?2021年福建省福州十八中中考數(shù)學(xué)第二次適應(yīng)性試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1．下列計(jì)算結(jié)果等于﹣1的是（　?。?br /> A．﹣1+2 B．（﹣1）0 C．﹣12 D．（﹣1）﹣2
2．第十六屆海峽交易會(huì)對(duì)接合同項(xiàng)目2049項(xiàng)，總投資682億元．將682億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．0.682×1011 B．6.82×1010 C．6.82×109 D．682×108
3．下列事件是必然事件的是（　?。?br /> A．2018年5月15日寧德市的天氣是晴天
B．從一副撲克中任意抽出一張是黑桃
C．在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊
D．打開電視，正在播廣告
4．由6個(gè)大小相同的小正方體拼成的幾何體如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（　?。?br />
A．主視圖的面積最大 B．左視圖的面積最大
C．俯視圖的面積最大 D．三種視圖的面積相等
5．若x＝1是關(guān)于x的方程x2﹣2x+c＝0的一個(gè)根，則c的值為（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，連接OB交⊙O于點(diǎn)C．若OA＝3，tan∠AOB＝，則BC的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若2n+2n＝1，則n的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
8．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE，連接BE，若∠DAB＝15°，則∠ABE是（　?。?br />
A．75° B．78° C．80° D．92°
9．已知一次函數(shù)y1＝kx+m（k≠0）和二次函數(shù)y2＝ax2+bx+c（a≠0）的自變量和對(duì)應(yīng)函數(shù)值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…

x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
當(dāng)y2＞y1時(shí)，自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
10．如圖，點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0），y＝（x＜0）的圖象上．若OA⊥OB，＝2，則a的值為（　?。?br />
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案填在答題卡上）
11．計(jì)算：＝　 　．
12．因式分解：2a2﹣2＝　 ?。?br /> 13．小明同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得到的總和是800°，則少算了這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為　 　．
14．已知一次函數(shù)y＝kx+2k+3（k≠0），不論k為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為　 　．
15．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形ABCD，中間陰影部分是一個(gè)小正方形EFGH，這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖”．若AB＝10，AE＝8，則正方形EFGH的面積為　 ?。?br />
16．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5點(diǎn)D在邊AB上，以AD為直徑的圓，與邊BC有公共點(diǎn)E，則AD的最小值是　 ?。?br />
三、解答題（本大題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程和演算）
17．（8分）解方程組：．
18．（6分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．求證：四邊形OCED是矩形．

19．（8分）先化簡(jiǎn)（x+3﹣）÷，再?gòu)?≤x≤4中選一個(gè)適合的整數(shù)代入求值．
20．（8分）為了解某校九年級(jí)學(xué)生體能訓(xùn)練情況，該年級(jí)在3月份進(jìn)行了一次體育測(cè)試，決定對(duì)本次測(cè)試的成績(jī)進(jìn)行抽樣分析．已知九年級(jí)共有學(xué)生480人，請(qǐng)按要求回答下列問(wèn)題：
（1）把全年級(jí)同學(xué)的測(cè)試成績(jī)分別寫在沒(méi)有明顯差別的小紙片上，揉成小球，放到一個(gè)不透明的袋子中，充分?jǐn)嚢韬?，隨意抽取30個(gè)，展開小球，記錄這30張紙片中所寫的成績(jī)得到一個(gè)樣本，你覺(jué)得上面的抽取過(guò)程是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣嗎？
答：　 ?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保?br /> （2）下表是用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取的30名同學(xué)的體育測(cè)試成績(jī)（單位：分）：
59
69
77
73
72
62
79
78
66
81
85
84
83
84
86
87
88
85
86
89
90
97
91
98
90
95
96
93
92
99
若成績(jī)?yōu)閤分，當(dāng)x≥90時(shí)記為A等級(jí)，80≤x＜90時(shí)記為B等級(jí)，70≤x＜80時(shí)記為C等級(jí)，x＜70時(shí)記為D等級(jí)，根據(jù)表格信息，解答下列問(wèn)題：
①本次抽樣調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是　 ??；估計(jì)全年級(jí)本次體育測(cè)試成績(jī)?cè)贏、B兩個(gè)等級(jí)的人數(shù)是　 ?。?br /> ②經(jīng)過(guò)一個(gè)多月的強(qiáng)化訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)D等級(jí)的同學(xué)平均成績(jī)提高15分，C等級(jí)的同學(xué)平均成績(jī)提高10分，B等級(jí)的同學(xué)平均成績(jī)提高5分，A等級(jí)的同學(xué)平均成績(jī)沒(méi)有變化，請(qǐng)估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)提高多少分？
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三個(gè)頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC，BC上．
（1）用尺規(guī)作出正方形DECF；
（2）求正方形DECF的邊長(zhǎng)．

