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2021 上海崇明區(qū)初三一模數(shù)學(xué)試卷





（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
1. 已知線段、 、 、 的長度滿足等式 ，如果某班四位學(xué)生分別將該等式改寫成了如下四個比例
式，那么其中錯誤的是（ ）．
. .


A.

B.


C.
D.









【答案】A

∵ ，∴
A 選項：
B 選項： ∵

C 選項： ∵ ，∴
D 選項： ∵ ，∴ 故選 A .










，∴ ，故 錯誤； ，故正確；
，故 正確；
，故 正確．








2. 已知點 是 ）．
A.

的重心，如果連接 ，并延長


B.

交邊于點


C.

，那么下列說法中錯誤的是（
. .


D.



B

如圖，


∵點是 的重心，
∴為邊上的中線，
∴ ， ，故正確；



1




∵點是 的重心，
∴ ，故 錯誤； 正確．
故選 ．




3. 已知 和 都是單位向量，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）．


A.




B.



C.



D.




D
∵ ， 是單位向量，
∴ ，
∴當 ， 方向相同時， ，
當 ， 方向相反時， ，
故都是錯誤的，只有正確．
故選 ．






4. 在 中， ，如果 ， ，那么的正弦值為（
A. B. C.


）．
D.






A







在
，
中，
，
，
，
．
∴
∴
．
故選





2

，




5. 拋物線 的頂點總在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 直線上 D. 直線 上


C
拋物線 的頂點坐標為 ，
點 始終在直線上，
所以拋物線 的頂點總在直線上．
故選 ．




6. 如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的 倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）．
A. B. C. D. 無法確定




B

作出簡單示意圖， 為正多邊形的一邊， 是外接圓的半徑，過點 作于點
則 是內(nèi)切圓的半徑．





，
，
依據(jù)題意得，
∴
∴ ．
，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
．
∴該正多邊形的邊數(shù)是
故選 ．







3

．
，






（本大題共12小題，每小題4分，共48分）
1. 已知 ，那么 ．




方法一：
∵ ，
∴ ，

∴ ．
，
方法二：



，

．

方法三： 不妨設(shè) ， ，


則

故答案為： ．












2. 已知線段 ，點 是 的黃金分割點，且 ，那么線段的長為 ．



∵點是 的黃金分割點，且 ，
∴




．




3. 如果兩個相似三角形的一組對應(yīng)邊上的高之比為 ，那么這兩個三角形的面積比為 ．





∵兩個相似三角形一組對應(yīng)邊上的高的比為





4

．



∴這兩個三角形的相似比為 ，
∴這兩個相似三角形的面積比為 ．
故答案為： ．






4. 計算：




．









．
故答案為：






5. 如果一段斜坡的水平寬度為 米，坡度 ，那么這段斜坡的鉛垂高度為 米．





∵坡度
∴ 鉛直高度
故答案為： ．

鉛垂高度
水平寬度 ，
，解得鉛垂高度 米．








6. 已知在銳角 中， ， ，


，那么 度．






如圖所示：過點作 于點 ．




∵




，





5

，
．
，
．



∴ ∵ ∴











，
，
在中，
∴
則 ，
∴ ．




7. 函數(shù) 的圖象與軸的交點坐標為 ．






令 ，則 ，
所以函數(shù) 的圖象與軸的交點坐標為






8. 如果將拋物線 先向左平移 個單位長度，再向上平移 個單位長度，那么所得的新拋物線的 解析式為 ．






析式為
拋物線












先向左平移 個單位長度，再向上平移 個單位長度，所得新拋物線的解


．






9. 如圖，在平面直角坐標系中，以點為圓心的弧與 軸交于 、 兩點，已知點的坐標為 ，點
的坐標為 ，那么點的坐標為 ．





6





過點作 于 ．

∵ ，
．
所在的直線對稱，
則的坐標是 ．
又∵的坐標為 ，
∴ ，
∵ ， 兩點一定關(guān)于線段
∴ ，
，
∴
則點的坐標是 ．




10. 如果大小不同的兩個圓外切時的圓心距為 厘米，并且它們內(nèi)切時的圓心距為 厘米，那么其中較大 圓的半徑為 厘米．


設(shè)兩個圓的半徑分別為厘米， 厘米，
依題意則有 ，
解得 ，
故其中較大的圓的半徑為厘米，
故答案為： ．




11. 我們約定：如果一個四邊形存在一條對角線，使得這條對角線是四邊形某兩邊的比例中項，那么就 稱這個四邊形為“閃亮四邊形” ，這條對角線為“閃亮對角線” ，相關(guān)兩邊為“閃亮邊” ．例如：在圖 的 四邊形中， ，則 ，所以四邊形 是閃亮四邊形， 是閃亮



