?2021-2022學(xué)年安徽省宣城市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．
1．（4分）已知點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2）在拋物線y＝（x+1）2+2上，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
2．（4分）下列各組的四條線段是成比例線段的是（　　）
A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a(chǎn)＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a(chǎn)＝2，b＝，c＝2，d＝
3．（4分）函數(shù)y＝的圖象中，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而增大，則k可能為（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
4．（4分）如圖，某停車場(chǎng)入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A'B'的位置，已知AO的長為4米，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA'＝α，則欄桿A端升高的高度為（　　）

A．米 B．4sinα米 C．米 D．cosα米
5．（4分）以下有關(guān)拋物線y＝﹣x2+4x﹣3的結(jié)論，正確的是（　?。?br /> A．開口向上
B．與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）
C．與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)
D．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1）
6．（4分）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
7．（4分）△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示（每個(gè)小正方形邊長為1），AD⊥BC于D，下列四個(gè)選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
8．（4分）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個(gè)月投放a輛單車，計(jì)劃第三個(gè)月投放單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（　?。?br /> A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
9．（4分）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則C，D之間的距離為（　?。?br />
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
10．（4分）正方形ABCD中，AB＝4，P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為射線AD上一點(diǎn)，若AP＝PF，則△APF的面積最大值為（　?。?br />
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．（5分）若2x﹣5y＝0，且xy≠0，則＝　 ?。?br /> 12．（5分）如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩外斜坡的坡比i＝l：1，兩個(gè)坡角的和為75．，則壩內(nèi)斜坡的坡比是 　 ?。?br />
13．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過?OABC的頂點(diǎn)C，則k＝　 ?。?br />
14．（5分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F在邊AB上，且AF：FB＝1：2，AC與DF交于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)AB＝4時(shí)，AN＝　 ?。?br /> （2）S△ANF：S四邊形CNFB＝　 　．（S表示面積）

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．（8分）計(jì)算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°
16．（8分）已知線段a，b，c滿足，且a+2b+c＝26．求線段a，b，c的長．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．（8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)．
（1）利用圖中的條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出使y1＜y2的自變量x取值范圍．

18．（8分）如圖，在6×8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長均為1，原點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)．
（1）以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A'B'C'，使△A'B'C'與△ABC位似，且位似比為1：2；
（2）寫出點(diǎn)A'、點(diǎn)B'、點(diǎn)C'的坐標(biāo)．

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．（10分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E為直角邊AC的中點(diǎn)，過D，E作直線交AB的延長線于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD長；
（2）求證：AB?AF＝AC?DF．

20．（10分）跳臺(tái)滑雪是北京冬奧會(huì)的項(xiàng)目之一．某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖如圖并建立平面直角坐標(biāo)系．拋物線C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)O正上方4米處的A點(diǎn)滑出（即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）），滑出后沿一段拋物線C2：y＝﹣x2+bx+c運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到距A處的水平距離為4米時(shí)，距圖中水平線的高度為8米（即經(jīng)過點(diǎn)（4，8）），求拋物線C2的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米？

六、（本題滿分12分）
21．（12分）如圖1為放置在水平桌面l上的臺(tái)燈，底座的高AB為5cm，長度均為20cm的連桿BC，CD與AB始終在同一平面上．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如圖2，求連桿端點(diǎn)D離桌面l的高度DE．
（2）將（1）中的連桿CD再繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BCD＝165°，如圖3，問此時(shí)連桿端點(diǎn)D離桌面l的高度是增加還是減少？增加或減少了多少？（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）

七、（本題滿分12分）
22．（12分）2022年冬奧會(huì)即將在北京召開，某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)了一批以冬奧會(huì)為主題的文化衫進(jìn)行銷售，文化衫的進(jìn)價(jià)為每件30元，當(dāng)銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每天可售出20件，每銷售一件需繳納網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)管理費(fèi)2元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)每降低1元，則每天可多售出2件（銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)），若設(shè)這款文化衫的銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量為y（件）．
（1）求每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為多少元？
八、（本題滿分14分）
23．（14分）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：△ABF≌△EAD；
（2）如圖2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的長；
（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)M，求的值．