22．（10分）水果店在銷售某種水果，該種水果的進(jìn)價(jià)為10元/kg．根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)可知：日銷量y（單位：kg）隨售價(jià)x（單位：元/kg）的變化規(guī)律符合某種函數(shù)關(guān)系．
該水果店以往的銷售記錄如下表：（售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)）
售價(jià)x（單位：元/kg）
10
15
20
25
30
日銷量y（單位：kg）
30
20
15
12
10
若y與x之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)中的某一種．
（1）判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出其解析式；
（2）水果店銷售該種水果的日利潤(rùn)能否達(dá)到200元？說(shuō)明理由．
23．（10分）已知⊙O為△ABC的外接圓，直線l與⊙O相切于點(diǎn)P，且l∥BC．
（1）連接PO，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．證明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的條件下，AD交BC于點(diǎn)E，連接CD．若DE＝2，AE＝6．試求CD的長(zhǎng)．

24．（12分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
（1）觀察猜想
如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是　 　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是　 　．
（2）類比探究
如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖2的情形說(shuō)明理由．
（3）解決問(wèn)題
當(dāng)α＝90°時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．

25．（16分）已知拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（0，2）．
（1）若點(diǎn)（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點(diǎn)O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．
①求拋物線的解析式；
②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN．

2021年福建省福州十八中中考數(shù)學(xué)第二次適應(yīng)性試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1．下列計(jì)算結(jié)果等于﹣1的是（　?。?br /> A．﹣1+2 B．（﹣1）0 C．﹣12 D．（﹣1）﹣2
【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)和有理數(shù)的加減運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案．
【解答】解：A、﹣1+2＝1，不合題意；
B、（﹣1）0＝1，不合題意；
C、﹣12＝﹣1，符合題意；
D、（﹣1）﹣2＝1，不合題意；
故選：C．
2．第十六屆海峽交易會(huì)對(duì)接合同項(xiàng)目2049項(xiàng)，總投資682億元．將682億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.682×1011 B．6.82×1010 C．6.82×109 D．682×108
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：數(shù)字682億用科學(xué)記數(shù)法表示為：6.82×1010．
故選：B．
3．下列事件是必然事件的是（　?。?br /> A．2018年5月15日寧德市的天氣是晴天
B．從一副撲克中任意抽出一張是黑桃
C．在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊
D．打開電視，正在播廣告
【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念進(jìn)行解答即可．
【解答】解：A、2018年5月15日寧德市的天氣是晴天是隨機(jī)事件；
B、從一副撲克中任意抽出一張是黑桃是隨機(jī)事件；
C、在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊是必然事件；
D、打開電視，正在播廣告是隨機(jī)事件；
故選：C．
4．由6個(gè)大小相同的小正方體拼成的幾何體如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（　?。?br />
A．主視圖的面積最大 B．左視圖的面積最大
C．俯視圖的面積最大 D．三種視圖的面積相等
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
【解答】解：從正面看第一層是三個(gè)小正方形，第二層左邊起2個(gè)小正方形，主視圖的面積是5；
從左邊看第一層是兩個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，左視圖的面積為3；
從上邊看第一列是2個(gè)小正方形，第二列是1個(gè)小正方形，第三列是1個(gè)小正方形，俯視圖的面積是4，
主視圖的面積最大，故A正確；
故選：A．
5．若x＝1是關(guān)于x的方程x2﹣2x+c＝0的一個(gè)根，則c的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝1代入方程，得到關(guān)于c的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得：12﹣2×1+c＝0，
∴1﹣2+c＝0，
∴c＝1，
故選：C．
6．如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，連接OB交⊙O于點(diǎn)C．若OA＝3，tan∠AOB＝，則BC的長(zhǎng)為（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據(jù)三角函數(shù)，可得OB的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．
【解答】解：∵OA＝3，tan∠AOB＝，
∴OB＝5，
∴CB＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
故選：A．
7．若2n+2n＝1，則n的值為（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
【分析】直接利用合并同類項(xiàng)以及冪的乘方運(yùn)算法則將原式變形得出答案．
【解答】解：∵2n+2n＝1，
∴2×2n＝20＝1，
∴2n+1＝20，
∴n+1＝0，
解得：n＝﹣1．
故選：A．
8．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE，連接BE，若∠DAB＝15°，則∠ABE是（　?。?br />
A．75° B．78° C．80° D．92°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE＝CD，∠DCE＝∠ACB＝90°，由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠CAD＝∠CBE＝30°，即可求解．
【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵∠DAB＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∵將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE，
∴CE＝CD，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝75°，
故選：A．
9．已知一次函數(shù)y1＝kx+m（k≠0）和二次函數(shù)y2＝ax2+bx+c（a≠0）的自變量和對(duì)應(yīng)函數(shù)值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…

