）（2021?廣東）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，則符合條件的一個方程為 　 ?。?br /> 15．（4分）（2021?廣東）若x+1x=136且0＜x＜1，則x2-1x2=　 ?。?br /> 16．（4分）（2021?廣東）如圖，在?ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA=45．過點D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE＝　 ?。?br />
17．（4分）（2021?廣東）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．點D為平面上一個動點，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為 　 ?。?br /> 三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題6分，共18分.
18．（6分）（2021?廣東）解不等式組2x-4＞3(x-2)4x＞x-72．
19．（6分）（2021?廣東）某中學九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽．用簡單隨機抽樣的方法，從該年級全體600名學生中抽取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：

（1）求這20名學生成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學生人數(shù)．
20．（6分）（2021?廣東）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周長；
（2）若AD=13BD，求tan∠ABC的值．

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分。
21．（8分）（2021?廣東）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y=4x圖象的一個交點為P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
22．（8分）（2021?廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．
（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；
（2）設豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．
23．（8分）（2021?廣東）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題10分，共20分。
24．（10分）（2021?廣東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求證：CF⊥FB；
（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積．

25．（10分）（2021?廣東）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點（﹣1，0），且對任意實數(shù)x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C；點M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

2021年廣東省中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（3分）（2021?廣東）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（　?。?br /> A．π B．2 C．|﹣2| D．3
【分析】C選項，﹣2的絕對值是2，所以這4個數(shù)都是正數(shù)，B選項，2＜2，即可得到最大的的數(shù)是π．
【解答】解：|﹣2|＝2，
∵2＜4，
∴2＜2，
∴2＜2＜3＜π，
∴最大的數(shù)是π，
故選：A．
【點評】本題考查了實數(shù)的比較大小，知道2＜2是解題的關鍵．
2．（3分）（2021?廣東）據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.510858×109 B．51.0858×107
C．5.10858×104 D．5.10858×108
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【解答】解：51085.8萬＝510858000＝5.10858×108，
故選：D．
【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法，關鍵是確定a的值以及n的值．
3．（3分）（2021?廣東）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（　?。?br /> A．112 B．16 C．13 D．12
【分析】畫樹狀圖，共有36種等可能的結果數(shù)，其中兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的結果有6種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖為：

共有36種等可能的結果數(shù)，其中兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的結果有6種，
∴兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率為636=16，
故選：B．
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法求隨機事件的概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
4．（3分）（2021?廣東）已知9m＝3，27n＝4，則32m+3n＝（　?。?br /> A．1 B．6 C．7 D．12
【分析】分別根據(jù)冪的乘方運算法則以及同底數(shù)冪的乘法法則解答即可．
【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，
∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．
故選：D．
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，掌握冪的運算法則是解答本題的關鍵．
5．（3分）（2021?廣東）若|a-3|+9a2-12ab+4b2=0，則ab＝（　　）
A．3 B．92 C．43 D．9
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．
【解答】解：由題意得，a-3=0，9a2﹣12ab+4b2＝0，
解得a=3，b=332，
所以，ab=3×332=92．
故選：B．
【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．
6．（3分）（2021?廣東）下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖的特征解答即可．
【解答】解：由正方體的四個側面和底面的特征可知，可以拼成正方體是下列三個圖形：

故這些圖形是正方體展開圖的個數(shù)為3個．
故選：C．
【點評】本題考查了幾何體的展開圖．解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．
7．（3分）（2021?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1，則⊙O的直徑為（　?。?br />
A．3 B．23 C．1 D．2
【分析】如圖，過點D作DT⊥AB于T．證明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得結論．
【解答】解：如圖，過點D作DT⊥AB于T．

∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，
∴DC＝DT＝1，
∵AC＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝2，
∴AD＝2DT，
∴∠A＝30°，
∴AB=ACcos30°=332=23，
故選：B．
【點評】本題考查圓周角定理，角平分線的性質(zhì)定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題．
8．（3分）（2021?廣東）設6-10的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則（2a+10）b的值是（　?。?br /> A．6 B．210 C．12 D．910
【分析】根據(jù)算術平方根得到3＜10＜4，所以2＜6-10＜3，于是可得到a＝2，b＝4-10，然后把a與b的值代入（2a+10）b中計算即可．
【解答】解：∵3＜10＜4，
∴2＜6-10＜3，
∵6-10的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，
∴a＝2，b＝6-10-2＝4-10，
∴（2a+10）b＝（2×2+10）×（4-10）＝（4+10）（4-10）＝6，
故選：A．
【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題的關鍵是利用完全平方數(shù)和算術平方根對無理數(shù)的大小進行估算．
9．（3分）（2021?廣東）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積S=p(p-a)(p-b)(p-c)．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（　　）
A．5 B．4 C．25 D．5
【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
【解答】解：∵p=a+b+c2，p＝5，c＝4，
∴5=a+b+42，
∴a+b＝6，
∴a＝6﹣b，
∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)
=5(5-a)(5-b)(5-4)
=5(5-a)(5-b)
=5ab-25
=5b(6-b)-25
=-5b2+30b-25
=-5(b-3)2+20，
當b＝3時，S有最大值為20=25．
故選：C．
【點評】本題考查二次根式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的三角形的面積．
10．（3分）（2021?廣東）設O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（　?。?br /> A．12 B．22 C．32 D．1
【分析】分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，設OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，設點D（0，m），易證△ADG～△ABH，所以DGBH=AGAH，即m-a2b2-a2=aa+b．可得m＝ab．再證明△AEO～△OFB，所以AEOF=EOBF，即a2b=ab2，可得ab＝1．即得點D為定點，坐標為（0，1），得DO＝1．進而可推出點C是在以DO為直徑的圓上運動，則當點C到y(tǒng)軸距離為此圓的直徑的一半，即12時最大．
【解答】解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，
設OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式為y＝x2，
則AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BH于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，
設點D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG～△ABH，
∴DGBH=AGAH，即m-a2b2-a2=aa+b．
化簡得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO～△OFB．
∴AEOF=EOBF，
即a2b=ab2，
化簡得ab＝1．
則m＝ab＝1，說明直線AB過定點D，D點坐標為（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴點C是在以DO為直徑的圓上運動，
∴當點C到y(tǒng)軸距離為12DO=12時，點C到y(tǒng)軸距離的最大．
故選：A．

【點評】本題考查了二次函數(shù)結合動點問題背景下的最值求法，涉及相似三角形，圓周角定理，此題難度較大，關鍵是要找出點D為定點，確定出點C的軌跡為一段優(yōu)弧，再求最值．
二、填空題：本大題7小題，每小題4分，共28分.
11．（4分）（2021?廣東）二元一次方程組x+2y=-22x+y=2的解為 　　．
【分析】直接利用加減消元法求解可得問題的答案．
【解答】解：x+2y=-2①2x+y=2②，
①×2﹣②，得：3y＝﹣6，即y＝﹣2，
將y＝﹣2代入②，得：2x+（﹣2）＝2，
解得：x＝2，
所以方程組的解為x=2y=-2．
故答案為x=2y=-2．
【點評】本題考查的是解二元一次方程組，利用加減消元法把方程組化為一元方程是解答此題的關鍵．
12．（4分）（2021?廣東）把拋物線y＝2x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為 　y＝2x2+4x?。?br /> 【分析】可根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答．
【解答】解：把拋物線y＝2x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案為y＝2x2+4x．
【點評】本題考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．
13．（4分）（2021?廣東）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分別以點B、點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為 　4﹣π?。?br />
【分析】陰影部分的面積等于△ABC的面積減去空白處的面積即可得出答案．
【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC=22BC＝22
∵BE＝CE=12BC＝2，
∴陰影部分的面積S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF=12×22×22-45π×22360×2＝4﹣π，
故答案為4﹣π．
【點評】本題考查了扇形的面積公式，正確熟記扇形的面積公式是解此題的關鍵，題目比較好，難度適中．
14．（4分）（2021?廣東）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，則符合條件的一個方程為 　x2﹣2＝0（答案不唯一）?。?br /> 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解決問題即可，注意答案不唯一．
【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，
∴滿足條件分方程可以為：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案為：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
【點評】本題考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
15．（4分）（2021?廣東）若x+1x=136且0＜x＜1，則x2-1x2=　-6536?。?br /> 【分析】根據(jù)題意得到x-1x＜0，根據(jù)完全平方公式求出x-1x，根據(jù)平方差公式把原式變形，代入計算即可．
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴x＜1x，
∴x-1x＜0，
∵x+1x=136，
∴（x+1x）2=16936，即x2+2+1x2=16936，
∴x2﹣2+1x2=16936-4，
∴（x-1x）2=2536，
∴x-1x=-56，
∴x2-1x2=（x+1x）（x-1x）=136×（-56）=-6536，
故答案為：-6536．
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解題的關鍵．
16．（4分）（2021?廣東）如圖，在?ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA=45．過點D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE＝　?。?br />
【分析】過點B作BF⊥EC于點F，根據(jù)DE⊥AB，AD＝5，sinA=DEAD=45，可得DE＝4，根據(jù)勾股定理可得AE＝3，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，根據(jù)tan∠CEB＝tan∠DCE，可得EF＝3BF，再根據(jù)勾股定理可得BF的長，進而可得結果．
【解答】解：如圖，過點B作BF⊥EC于點F，