2021-2022學(xué)年安徽省宣城市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．
1．（4分）已知點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2）在拋物線y＝（x+1）2+2上，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A，B與拋物線對(duì)稱軸的距離大小求解．
【解答】解：∵y＝（x+1）2+2，
∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)為拋物線最低點(diǎn)，坐標(biāo)為（﹣1，2），
∵2﹣（﹣1）＞1﹣（﹣1），
∴y2＞y1＞2．
故選：D．
2．（4分）下列各組的四條線段是成比例線段的是（　　）
A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a(chǎn)＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a(chǎn)＝2，b＝，c＝2，d＝
【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.4×10≠5×6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.1×4≠2×3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C.×3≠2×，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D.2×＝，故本選項(xiàng)正確；
故選：D．
3．（4分）函數(shù)y＝的圖象中，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而增大，則k可能為（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象中，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而增大，
∴k+1＜0，
解得k＜﹣1．
觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意．
故選：A．
4．（4分）如圖，某停車場(chǎng)入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A'B'的位置，已知AO的長為4米，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA'＝α，則欄桿A端升高的高度為（　?。?br />
A．米 B．4sinα米 C．米 D．cosα米
【分析】要求欄桿A端升高的高度，所以想到過點(diǎn)A′作AC⊥AB，垂足為C，然后在Rt△A′CO中進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：過點(diǎn)A′作AC⊥AB，垂足為C，

由題意可得：
OA＝OA′＝4米，
在Rt△A′CO中，A′O＝4米，∠A′OA＝α，
∴A′C＝A′Osinα＝4sinα米，
∴欄桿A端升高的高度為：4sinα米，
故選：B．
5．（4分）以下有關(guān)拋物線y＝﹣x2+4x﹣3的結(jié)論，正確的是（　　）
A．開口向上
B．與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）
C．與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)
D．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1）
【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向及與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，將解析式化為頂點(diǎn)式可得拋物與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3，
∴拋物線開口向下，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）．
∴選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤．
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴拋物線頂點(diǎn)（2，1）在x軸上方，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．
故選：D．
6．（4分）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．
【解答】解：根據(jù)題意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，
∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，
A、三邊之比為1：：2，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；
B、三邊之比為：：3，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；
C、三邊之比為1：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似；
D、三邊之比為2：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．
故選：C．
7．（4分）△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示（每個(gè)小正方形邊長為1），AD⊥BC于D，下列四個(gè)選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
【分析】觀察圖形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC＝，利用銳角三角函數(shù)一一計(jì)算即可判斷．
【解答】解：觀察圖象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC＝，
∴sinα＝cosα＝，故A正確，
tanC＝＝2，故B正確，
tanα＝1，故D正確，
∵sinβ＝＝，cosβ＝，
∴sinβ≠cosβ，故C錯(cuò)誤．
故選：C．

8．（4分）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個(gè)月投放a輛單車，計(jì)劃第三個(gè)月投放單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（　?。?br /> A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，然后根據(jù)已知條件可得出方程．
【解答】解：設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，
依題意得第三個(gè)月投放單車a（1+x）2輛，
則y＝a（1+x）2．
故選：B．
9．（4分）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則C，D之間的距離為（　?。?br />
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
【分析】根據(jù)黃金分割的概念和黃金比值求出AC＝BD＝40﹣40，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，
∴AC＝BD＝80×＝40﹣40，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80﹣160，
故選：D．
10．（4分）正方形ABCD中，AB＝4，P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為射線AD上一點(diǎn)，若AP＝PF，則△APF的面積最大值為（　?。?br />
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】作PM⊥AD與M，根據(jù)正方形的性質(zhì)易得PM＝DM，設(shè)PM＝DM＝x，則AM＝4﹣x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面積公式得出S△APF＝×2（4﹣x）?x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【解答】解：作PM⊥AD與M，
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
設(shè)PM＝DM＝x，則AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF＝AF?PM，
∴S△APF＝×2（4﹣x）?x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，S△APF有最大值4，
故選：C．

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．（5分）若2x﹣5y＝0，且xy≠0，則＝　?。?br /> 【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵2x﹣5y＝0，
∴2x＝5y，
∴＝，
∴＝＝，
故答案為：．
12．（5分）如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩外斜坡的坡比i＝l：1，兩個(gè)坡角的和為75．，則壩內(nèi)斜坡的坡比是 　?。?br />
【分析】根據(jù)壩外斜坡的坡比i＝l：1，可得壩外的坡角∠B＝45°，然后根據(jù)兩個(gè)坡角的和為75°，求得∠D的度數(shù)，繼而可求得坡比．
【解答】解：∵壩外斜坡的坡比i＝l：1，
∴tan∠B＝1，
則∠B＝45°，
∵兩個(gè)坡角的和為75°，
∴∠D＝75°﹣45°＝30°，
則壩內(nèi)斜坡的坡比為：tan∠D＝tan30°＝．
故答案為：．

13．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過?OABC的頂點(diǎn)C，則k＝　﹣2?。?br />
【分析】連接OB，AC，根據(jù)O，B的坐標(biāo)易求P的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分即可求出則C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得k的值．
【解答】解：連接OB，AC，交點(diǎn)為P，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AP＝CP，OP＝BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐標(biāo)（，1），
∵A（3，1），
∴C的坐標(biāo)為（﹣2，1），
∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
方法二：
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA∥BC，OC∥AB，
∵O（0，0），A（3，1）．
∴A向下平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位與O重合，
∴B向下平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位與C重合，
∵B（1，2），
∴C（﹣2，1），
∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
故答案為：﹣2．

