?2019年江蘇省連云港市中考試題解析
（滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（2019江蘇連云港，1，3分）的絕對(duì)值是　　
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，即，故選C．
【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值
2. （2019江蘇連云港，2，3分）要使有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：依題意得，，故選A．
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件

3. （2019江蘇連云港，3，3分）計(jì)算下列代數(shù)式，結(jié)果為的是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A、與不是同類(lèi)項(xiàng)，故不能合并同類(lèi)項(xiàng)，故選項(xiàng)不合題意；
B、，故選項(xiàng)不合題意；
C、與不是同類(lèi)項(xiàng)，故不能合并同類(lèi)項(xiàng)，故選項(xiàng)不合題意；
D、，故選項(xiàng)符合題意，
故選D ．
【知識(shí)點(diǎn)】合并同類(lèi)項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法

4. （2019江蘇連云港，4，3分）一個(gè)幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，則該幾何體的底面是　　

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，該幾何體為四棱錐，所以它的底面是四邊形，故選B．
【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的展開(kāi)圖

5. （2019江蘇連云港，5，3分）一組數(shù)據(jù)3，2，4，2，5的中位數(shù)和眾數(shù)分別是　　
A．3，2 B．3，3 C．4，2 D．4，3
【答案】A
【解析】這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：2，2，3，4，5，
∴中位數(shù)為：3，眾數(shù)為：2，
故選A．
【知識(shí)點(diǎn)】中位數(shù)；眾數(shù)

6.（2019江蘇連云港，6，3分）在如圖所示的象棋盤(pán)（各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均相等）中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”應(yīng)落在下列哪個(gè)位置處，能使“馬”、“車(chē)”、“炮”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形與“帥”、“相”、“兵”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似　　

A．①處 B．②處 C．③處 D．④處
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由網(wǎng)格得，帥”、“相”、“兵”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形的三邊的長(zhǎng)分別為2、、；
“車(chē)”、“炮”之間的距離為1，“炮”②之間的距離為，“車(chē)”②之間的距離為，
∵，
∴馬應(yīng)該落在②的位置，
故選B．
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

7. （2019江蘇連云港，7，3分）如圖，利用一個(gè)直角墻角修建一個(gè)梯形儲(chǔ)料場(chǎng)，其中．若新建墻與總長(zhǎng)為，則該梯形儲(chǔ)料場(chǎng)的最大面積是　　

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，
則四邊形為矩形，，，
則，，
在中，∵，
∴，
∴，，
∴梯形S面積

，

∴當(dāng)時(shí)，．
即長(zhǎng)為時(shí)，使梯形儲(chǔ)料場(chǎng)的面積最大為，
故選C．

【知識(shí)點(diǎn)】梯形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；含角的直角三角形的性質(zhì)；勾股定理；二次函數(shù)的最值.

8. （2019江蘇連云港，8，3分）如圖，在矩形中，．將矩形對(duì)折，得到折痕；沿著折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為；再沿著折疊，使得與重合，折痕為，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．下列結(jié)論：①是直角三角形；②點(diǎn)、、不在同一條直線(xiàn)上；③；④；⑤點(diǎn)是外接圓的圓心，其中正確的個(gè)數(shù)為　　

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】B
【解析】解：∵沿著折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
∴，
∵再沿著折疊，使得與重合，折痕為，
，
，
，
是直角三角形；故①正確；
∵沿著折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
，
∵再沿著折疊，使得與重合，折痕為，
，
，
∴點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，故②錯(cuò)誤；
，
∴設(shè)，則，
∵將矩形對(duì)折，得到折痕；
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
，故③錯(cuò)誤；
，
，
∴，
，故④，
，，，
，
，
，
，
，
∵，
∴點(diǎn)是外接圓的圓心，故⑤正確；
故選．

【知識(shí)點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；三角形的外接圓與外心；矩形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9.（2019江蘇連云港，9，3分）64的立方根為 ．
【答案】4
【解析】64的立方根是4．
【知識(shí)點(diǎn)】立方根

10. （2019江蘇連云港，10，3分）計(jì)算 ．
【答案】
【解析】解：．
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式

11. （2019江蘇連云港，11，3分）連鎮(zhèn)鐵路正線(xiàn)工程的投資總額約為46400000000元，數(shù)據(jù)“46400000000”用科學(xué)記數(shù)法可表示為 ．
【答案】
【解析】．
【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)

12. （2019江蘇連云港，12，3分）一圓錐的底面半徑為2，母線(xiàn)長(zhǎng)3，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
【答案】
【解析】該圓錐的側(cè)面積．
【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的計(jì)算