x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
當(dāng)y2＞y1時(shí)，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
【分析】方法一：先在表格中找出點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出直線和拋物線的解析式，用y2＞y1建立不等式，求解不等式即可．
方法二：直接由表得出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，0），（4，5），再結(jié)合變化規(guī)律得出結(jié)論．
【解答】解法一：由表可知，（﹣1，0），（0，1）在一次函數(shù)y1＝kx+m的圖象上，
∴，
∴
∴一次函數(shù)y1＝x+1，
由表可知，（﹣1，0），（1，﹣4），（3，0）在二次函數(shù)y2＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，
∴，
∴
∴二次函數(shù)y2＝x2﹣2x﹣3
當(dāng)y2＞y1時(shí)，
∴x2﹣2x﹣3＞x+1，
∴（x﹣4）（x+1）＞0，
∴x＞4或x＜﹣1，
故選D，
解法二：如圖，

由表得出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，0），（4，5），
∴x＞4或x＜﹣1，
故選：D．
10．如圖，點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0），y＝（x＜0）的圖象上．若OA⊥OB，＝2，則a的值為（　　）

A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函數(shù)系數(shù)K的幾何意義得出S△AOM：S△BON＝2：（﹣a），進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，
∴∠AMO＝∠BN0＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠∠BON＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0），y＝（x＜0）的圖象上，
∴S△AOM＝1，S△BON＝﹣a，
∴S△AOM：S△BON＝2：（﹣a），
∴AO：BO＝：，
∵AO：BO＝1：2，
∴a＝﹣8，
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案填在答題卡上）
11．計(jì)算：＝　2　．
【分析】根據(jù)立方根的定義即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴＝2
故答案為：2．
12．因式分解：2a2﹣2＝　2（a+1）（a﹣1）?。?br /> 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣1）
＝2（a+1）（a﹣1）．
故答案為：2（a+1）（a﹣1）．
13．小明同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得到的總和是800°，則少算了這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為　100°?。?br /> 【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，少計(jì)算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得800度．則內(nèi)角和是（n﹣2）?180°與800°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n﹣2）?180°≥800°，多邊形的邊數(shù)n一定是最小的整數(shù)值，從而求出多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而求出少計(jì)算的內(nèi)角．
【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n．
依題意有（n﹣2）?180°≥800°，
解得：n≥6，
則多邊形的邊數(shù)n＝7；
多邊形的內(nèi)角和是（7﹣2）?180＝900度；
則未計(jì)算的內(nèi)角的大小為900°﹣800°＝100°．
故答案為：100°．
14．已知一次函數(shù)y＝kx+2k+3（k≠0），不論k為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為?。ī?，3）?。?br /> 【分析】當(dāng)k＝0時(shí)，得出y＝3，把y＝3，k＝1代入解析式得出x即可．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+2k+3（k≠0），不論k為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴當(dāng)k＝0時(shí)，y＝3，
把y＝3，k＝1代入y＝kx+2k+3中，可得：x＝﹣2，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，3），
故答案為：（﹣2，3），
15．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形ABCD，中間陰影部分是一個(gè)小正方形EFGH，這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖”．若AB＝10，AE＝8，則正方形EFGH的面積為　4?。?br />