∵DE⊥AB，AD＝5，sinA=DEAD=45，
∴DE＝4，
∴AE=AD2-DE2=3，
在?ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE，
∴tan∠CEB＝tan∠DCE，
∴BFEF=DECD=412=13，
∴EF＝3BF，
在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理，得
EF2+BF2＝BE2，
∴（3BF）2+BF2＝92，
解得，BF=91010，
∴sin∠BCE=BFBC=910105=91050．
故答案為：91050．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識，得出EF＝3BF是解決本題的關鍵．
17．（4分）（2021?廣東）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．點D為平面上一個動點，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為 　5-2　．
【分析】根據(jù)∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圓O，連接OC，當O、D、C三點共線時，CD的值最小．將問題轉(zhuǎn)化為點圓最值．可證得△AOB為等腰直角三角形，OB＝OA=2，同樣可證△OBE也為等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的長為5，最后CD最小值為OC﹣OD=5-2．
【解答】解：如圖所示．
∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圓O，連接OC，
當O、D、C三點共線時，CD的值最?。?br /> ∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴AO＝BO＝sin45°×AB=2．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于點E，
∴△OBE為等腰直角三角形．
∴OE＝BE＝sin45°?OB＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△OCD中，
OC=OE2+CE2=1+4=5．
當O、D、C三點共線時，
CD最小為CD＝OC﹣OD=5-2．
故答案為：5-2．

【點評】本題考查了動點與隱圓條件下的點圓最值，涉及到點與圓的位置關系、勾股定理、圓周角定理等基礎知識點，難度較大，需要根據(jù)條件進行發(fā)散思維．解題關鍵在于確定出點D的運動軌跡為一段優(yōu)?。?br /> 三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題6分，共18分.
18．（6分）（2021?廣東）解不等式組2x-4＞3(x-2)4x＞x-72．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜2，
解不等式4x＞x-72，得：x＞﹣1，
則不等式組的解集為﹣1＜x＜2．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
19．（6分）（2021?廣東）某中學九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽．用簡單隨機抽樣的方法，從該年級全體600名學生中抽取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：

（1）求這20名學生成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學生人數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，計算眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）利用樣本估計總體思想求解可得．
【解答】解：（1）由列表中90分對應的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應該是90，
由于人數(shù)總和是20人為偶數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個和第11個數(shù)據(jù)都是90分，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應該是90，
平均數(shù)是：80×2+85×3+90×8+95×5+100×22+3+8+5+2=90.5；
（2）根據(jù)題意得：
600×8+5+220=450（人），
答：估計該年級獲優(yōu)秀等級的學生人數(shù)是450人．
【點評】本題考查中位數(shù)、用樣本估計總體、條形統(tǒng)計圖，解題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答問題．
20．（6分）（2021?廣東）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周長；
（2）若AD=13BD，求tan∠ABC的值．

