課時(shí)作業(yè)24　正弦定理、余弦定理一、選擇題1．△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，則a＝(　A　)A．2  B.     C．3  D.解析：由題意可得c＝a＋2，b＝3，cosA＝，由余弦定理，得cosA＝·，代入數(shù)據(jù)，得＝，解方程可得a＝2.2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝b，A＝2B，則cosB＝(　B　)A.        B.    C.        D.解析：由正弦定理，得sinA＝sinB，又A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所以cosB＝.3．已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，則“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的(　C　)A．充分不必要條件        B．必要不充分條件C．充要條件            D．既不充分也不必要條件解析：在銳角△ABC中，根據(jù)正弦定理＝，知sinA>sinB?a>b?A>B，而正切函數(shù)y＝tanx在(0，)上單調(diào)遞增，所以A>B?tanA>tanB.故選C.4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若<cosA，則△ABC為(　A　)A．鈍角三角形  B．直角三角形    C．銳角三角形  D．等邊三角形解析：根據(jù)正弦定理得＝<cosA，即sinC<sinBcosA，∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)<sinBcosA，整理得sinAcosB<0，又三角形中sinA>0，∴cosB<0，<B<π.∴△ABC為鈍角三角形．5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝(　C　)A.      B.        C.      D.解析：根據(jù)題意及三角形的面積公式知absinC＝，所以sinC＝＝cosC，所以在△ABC中，C＝.6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2＝c2＋ac－bc，則＝(　B　)A.     B.        C.       D.解析：由a，b，c成等比數(shù)列得b2＝ac，則有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cosA＝＝＝，故A＝，對(duì)于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sinAsinC＝·sinC，由正弦定理得，＝＝＝.故選B.二、填空題7．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a＝1，b＝，則S△ABC＝.解析：因?yàn)榻茿，B，C依次成等差數(shù)列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sinA＝，因?yàn)?°<A<180°，所以A＝30°，此時(shí)C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.8．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿足(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，則c＝13.解析：∵(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，∴(a＋b)2sin2＝144　①，(a－b)2cos2＝25　②，①＋②得，a2＋b2－2ab(cos2－sin2)＝169，∴a2＋b2－2abcosC＝c2＝169，∴c＝13.9．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，btanB＋btanA＝2ctanB，且a＝5，△ABC的面積為2，則b＋c的值為7.解析：由正弦定理及btanB＋btanA＝2ctanB，得sinB·＋sinB·＝2sinC·，即cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，亦即sin(A＋B)＝2sinCcosA，故sinC＝2sinCcosA.因?yàn)閟inC≠0，所以cosA＝，所以A＝.由面積公式，知S△ABC＝bcsinA＝2，所以bc＝8.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，代入可得b＋c＝7.三、解答題10．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面積．解：(1)∵2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0，∴由正弦定理可得2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0，∴2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0，又0°<B<180°，∴sinB≠0，∴cosC＝－，又0°<C<180°，∴C＝120°.(2)由余弦定理可得(2)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4，又a>0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝absinC＝，∴△ABC的面積為.11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin－cos＝.(1)求cosB的值；(2)若b2－a2＝ac，求的值．解：(1)將sin－cos＝兩邊同時(shí)平方得，1－sinB＝，得sinB＝，故cosB＝±，又sin－cos＝>0，所以sin>cos，所以∈(，)，所以B∈(，π)，故cosB＝－.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋ac，所以a＝c－2acosB＝c＋a，所以c＝a，故＝.12．若△ABC的面積為(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝60°；的取值范圍是(2，＋∞)．解析：△ABC的面積S＝acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，所以tanB＝，因?yàn)?°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因?yàn)?/span>∠C為鈍角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<，所以＝＝＝＝＋>2，故的取值范圍為(2，＋∞)．13．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且(a＋c)2＝b2＋3ac.(1)求角B的大??；(2)若b＝2，且sinB＋sin(C－A)＝2sin2A，求△ABC的面積．解：(1)由(a＋c)2＝b2＋3ac，整理得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝＝，∵0<B<π，∴B＝.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，即B＝π－(A＋C)，故sinB＝sin(A＋C)，由已知sinB＋sin(C－A)＝2sin2A可得sin(A＋C)＋sin(C－A)＝2sin2A，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinCcosA－cosCsinA＝4sinAcosA，整理得cosAsinC＝2sinAcosA.若cosA＝0，則A＝，由b＝2，可得c＝＝，此時(shí)△ABC的面積S＝bc＝.若cosA≠0，則sinC＝2sinA，由正弦定理可知，c＝2a，代入a2＋c2－b2＝ac，整理可得3a2＝4，解得a＝，∴c＝，此時(shí)△ABC的面積S＝acsinB＝.綜上所述，△ABC的面積為. 14．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bc＝1，b＋2ccosA＝0，則當(dāng)角B取得最大值時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為(　A　)A．2＋   B．2＋C．3   D．3＋解析：解法1：由題意可得，sinB＋2sinCcosA＝0，即sin(A＋C)＋2sinCcosA＝0，得sinAcosC＝－3sinCcosA，即tanA＝－3tanC.又cosA＝－<0，所以A為鈍角，于是tanC>0.從而tanB＝－tan(A＋C)＝－＝＝，由基本不等式，得＋3tanC≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)tanC＝時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)角B取得最大值，且tanB＝tanC＝，tanA＝－，即b＝c，A＝120°，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周長(zhǎng)為2＋.解法2：由已知b＋2ccosA＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cosB＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)角B取得最大值，將a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周長(zhǎng)為2＋.故選A.15．已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC.(1)求角A的大?。?/span>(2)設(shè)a＝，S為△ABC的面積，求S＋cosBcosC的最大值．解：(1)∵(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC，∴根據(jù)正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴由余弦定理，得cosA＝＝－.又A∈(0，π)，所以A＝π.(2)根據(jù)a＝，A＝π及正弦定理可得＝＝＝＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC.∴S＝bcsinA＝×2sinB×2sinC×＝sinBsinC. ∴S＋cosBcosC＝sinBsinC＋cosB·cosC＝cos(B－C)．故當(dāng)即B＝C＝時(shí)，S＋cosB·cosC取得最大值.  

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