【分析】利用勾股定理求得直角邊的較短邊，進(jìn)一步根據(jù)正方形EFGH的面積＝大正方形面積﹣4個(gè)直角三角形面積即可求得正方形EFGH的面積．
【解答】解：直角三角形直角邊的較短邊為＝6，
正方形EFGH的面積＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故答案為：4．
16．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5點(diǎn)D在邊AB上，以AD為直徑的圓，與邊BC有公共點(diǎn)E，則AD的最小值是　?。?br />
【分析】由題意可證△EBO∽△ABC，可得 ＝，可求OE的長(zhǎng)，即可求AD的最小值．
【解答】解：當(dāng)E點(diǎn)是切點(diǎn)且EO⊥BC時(shí)，則AD有最小值，如圖，
∵∠EBO＝∠ABC，∠OEB＝∠ACB＝90°
∴△EBO∽△CBA，
∴＝，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，
∴AB＝，
設(shè)OA＝OD＝OE＝m，
∴＝，
解得m＝，
∴AD＝2m＝．
∴AD的最小值為 ，
故答案為 ．
三、解答題（本大題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程和演算）
17．（8分）解方程組：．
【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①×2得：x＝6，
將x＝6代入①得：6+2y＝0，即y＝﹣3，
則方程組的解為．
18．（6分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．求證：四邊形OCED是矩形．

【分析】先證四邊形OCED是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得∠DOC＝90°，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四邊形OCED是矩形．
19．（8分）先化簡(jiǎn)（x+3﹣）÷，再?gòu)?≤x≤4中選一個(gè)適合的整數(shù)代入求值．
【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)分式有意義的條件選擇一個(gè)整數(shù)代入計(jì)算即可．
【解答】解：（x+3﹣）÷
＝（﹣）÷
＝?
＝，
當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝＝．
20．（8分）為了解某校九年級(jí)學(xué)生體能訓(xùn)練情況，該年級(jí)在3月份進(jìn)行了一次體育測(cè)試，決定對(duì)本次測(cè)試的成績(jī)進(jìn)行抽樣分析．已知九年級(jí)共有學(xué)生480人，請(qǐng)按要求回答下列問(wèn)題：
（1）把全年級(jí)同學(xué)的測(cè)試成績(jī)分別寫在沒(méi)有明顯差別的小紙片上，揉成小球，放到一個(gè)不透明的袋子中，充分?jǐn)嚢韬?，隨意抽取30個(gè)，展開小球，記錄這30張紙片中所寫的成績(jī)得到一個(gè)樣本，你覺(jué)得上面的抽取過(guò)程是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣嗎？
答：　是?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保?br /> （2）下表是用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取的30名同學(xué)的體育測(cè)試成績(jī)（單位：分）：
59
69
77
73
72
62
79
78
66
81
85
84
83
84
86
87
88
85
86
89
90
97
91
98
90
95
96
93
92
99
若成績(jī)?yōu)閤分，當(dāng)x≥90時(shí)記為A等級(jí)，80≤x＜90時(shí)記為B等級(jí)，70≤x＜80時(shí)記為C等級(jí)，x＜70時(shí)記為D等級(jí)，根據(jù)表格信息，解答下列問(wèn)題：
①本次抽樣調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是　85.5?。还烙?jì)全年級(jí)本次體育測(cè)試成績(jī)?cè)贏、B兩個(gè)等級(jí)的人數(shù)是　336??；
②經(jīng)過(guò)一個(gè)多月的強(qiáng)化訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)D等級(jí)的同學(xué)平均成績(jī)提高15分，C等級(jí)的同學(xué)平均成績(jī)提高10分，B等級(jí)的同學(xué)平均成績(jī)提高5分，A等級(jí)的同學(xué)平均成績(jī)沒(méi)有變化，請(qǐng)估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)提高多少分？
【分析】（1）由抽樣調(diào)查的概念判斷即可得；
（2）①依據(jù)中位數(shù)和樣本估計(jì)總體思想的運(yùn)用求解可得；
②根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義求解可得．
【解答】解：（1）上面的抽取過(guò)程是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，
故答案為：是；