【分析】（1）連接BD，設BC垂直平分線交BC于點F，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可；
（2）設AD＝x，則BD＝CD＝3x，AC＝4x，由勾股定理可表示出AB＝22x，從而可計算出tan∠ABC=ACAB=4x22x=2．
【解答】解：（1）如圖，連接BD，設BC垂直平分線交BC于點F，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周長為1．
（2）設AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB=BD2-AD2=(3x)2-x2=22x．
∴tan∠ABC=ACAB=4x22x=2．

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解直角三角形、勾股定理等知識，抓住正切的定義是解題關鍵．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分。
21．（8分）（2021?廣東）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y=4x圖象的一個交點為P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
【分析】（1）把P（1，m）代入反比例函數(shù)解析式即可求得；
（2）分兩種情況，通過證得三角形相似，求得BO的長度，進而即可求得k的值．
【解答】解：（1）∵P（1，m）為反比例函數(shù)y=4x圖象上一點，
∴代入得m=41=4，
∴m＝4；
（2）令y＝0，即kx+b＝0，
∴x=-bk，A（-bk，0），
令x＝0，y＝b，
∴B（0，b），
∵PA＝2AB，
由圖象得，可分為以下兩種情況：
①B在y軸正半軸時，b＞0，
∵PA＝2AB，
過P作PH⊥x軸交x軸于點H，
又B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O，
∴△A1OB1∽△A1HP，
∴A1B1A1P=A1OA1H=B1OPH=12，
∴B1O=12PH＝4×12=2，
∴b＝2，
∴A1O＝OH＝1，
∴|-bk|＝1，
∴k＝2；
②B在y軸負半軸時，b＜0，過P作PQ⊥y軸，
∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠AB2Q，
∴△A2OB2△PQB2，
∴A2B2PB2=13=A2OPQ=B2OB2Q，
∴AO＝|-bk|=13PO=13，B2O=13B2Q=12OQ＝|b|＝2，
∴b＝﹣2，
∴k＝6，
綜上，k＝2或k＝6．

【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得AO的長度的解題的關鍵．
22．（8分）（2021?廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．
（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；
（2）設豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．
【分析】（1）設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價（a﹣10）元，根據(jù)商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同列出方程，解方程即可；
（2）由題意得，當x＝50時，，每天可售出100盒，當豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65）時，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求利潤的最大值．
【解答】解：（1）設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價（a﹣10）元，
則8000a=6000a-10，
解得：a＝40，經(jīng)檢驗a＝40是方程的解，
∴豬肉每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元，
答：豬肉每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元；
（2）由題意得，當x＝50時，，每天可售出100盒，
當豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65）時，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40x[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70時，y隨x的增大而增大，
∴當x＝65時，y取最大值，最大值為：﹣2（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y關于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利潤為1750元．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用以及分式方程的解法，關鍵是根據(jù)題意列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關系式．
23．（8分）（2021?廣東）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．

【分析】延長BF交CD于H，連接EH．證明△EDH∽△BAE，推出EDAB=DHEA=12，推出DH=14，CH=34，由CH∥AB，推出CGGA=CHAB=34，可得結論．
【解答】解：延長BF交CD于H，連接EH．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1，
∴AC=AD2+CD2=12+12=2，
由翻折的性質(zhì)可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB，
∵點E是AD的中點，
∴AE＝DE＝EF，
∵∠D＝∠EFH＝90°，
在Rt△EHD和Rt△EHF中，
EH=EHED=EF，
∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），
∴∠DEH＝∠FEH，
∴∠HEB＝90°，
∴∠DEH+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△EDH∽△BAE，
∴EDAB=DHEA=12，
∴DH=14，CH=34，
∵CH∥AB，
∴CGGA=CHAB=34，
∴CG=37AC=327．

【點評】本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是求出DH，CH，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．
五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題10分，共20分。
24．（10分）（2021?廣東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求證：CF⊥FB；
（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積．

