2021屆湖南省長(zhǎng)沙市高三第一次模擬試卷 數(shù)學(xué)理科試題 第Ⅰ卷（共60分） 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，，則（  ） A．    B．    C．    D． 2.設(shè)全集，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（  ） A．7    B．3    C．8    D．9  3.函數(shù)（，）的圖象中相鄰對(duì)稱軸的距離為，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（  ） A．    B．    C．    D． 4.如圖所示的莖葉圖（圖一）為高三某班50名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī)，圖（二）的算法框圖中輸入的為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī)，則輸出的，分別是（  ）  A．，    B．， C．，    D．， 5.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?/span>，不等式表示的平面區(qū)域?yàn)?/span>，對(duì)于中的任意一點(diǎn)和中的任意一點(diǎn)，的最小值為（  ） A．    B．    C．    D． 6.若函數(shù)的圖象如圖所示，則的范圍為（  ）  A．    B．    C．    D． 7.某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體各面的面積中最大的是（  ）  A．1    B．    C．    D． 8.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的值為（  ） A．1006    B．1007    C．1008    D．1009  9.已知非零向量，，滿足，，若對(duì)每個(gè)確定的，的最大值和最小值分別為，，則的值（  ） A．隨增大而增大    B．隨增大而減小 C．是2    D．是4  10.已知如圖所示的三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，則球的表面積為（  ）  A．    B．    C．    D． 11.已知雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心的圓與雙曲線的某漸近線交于兩點(diǎn)，，若，且，則雙曲線的離心率為（  ） A．    B．    C．    D． 12.已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若對(duì)任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（  ） A．    B．    C．    D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13.已知，展開式的常數(shù)項(xiàng)為15，． 14.設(shè)，，關(guān)于，的不等式和無公共解，則的取值范圍是． 15.正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（），設(shè)，則數(shù)列的前2016項(xiàng)的和為． 16.已知是橢圓：的右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，其面積為． 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）  17.如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，且，，，．  （1）求的長(zhǎng)； （2）求． 18.如圖，在多面體中，四邊形為梯形，，均為等邊三角形，，．  （1）過作截面與線段交于點(diǎn)，使得平面，試確定點(diǎn)的位置，并予以證明； （2）在（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值． 19.2015年7月9日21時(shí)15分，臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國(guó)廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災(zāi)，5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元．距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺(tái)風(fēng)的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成，，，，五組，并作出如圖頻率分布直方圖：  （1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)小區(qū)平均每戶居民的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）； （2）小明向班級(jí)同學(xué)發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款，現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行捐款援助，設(shè)抽出損失超過8000元的居民為戶，求的分布列和數(shù)學(xué)期望； （3）臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如圖，根據(jù)圖表格中所給數(shù)據(jù)，分別求，，，，，，的值，并說明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)？  經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元 捐款不超過500元 合計(jì)    0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 附：臨界值表參考公式：，． 20.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)（）到直線：的距離為，設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)． （1）求拋物線的方程； （2）當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； （3）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值． 21.已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直． （1）求，的值； （2）如果當(dāng)時(shí)，都有，求的取值范圍．  請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，正方形的頂點(diǎn)都在上，且，，，依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為． （1）求點(diǎn)，，，的直角坐標(biāo)； （2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍． 23.選修4-5：不等式選講 設(shè)，記的解集為． （1）求集合； （2）已知，比較與的大?。?/span> 2021屆湖南省長(zhǎng)沙市高三第一次模擬試卷 數(shù)學(xué)理科試題參考答案 一、選擇題 1-5:      6-10:      11、12： 二、填空題 13.          14.          15.          16.4 三、解答題 17.解：（1）因?yàn)?/span>，則， 所以，即． 在中，由余弦定理，可知． 即，解得，或． 因?yàn)?/span>，所以． （2）在中，由正弦定理，可知， 又由，可知， 所以． 因?yàn)?/span>，所以． 18.解：（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，使得平面． 證法如下： 連接，，設(shè)， ∵四邊形為矩形， ∴為的中點(diǎn)， 又∵為的中點(diǎn)， ∴為的中位線， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故為的中點(diǎn)時(shí)，使得平面．  （2）過作分別與，交于，， 因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，分別為，的中點(diǎn)， ∵與均為等邊三角形，且， ∴，連接，，則得， ∵，，， ∴，， ∴四邊形為等腰梯形． 取的中點(diǎn)，連接，則， 又∵，，， ∴平面， 過點(diǎn)作于，則， ∴，． 分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則由條件可得：，，，，，． 設(shè)是平面的法向量， 則即 所以可取， 由，可得， ∴直線與平面所成角的正弦值為．  19.解：（1）記每戶居民的平均損失為元， 則 ． （2）由頻率分布直方圖，可得超過4000元的居民共有戶，損失超過8000元的居民共有戶， 因此的可能值為0,1,2， ，，， 的分布列為： 012 ． （3）解得，，，，，，， ， 所以有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)．　 20.解：（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為，由，結(jié)合，解得． 所以拋物線的方程為． （2）拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得， 設(shè)，（其中，）， 則切線，的斜率分別為，， 所以切線的方程為，即， 即． 同理可得切線的方程為， 因?yàn)榍芯€，均過點(diǎn)，所以，， 所以，為方程的兩組解， 所以直線的方程為． （3）由拋物線定義可知，， 所以， 聯(lián)立方程消去整理得． 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，， 所以， 又點(diǎn)在直線上，所以， 所以， 所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為． 21.解：（1）， 依題意，，解得． （2）由（1）可知，代入得 ，即， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以， 所以，即， 令，設(shè)，則， 又． ①當(dāng)，即時(shí)，恒成立， 所以在上單調(diào)遞增，所以 （i）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榇藭r(shí)，， 所以，即成立； （ii）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榇藭r(shí)，， 所以，即成立． 因此當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，都有成立，符合題意． ②當(dāng)，即時(shí)，由，得，， 因?yàn)?/span>，所以，， 當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，所以， 又因?yàn)榇藭r(shí)，，所以，即 與矛盾，所以不符合題意． 綜上可知：的取值范圍是． 22.解：（1）點(diǎn)，，，的極坐標(biāo)為，，，， 點(diǎn)，，，的直角坐標(biāo)為，，，. （2）設(shè)，則（為參數(shù)）， ． 23.解：（1） 由，得或或 解得， 故． （2）由（1）知， 因?yàn)?/span>， 當(dāng)時(shí)，，所以； 當(dāng)時(shí)，，所以； 當(dāng)時(shí)，，所以． 綜上所述：當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，．  

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