（2）①本次抽樣調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是＝85.5；估計(jì)全年級(jí)本次體育測(cè)試成績(jī)?cè)贏、B兩個(gè)等級(jí)的人數(shù)是480×＝336（人），
故答案為：85.5，336；
②由表中數(shù)據(jù)可知，30名同學(xué)中，A等級(jí)的有10人，B等級(jí)的有11人，C等級(jí)的有5人，D等級(jí)的有4人．
依題意得，＝5.5，
∴根據(jù)算得的樣本數(shù)據(jù)提高的平均成績(jī)，可以估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)約提高分5.5．
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三個(gè)頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC，BC上．
（1）用尺規(guī)作出正方形DECF；
（2）求正方形DECF的邊長(zhǎng)．

【分析】（1）先作∠ACB的角平分線，再作BC邊所在直線的中垂線并使中垂線過(guò)點(diǎn)D，最后作AC邊所在直線的中垂線并使中垂線過(guò)點(diǎn)D，則正方形DECF即為所求作圖形；
（2）正方形DECF的邊長(zhǎng)為x，則有DF＝CF＝x，BF＝3﹣x，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理可列關(guān)于x的方程，求解即可．
【解答】解：（1）如圖所示，即為所求．

（2）設(shè)正方形DECF的邊長(zhǎng)為x，則有DF＝CF＝x，BF＝3﹣x，
∵正方形DECF，
∴DF∥AC，
∴，
即，
解得x＝，
∴正方形DECF的邊長(zhǎng)為．
22．（10分）水果店在銷售某種水果，該種水果的進(jìn)價(jià)為10元/kg．根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)可知：日銷量y（單位：kg）隨售價(jià)x（單位：元/kg）的變化規(guī)律符合某種函數(shù)關(guān)系．
該水果店以往的銷售記錄如下表：（售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)）
售價(jià)x（單位：元/kg）
10
15
20
25
30
日銷量y（單位：kg）
30
20
15
12
10
若y與x之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)中的某一種．
（1）判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出其解析式；
（2）水果店銷售該種水果的日利潤(rùn)能否達(dá)到200元？說(shuō)明理由．
【分析】（1）直接利用表格得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式；
（2）理由銷量×每千克利潤(rùn)＝200，進(jìn)而得到答案．
【解答】解：（1）觀察圖象可知，售價(jià)x與日銷量y的乘積為定值300，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)，
設(shè)則y與x之間的函數(shù)解析式為y＝，
∵當(dāng)x＝10時(shí)，y＝30，
∴k＝300，
∴y＝，
把其余各組對(duì)應(yīng)值代入上式均成立，
故y與x之間的函數(shù)解析式為y＝（x≥10）；
（2）能達(dá)到200元，
理由：依題意，得（x﹣10）?＝200，
解得：x＝30，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解，并且符合題意，
答：當(dāng)售價(jià)為30元/千克時(shí)，水果店銷售這種水果的日利潤(rùn)為200元．
23．（10分）已知⊙O為△ABC的外接圓，直線l與⊙O相切于點(diǎn)P，且l∥BC．
（1）連接PO，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．證明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的條件下，AD交BC于點(diǎn)E，連接CD．若DE＝2，AE＝6．試求CD的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)、垂徑定理證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【解答】（1）證明：∵l與⊙O相切于點(diǎn)P，
∴PD⊥l，
∵l∥BC，
∴PD垂直平分弦BC，
∴，
∴∠BAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC；
（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BCD，
在△ADC和△CDE中
∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，
∴△ADC∽△CDE，
∴，
即，
得DC＝4．