【分析】（1）先判斷出∠DFE＝2∠EFC，同理判斷出∠AFE＝2∠BFE，進而判斷出2∠BFE+2∠EFC＝180°，即可得出結論；
（2）取AD的中點O，過點O作OH⊥BC于H，先判斷出OH=12（AB+CD），進而判斷出OH=12AD，即可得出結論；
（3）先求出∠CFE＝60°，CE＝23，再判斷出四邊形CEMD是矩形，得出DM＝23，過點A作AN⊥EF于N，同理求出AN=233，即可得出結論．
【解答】（1）證明：∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴∠EFB＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，
∴∠AEF+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF；

（2）證明：如圖1，取AD的中點O，過點O作OH⊥BC于H，
∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四邊形ABCD是梯形，
∴點H是BC的中點，即OH是梯形ABCD的中位線，
∴OH=12（AB+CD），
∵AB＝AF，CD＝DF，
∴OH=12（AF+DF）=12AD，
∵OH⊥BC，
∴以AD為直徑的圓與BC相切；

（3）如圖2，
由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，
∵∠DFE＝120°，
∴∠CFE＝60°，
在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，
∴CF＝2EF＝4，
∴CE=CF2-EF2=23，
∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ECD＝∠CEF＝90°，
過點D作DM⊥EF，交EF的延長線于M，
∴∠M＝90°，
∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，
∴四邊形CEMD是矩形，
∴DM＝CE＝23，
過點A作AN⊥EF于N，
∴四邊形ABEN是矩形，
∴AN＝BE，
由（1）知，∠CFB＝90°，
∵∠CFE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝2，
∴BE＝EF?tan30°=233，
∴AN=233，
∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF
=12EF?AN+12EF?DM
=12EF（AN+DM）
=12×2×（233+23）
=833．


【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，切線的判定，銳角三角函數(shù)，矩形的判定，作出輔助線求出DM是解本題的關鍵．
25．（10分）（2021?廣東）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點（﹣1，0），且對任意實數(shù)x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C；點M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解之可得交點為（3，0），則二次函數(shù)必過（3，0），又過（﹣1，0），則把兩點坐標代入解析式可得y＝ax2﹣2ax﹣3a，又ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，整理可得ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，所以a＞0且△≤0，則可得a＝1，從而求得二次函數(shù)解析式；
（2）由題意可得A（3，0），C（0，﹣3），設點M坐標為（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0）．根據(jù)對角線的不同可分三類情況建立方程組討論求解即可：①AC為對角線則有xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN；②AM為對角線則有xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN；③AN為對角線則有xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM．
【解答】解：（1）不妨令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解得：x1＝x2＝3，
當x＝3時，4x﹣12＝2x2﹣8x+6＝0．
∴y＝ax2+bx+c必過（3，0），
又∵y＝ax2+bx+c過（﹣1，0），
∴a-b+c=09a+3b+c=0，解得：b=-2ac=-3a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
又∵ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，
∴ax2﹣2ax﹣3a﹣4x+12≥0，
整理得：ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，
∴a＞0且△≤0，
∴（2a+4）2﹣4a（12﹣3a）≤0，
∴（a﹣1）2≤0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．
∴該二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣3．
（2）令y＝x2﹣2x﹣3中y＝0，得x＝3，則A點坐標為（3，0）；
令x＝0，得y＝﹣3，則點C坐標為（0，﹣3）．
設點M坐標為（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0），
根據(jù)平行四邊對角線性質(zhì)以及中點坐標公式可得：
①當AC為對角線時，xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN，
即3+0=m+n0-3=m2-2m-3+0，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝1，即N1（1，0）．
②當AM為對角線時，xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN，
即3+m=0+n0+m2-2m-3=-3+0，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝5，即N2（5，0）．
③當AN為對角線時，xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM，
即3+n=0+m0+0=-3+m2-2m-3，解得：m1＝1+7，m2＝1-7，
∴n=7-2或﹣2-7，
∴N3（7-2，0），N4（﹣2-7，0）．
綜上所述，N點坐標為（1，0）或（5，0）或（7-2，0）或（﹣2-7，0）．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，平行四邊形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的的聯(lián)系，根的判別式，對于平行四邊形的存在性要注意分類討論求解．


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