13. （2019江蘇連云港，13，3分）如圖，點(diǎn)、、在上，，，則的半徑為 ．

【答案】6
【解析】解：，又，
是等邊三角形
，
故答案為6．

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理


14. （2019江蘇連云港，14，3分）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值等于 ．
【答案】2
【解析】解：根據(jù)題意得：
△，
整理得：，
，
方程是一元二次方程，
，
等式兩邊同時(shí)除以得：，
則，
故答案為：2．
【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式

15. （2019江蘇連云港，15，3分）如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時(shí)針?lè)较颍▓D中箭頭方向）標(biāo)注各等分點(diǎn)的序號(hào)0、1、2、3、4、5、6、7、8，將不同邊上的序號(hào)和為8的兩點(diǎn)依次連接起來(lái)，這樣就建立了“三角形”坐標(biāo)系．在建立的“三角形”坐標(biāo)系內(nèi)，每一點(diǎn)的坐標(biāo)用過(guò)這一點(diǎn)且平行（或重合）于原三角形三條邊的直線(xiàn)與三邊交點(diǎn)的序號(hào)來(lái)表示（水平方向開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较颍?，如點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為，2，，點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為，1，，按此方法，則點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為 ．

【答案】，4，．
【解析】解：根據(jù)題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為，4，，
故答案為：，4，．
【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；規(guī)律型；點(diǎn)的坐標(biāo)

16.（2019江蘇連云港，16，3分）如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心作與直線(xiàn)相切，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的最大值是 ．

【答案】3
【解析】解：如圖，
過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，
，，
，
，
，
，
最大時(shí)，最大，
四邊形是矩形，
，，
過(guò)點(diǎn)作于，交于，并延長(zhǎng)交于，
是的切線(xiàn)，
，
在中，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
在中，，
而，
最大時(shí)，最大，
最大時(shí)，最大，
，
即：最大時(shí)，最大，
延長(zhǎng)交于，此時(shí)，最大，
，
過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，
最大時(shí)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，
即：最大，
在△中，，
，
最大值為，
故答案為3．

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；切線(xiàn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

三、解答題（本大題共11小題，滿(mǎn)分102分，各小題都必須寫(xiě)出解答過(guò)程）
17. （2019江蘇連云港，17，6分）計(jì)算．
【思路分析】分別根據(jù)有理數(shù)乘法的法則、二次根式的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)即可求解．
【解析】解：原式．
【知識(shí)點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；數(shù)的運(yùn)算

18. （2019江蘇連云港，18，6分）解不等式組
【思路分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解．
【解析】解： ，
由①得，，
由②得，，
所以，不等式組的解集是．
【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次不等式組
19.（2019江蘇連云港，19，6分）化簡(jiǎn)．
【思路分析】先做括號(hào)里面，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，計(jì)算得結(jié)果．
【解題過(guò)程】解：原式


．
【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算

20. （2019江蘇連云港，20，8分）為了解某地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時(shí)長(zhǎng)的情況，隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，將閱讀時(shí)長(zhǎng)分為四類(lèi)：2小時(shí)以?xún)?nèi)，小時(shí)（含2小時(shí)），小時(shí)（含4小時(shí)），6小時(shí)及以上，并繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

（1）本次調(diào)查共隨機(jī)抽取了　　名中學(xué)生，其中課外閱讀時(shí)長(zhǎng)“小時(shí)”的有　　人；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，課外閱讀時(shí)長(zhǎng)“小時(shí)”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為　??；
（3）若該地區(qū)共有20000名中學(xué)生，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時(shí)長(zhǎng)不少于4小時(shí)的人數(shù)．
【思路分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以求得本次調(diào)查的學(xué)生數(shù)和課外閱讀時(shí)長(zhǎng)“小時(shí)”的人數(shù)；
（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以求得扇形統(tǒng)計(jì)圖中，課外閱讀時(shí)長(zhǎng)“小時(shí)”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；
（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時(shí)長(zhǎng)不少于4小時(shí)的人數(shù)．
【解題過(guò)程】解：（1）本次調(diào)查共隨機(jī)抽取了：（名中學(xué)生，
其中課外閱讀時(shí)長(zhǎng)“小時(shí)”的有：（人，
故答案為：200，40；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，課外閱讀時(shí)長(zhǎng)“小時(shí)”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為：，
故答案為：144；
（3）（人，
答：該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時(shí)長(zhǎng)不少于4小時(shí)的有13000人．
【知識(shí)點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖

21. （2019江蘇連云港，21，10分）現(xiàn)有、、三個(gè)不透明的盒子，盒中裝有紅球、黃球、藍(lán)球各1個(gè)，盒中裝有紅球、黃球各1個(gè)，盒中裝有紅球、藍(lán)球各1個(gè)，這些球除顏色外都相同．現(xiàn)分別從、、三個(gè)盒子中任意摸出一個(gè)球．
（1）從盒中摸出紅球的概率為　?。?br /> （2）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率．
【思路分析】（1）從盒中摸出紅球的結(jié)果有一個(gè)，由概率公式即可得出結(jié)果；
（2）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的結(jié)果有10種，由概率公式即可得出結(jié)果．
【解題過(guò)程】解：（1）從盒中摸出紅球的概率為；
故答案為：；
（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如圖所示：
共有12種等可能的結(jié)果，摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的結(jié)果有10種，
摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率為．


【知識(shí)點(diǎn)】概率

22. （2019江蘇連云港，22，10分）如圖，在中，．將沿著方向平移得到，其中點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)．
（1）求證：為等腰三角形；
（2）連接、、，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形為矩形，并說(shuō)明理由．


【思路分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平移得出，求出，再求出即可；
（2）求出四邊形是平行四邊形，再求出四邊形是矩形即可．
【解題過(guò)程】解：（1）證明：，
，
平移得到，
，
，
，
，
即為等腰三角形；
（2）解：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形，

理由是：，為的中點(diǎn)，
，，
平移得到，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形．

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定；平行四邊形的判定；平移的性質(zhì)

23. （2019江蘇連云港，23，10分）某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共2500噸，每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)0.3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)0.4萬(wàn)元．設(shè)該工廠生產(chǎn)了甲產(chǎn)品（噸，生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品獲得的總利潤(rùn)為（萬(wàn)元）．
（1）求與之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要原料0.25噸，每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要原料0.5噸．受市場(chǎng)影響，該廠能獲得的原料至多為1000噸，其它原料充足．求出該工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為多少?lài)崟r(shí)，能獲得最大利潤(rùn)．

【思路分析】1）利潤(rùn)（元生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤(rùn)生產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤(rùn)；而生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤(rùn)生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品的利潤(rùn)0.3萬(wàn)元甲產(chǎn)品的噸數(shù)，即萬(wàn)元，生產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤(rùn)生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品的利潤(rùn)0.4萬(wàn)元乙產(chǎn)品的噸數(shù)，即萬(wàn)元．
（2）由（1）得是的一次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的增減性，結(jié)合自變量的取值范圍再確定當(dāng)取何值時(shí)，利潤(rùn)最大．

【解題過(guò)程】解：（1），
因此與之間的函數(shù)表達(dá)式為：．
（2）由題意得：

又
隨的增大而減少
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
因此，生產(chǎn)甲產(chǎn)品1000噸，乙產(chǎn)品1500噸時(shí)，利潤(rùn)最大．
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用

24. （2019江蘇連云港，24，10分）如圖，海上觀察哨所位于觀察哨所正北方向，距離為25海里．在某時(shí)刻，哨所與哨所同時(shí)發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置位于哨所北偏東的方向上，位于哨所南偏東的方向上．
（1）求觀察哨所與走私船所在的位置的距離；
（2）若觀察哨所發(fā)現(xiàn)走私船從處以16海里小時(shí)的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東的方向前去攔截，求緝私艇的速度為多少時(shí)，恰好在處成功攔截．（結(jié)果保留根號(hào)）
（參考數(shù)據(jù)：，，，


【思路分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再解，利用正弦函數(shù)定義得出即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易知，、、在一條直線(xiàn)上．解，求出、．解中，求出、，得出．設(shè)緝私艇的速度為海里小時(shí)，根據(jù)走私船行駛所用的時(shí)間等于緝私艇行駛所用的時(shí)間列出方程，解方程即可．
【解題過(guò)程】解：（1）在中，．
在中，，
（海里）．
答：觀察哨所與走私船所在的位置的距離為15海里；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意易知，、、在一條直線(xiàn)上．
在中，，
．
在中，，
，
，
．
設(shè)緝私艇的速度為海里小時(shí)，則有，
解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
答：當(dāng)緝私艇的速度為海里小時(shí)時(shí)，恰好在處成功攔截．


【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題

25. （2019江蘇連云港，25，10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，與的面積比為．
（1）　　，　　；
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，其中點(diǎn)落在軸負(fù)半軸上，判斷點(diǎn)是否落在函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．