24．（12分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
（1）觀察猜想
如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是　1　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是　60°?。?br /> （2）類比探究
如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖2的情形說(shuō)明理由．
（3）解決問(wèn)題
當(dāng)α＝90°時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．

【分析】（1）如圖1中，延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H．證明AD＝DC即可解決問(wèn)題．
②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，同法可證：DA＝DC解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O．

∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴＝1，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°，
故答案為1，60°．

（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E．

∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵＝＝，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠OAB＝45°，
∴直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)為45°．


（3）如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H．

∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四點(diǎn)共圓，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，設(shè)AD＝a，則DC＝AD＝a，PD＝a，
∴＝＝2﹣．
解法二：在Rt△PAD中，∵E是AC的中點(diǎn)，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP，
∵∠CEF＝45°＝∠EPC+∠ECP，
∴∠EPC＝∠ECP＝22.5°，
∵∠PDA＝45°＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝22.5°，
∴AD＝DC，
設(shè)PD＝a，則AD＝DC＝a，
∴＝＝2﹣

如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，同法可證：DA＝DC，設(shè)AD＝a，則CD＝AD＝a，PD＝a，

∴PC＝a﹣a，
∴＝＝2+．
25．（16分）已知拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（0，2）．
（1）若點(diǎn)（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點(diǎn)O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．
①求拋物線的解析式；
②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN．
【分析】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A可求出c＝2，再代入（﹣，0）即可找出2a﹣b+2＝0（a≠0）；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對(duì)稱軸為y軸、開口向下，進(jìn)而可得出b＝0，由拋物線的對(duì)稱性可得出△ABC為等腰三角形，結(jié)合其有一個(gè)60°的內(nèi)角可得出△ABC為等邊三角形，設(shè)線段BC與y軸交于點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出a值，此題得解；
②由①的結(jié)論可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，﹣+2）、點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，﹣+2），由O、M、N三點(diǎn)共線可得出x2＝﹣，進(jìn)而可得出點(diǎn)N及點(diǎn)N′的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)N′在直線PM上，進(jìn)而即可證出PA平分∠MPN．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（0，2），
∴c＝2．
又∵點(diǎn)（﹣，0）也在該拋物線上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，
∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．
（2）①∵當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；
同理：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸，開口向下，
∴b＝0．
∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B、C，
∴△ABC為等腰三角形，
又∵△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°，
∴△ABC為等邊三角形．
設(shè)線段BC與y軸交于點(diǎn)D，則BD＝CD，且∠OCD＝30°，
又∵OB＝OC＝OA＝2，
∴CD＝OC?cos30°＝，OD＝OC?sin30°＝1．
不妨設(shè)點(diǎn)C在y軸右側(cè)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，﹣1）．
∵點(diǎn)C在拋物線上，且c＝2，b＝0，
∴3a+2＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2．
②證明：由①可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，﹣+2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，﹣+2）．
直線OM的解析式為y＝k1x（k1≠0）．
∵O、M、N三點(diǎn)共線，
∴x1≠0，x2≠0，且＝，
∴﹣x1+＝﹣x2+，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，﹣+2）．
設(shè)點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N′，則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（，﹣+2）．
∵點(diǎn)P是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，
∴OP＝2OA＝4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）．
設(shè)直線PM的解析式為y＝k2x+4，
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，﹣+2），
∴﹣+2＝k2x1+4，
∴k2＝﹣，
∴直線PM的解析式為y＝﹣x+4．
∵﹣?+4＝＝﹣+2，
∴點(diǎn)N′在直線PM上，
∴PA平分∠MPN．




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