14．（5分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F在邊AB上，且AF：FB＝1：2，AC與DF交于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)AB＝4時(shí)，AN＝　　．
（2）S△ANF：S四邊形CNFB＝　1：11?。⊿表示面積）

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB∥CD，從而推出△AFN∽△CDN，利用相似三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形根據(jù)線段之間的和差關(guān)系推出＝，進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)、線段之間的和差關(guān)系和比例關(guān)系求解即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出S△CDN＝9S△AFN，根據(jù)線段的比例關(guān)系推出S△ADN＝3S△AFN，從而結(jié)合圖形推出S四邊形CNFB＝11S△AFN，進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△AFN∽△CDN，
∴，
∵AF：FB＝1：2，AF+BF＝AB，
∴AF：AB＝1：3，
∴＝，
∵AB＝4，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴AC＝4，
又AN+CN＝AC，
∴AN＝AC＝，
故答案為：；
（2）由（1）得△AFN∽△CDN，且AN：CN＝1：3，
∴S△AFN：S△CDN＝1：9，
∴S△CDN＝9S△AFN，
又FN：DN＝1：3，
∴S△AFN：S△ADN＝1：3，
∴S△ADN＝3S△AFN，
∴S△ABC＝S△ADC＝S△CDN+S△ADN＝12S△AFN，
∴S四邊形CNFB＝S△ABC﹣S△AFN＝11S△AFN，
∴S△ANF：S四邊形CNFB＝1：11，
故答案為：1：11．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．（8分）計(jì)算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°
【分析】首先代入特殊角的三角函數(shù)值，然后再計(jì)算乘法，后算加減即可．
【解答】解：原式＝1+4××﹣×，
＝1+﹣1，
＝．
16．（8分）已知線段a，b，c滿足，且a+2b+c＝26．求線段a，b，c的長．
【分析】設(shè)，然后用k表示出a、b、c，再代入a+2b+c＝26求解得到k，即可得到a、b、c的值．
【解答】解：設(shè)，
則a＝3k，b＝2k，c＝6k，
∵a+2b+c＝26
∴3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
∴a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．（8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)．
（1）利用圖中的條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出使y1＜y2的自變量x取值范圍．

【分析】（1）通過讀圖，可得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法確定兩個(gè)函數(shù)的解析式．
（2）結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象和A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，找出當(dāng)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方時(shí)，自變量x的取值范圍即可．
【解答】解：（1）由圖象知反比例函數(shù)y2＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），
∴1＝，
∴m＝2，
∴反比例函數(shù)解析式為；y2＝；
∵反比例函數(shù)y2＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（﹣1，n），
∴n＝﹣2，
∴B（﹣1，﹣2），
由圖象知一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），B（﹣1，﹣2），
∴，解得，
∴一次函數(shù)解析式為y1＝x﹣1．

（2）由圖象可得使y1＜y2的自變量x取值范圍是x＜﹣1或0＜x＜2．
18．（8分）如圖，在6×8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長均為1，原點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)．
（1）以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A'B'C'，使△A'B'C'與△ABC位似，且位似比為1：2；
（2）寫出點(diǎn)A'、點(diǎn)B'、點(diǎn)C'的坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)位似變換的性質(zhì)畫出圖形即可；
（2）根據(jù)A′，B′，C′的位置寫出坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求；
（2）A′（﹣1，0），B′（2，0），C′（1，2）；

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．（10分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E為直角邊AC的中點(diǎn)，過D，E作直線交AB的延長線于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD長；
（2）求證：AB?AF＝AC?DF．

【分析】（1）由勾股定理得BC＝10，再證明△ABD∽△CBA，由此可得BD＝3.6；
（2）因?yàn)镈E是AC邊上的中線，所以DE＝CE＝AE，所以△FDB∽△FAD，所以有，又因?yàn)椋约碅B?AF＝AC?DF．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAB＝∠ADB，
∵∠B＝∠B，
∴△CBA∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝3.6；

（2）證明：由（1）知：BD：AD＝AB：AC①，
又∵E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC，
∴ED＝AE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝∠FAD＝∠BDF，
又∵∠F為公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD＝DF：AF②，
由①②得，AB：AC＝DF：AF，
∴AB?AF＝AC?DF．
20．（10分）跳臺(tái)滑雪是北京冬奧會(huì)的項(xiàng)目之一．某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖如圖并建立平面直角坐標(biāo)系．拋物線C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)O正上方4米處的A點(diǎn)滑出（即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）），滑出后沿一段拋物線C2：y＝﹣x2+bx+c運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到距A處的水平距離為4米時(shí)，距圖中水平線的高度為8米（即經(jīng)過點(diǎn)（4，8）），求拋物線C2的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米？