【思路分析】（1）將代入可求出的值；將代入可求出的值；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，由與的面積比為，可推出，由點(diǎn)的坐標(biāo)可知，進(jìn)一步求出，即為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，把代入中，可求出點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，由題意可知，，由旋轉(zhuǎn)可知，可求出，在△中，通過(guò)勾股定理求出的長(zhǎng)度，即可寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其坐標(biāo)代入可知沒(méi)有落在函數(shù)的圖象上．
【解題過(guò)程】解：（1）將代入，
得，，
，
將代入，
得，，
，
故答案為：，5；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，
，
，
又點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
把代入中，
得，，
；

（3）由題意可知，，
如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，
，
，
即，
，
在△中，
，
的坐標(biāo)為，，
，
點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上．



【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求解析式； 三角形的面積；反比例函數(shù)的性質(zhì)；勾股定理

26.（2019江蘇連云港，26，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)、分別是拋物線(xiàn)、上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線(xiàn)上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平分．若，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【思路分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式便可；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況討論：為平行四邊形的一條邊，為平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)，用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中，列出方程求得解便可；
（3）當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，拋物線(xiàn)不存在點(diǎn)使得平分，當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)在的上方，點(diǎn)在的下方，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，證明，由相似比得到，進(jìn)而得的值，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，移出的方程，求得便可．
【解題過(guò)程】解：（1）將代入，得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將，代入，得
，解得，
拋物線(xiàn)；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
第一種情況：為平行四邊形的一條邊，
①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將代入，得
，
解得，或，
因?yàn)闀r(shí)，點(diǎn)與重合，不符合題意，所以舍去，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將代入，得
，得
，
解得，，或，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，；
第二種情況：當(dāng)為平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)時(shí)，
由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將代入，得
，
解得，或，
因?yàn)闀r(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，所以舍去，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，或；
（3）當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，拋物線(xiàn)不存在點(diǎn)使得平分，
當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)在的上方，點(diǎn)在的下方，
過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為、，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則有，
由平分，得，則，
，
，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，
所以有，
整理得，，

在中，
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
若，則需，
所以，
所以，
解得，，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．
【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)與判定；角平分線(xiàn)的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題探究


27. （2019江蘇連云港，27，14分）問(wèn)題情境：如圖1，在正方形中，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），垂直于的一條直線(xiàn)分別交、、于點(diǎn)、、．判斷線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
問(wèn)題探究：在“問(wèn)題情境”的基礎(chǔ)上．
（1）如圖2，若垂足恰好為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求的度數(shù)；
（2）如圖3，當(dāng)垂足在正方形的對(duì)角線(xiàn)上時(shí)，連接，將沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若正方形的邊長(zhǎng)為4，的中點(diǎn)為，求的最小值．
問(wèn)題拓展：如圖4，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)、分別為邊、上的點(diǎn)，將正方形沿著翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)．分別過(guò)點(diǎn)、作，，垂足分別為、．若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

【思路分析】問(wèn)題情境：過(guò)點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，證出四邊形為平行四邊形，得出，證明得出，即可得出結(jié)論；
問(wèn)題探究：（1）連接，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，證出是等腰直角三角形，，，證明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出結(jié)論；
（2）連接交于點(diǎn)，則的直角頂點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合；設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)的落點(diǎn)為，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，證明得出，證明得出，，由正方形的性質(zhì)得出，易得出，得出，，得出，故，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)；過(guò)點(diǎn)作，垂足為，即可得出結(jié)果；
問(wèn)題拓展：延長(zhǎng)交于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，延長(zhǎng)交于，則，，得出，由勾股定理得出，得出，證明，得出，，證明，得出，由折疊的性質(zhì)得：，，，求出，，證明，得出，，證明，得出，得出．
【解題過(guò)程】問(wèn)題情境：
解：線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：；理由如下：
四邊形是正方形，
，，，
過(guò)點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，如圖1所示：
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
；
問(wèn)題探究：
解：（1）連接，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，如圖2所示：
四邊形是正方形，
四邊形為矩形，
，，，
是正方形的對(duì)角線(xiàn)，
，
是等腰直角三角形，，，
是的垂直平分線(xiàn)，
，
在和中，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即；
（2）連接交于點(diǎn)，如圖3所示：
則的直角頂點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合；設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)的落點(diǎn)為，
，，
，
當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，
點(diǎn)在上，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
由翻折性質(zhì)得：，
在和中，，
，
，，
是正方形的對(duì)角線(xiàn)，
，
易得，
，
，
，故，
點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)；
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，則的最小值為；
問(wèn)題拓展：
解：延長(zhǎng)交于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，延長(zhǎng)交于，如圖
則，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
由折疊的性質(zhì)得：，，，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
，，
，
，
，
，即，
解得：，
．





【知識(shí)點(diǎn)】矩形 菱形 正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；相似三角形的判定與性質(zhì)



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