【分析】（1）根據(jù)題意將點(diǎn)（0，4）和（4，8）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可寫出C2的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為m米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，解出m即可．
【解答】解：（1）由題意可知拋物線C2：y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)（0，4）和（4，8），將其代入得：
，
解得：，
∴拋物線C2的函數(shù)解析式為：y＝﹣x2+x+4；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為m米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得：
：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為12米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米．
六、（本題滿分12分）
21．（12分）如圖1為放置在水平桌面l上的臺(tái)燈，底座的高AB為5cm，長度均為20cm的連桿BC，CD與AB始終在同一平面上．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如圖2，求連桿端點(diǎn)D離桌面l的高度DE．
（2）將（1）中的連桿CD再繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BCD＝165°，如圖3，問此時(shí)連桿端點(diǎn)D離桌面l的高度是增加還是減少？增加或減少了多少？（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）

【分析】（1）如圖2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解決問題．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．則四邊形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖2中，作BO⊥DE于O．

∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴四邊形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，
∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，
∴OD＝BD?sin60°＝20（cm），
∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝20+5≈39.6（cm）．

（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．則四邊形PCHG是矩形，

∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝30°，
∵∠BCD＝165°，
∴∠DCP＝45°，
∴CH＝BCsin60°＝10（cm），DP＝CDsin45°＝10（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10+10+5）（cm），
∴下降高度：DE﹣DF＝20+5﹣10﹣10﹣5＝10﹣10≈3.2（cm）．
七、（本題滿分12分）
22．（12分）2022年冬奧會(huì)即將在北京召開，某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)了一批以冬奧會(huì)為主題的文化衫進(jìn)行銷售，文化衫的進(jìn)價(jià)為每件30元，當(dāng)銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每天可售出20件，每銷售一件需繳納網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)管理費(fèi)2元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)每降低1元，則每天可多售出2件（銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)），若設(shè)這款文化衫的銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量為y（件）．
（1）求每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為多少元？
【分析】（1）根據(jù)“銷售單價(jià)每降低1元，則每天可多售出2件”列函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)總利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值．
【解答】解：（1）由題意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理，得：y＝﹣2x+160，
∴每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+160（30≤x＜70）；
（2）設(shè)銷售所得利潤為w，由題意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理，得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝56時(shí)，w取最大值為1152，
∴當(dāng)銷售單價(jià)為56元時(shí)，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為1152元．
八、（本題滿分14分）
23．（14分）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：△ABF≌△EAD；
（2）如圖2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的長；
（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)M，求的值．

【分析】（1）先根據(jù)題意得出AB＝AE，DE＝DC，再證四邊形ADCF是平行四邊形，得出AF＝CD，進(jìn)而得出AF＝DE，再由平行線性質(zhì)得∠AED＝∠BAF，進(jìn)而證得結(jié)論；
（2）先證明△EAD∽△CFE，得＝＝，根據(jù)四邊形ADCF是平行四邊形，得AD＝CF，AF＝CD，進(jìn)而可得＝＝，求得CF＝6，CE＝，再利用△ABE∽△DEC，求得答案；
（3）如圖3，延長BM、ED交于點(diǎn)G，先證明△ABE∽△DCE，得出＝＝，設(shè)CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，則AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再利用△ABF∽△EGF，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如圖1，∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠BCD，
∴DE＝DC，
∵CF∥AD，AE∥CD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）方法①：∵CF∥AD，
∴∠EAD＝∠CFE，
∵∠ECF＝∠AED，
∴△EAD∽△CFE，
∴＝＝，
由（1）知：四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AD＝CF，AF＝CD，
∵AB＝9，CD＝5，
∴AE＝9，DE＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝9﹣5＝4，
∴＝＝，
∴CF2＝4×9＝36，即CF＝6，
∴CE＝，
∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
方法②：由（1）知△ABF≌△EAD，
∴∠ABF＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠CFE，
∴∠ABF＝∠CFE，
∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，
∴∠EBF＝∠ECF，
∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，
∴∠EBF＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
（3）如圖3，延長BM、ED交于點(diǎn)G，
∵△ABE，△DCE均為等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
設(shè)CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，
則AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，
∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），
∵AB∥DG，
∴∠ABG＝∠G
∵AD的中點(diǎn)M，
∴AM＝DM，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴△AMB≌△DMG（AAS），
∴DG＝AB＝ax，
∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），
∵AB∥DG（即AB∥EG），
∴△ABF∽△EGF，
∴＝，即＝，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），
∴＝x＝1+．





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