7

設(shè) 在 ∴ ∴ 即
，

對角線， 、 是對應(yīng)的閃亮邊．如圖 ，已知閃亮四邊形 中， 是閃亮對角線， 、
是對應(yīng)的閃亮邊，且 ， ， ， ，那么線段的長為 ．










圖






圖








∵四邊形為閃亮四邊形且為閃亮對角線， 、 為對應(yīng)閃亮邊，
∴ ，
∵ 且 ， ，
在中，


，
作
交于點 ，


，
，
中，

，

，
，


∴




，
由
則有
，
故

∵


，


，







8










，

，
， （舍去），




∴






，




則線段的長為 ，
故答案為 ．




12. 在
沿直線
．點為線段 的中點，點在邊 上，連接 ，
，當 時，則線段 的長為 ．
，
．連接
，
折疊得到
中，
將




過作 于 ，



∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，

∴
在中，
∴


根據(jù)折疊性質(zhì)可知

，
∵ ， ∴ ，
∴




，
，


，









，












，



9


，
，
，
，
是 中點，
，
，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴


，
，
∴
∴
．
∴







（本大題共7小題，共78分）

1.
．
計算：

















原式

．






















．









10

，
∴ ． （ 2 ） 1 如下圖：

2. 如圖，已知在 中， ， ， ， ．



（ 1 ） 求線段的長．
（ 2 ） 設(shè) ， ．
1 請直接寫出關(guān)于 、 的分解式，
2 連接 ，在圖中作出 分別在 、





．
方向上的分向量．













）
）
．
（ 1

（ 2
畫圖見解析．
1
2

（ 1
） ∵ ，


∴
，







∵ ∴ ∴ ∴
，


，
，








，






11


又 ， ，
∴ ， ，
∵四邊形是平行四邊形，
∴ ，
∴ ．
2 如下圖， 和是分別在 ， 方向上的分向量．








3. 如圖，已知⊙
線上，且

的半徑為
．

，在⊙ 中， ， 都是圓的半徑，且 ，點 在線段 的延長



（ 1 ） 求線段 的長．
（ 2 ） 求 的正弦值．











．
．
（ 1 ）
（ 2 ）

∵
，
（ 1 ）
又∵ ，



12

，
，
∴ 即
．

∴ 為等腰直角三角形，
∴ ， ，
過點作 交于點 ，



∴
∵
在中，
∴ ，

（三線合一），
，






∴
∴


，










∴ ．
（ 2 ） 過點作 ，交于點，

，
∵ ，
，
∴


，


，

∴ ，


，


故答案為：









13






4. 為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)益，海監(jiān)部門對我領(lǐng)海實施常態(tài)化巡航管理．如圖，一艘正在執(zhí)行巡航 任務(wù)的海監(jiān)船接到固定監(jiān)測點處的值守人員報告：在 處南偏東方向上，距離處 海里的處 有一可疑船只滯留．海監(jiān)船以每小時海里的速度向正東方向航行，在 處測得監(jiān)測點在其北偏東 方向上，繼續(xù)航行半小時到達了處，此時測得監(jiān)測點 在其北偏東方向上．









（ 1 ） 、 兩處間的距離為 海里；如果連接圖中的、 兩點，那么 是 三角形；
如果海監(jiān)船保持原航向繼續(xù)航行，那么它 （填“能”或“不能”）到達處．
（ 2 ） 如果監(jiān)測點處周圍 海里內(nèi)有暗礁，那么海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？











（ 1 ） ; 等邊 ; 能
（ 2 ） 海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．
（ 1 ）如圖，










根據(jù)題意知， ， ，
∵ ，
∴ ，
（海里），
∴ ，
∴
∴海里，


14


∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等邊三角形，
∴
∵
∴ ，
∴點、 、 在同一直線上，
所以，如果海監(jiān)船保持原航向繼續(xù)航行，那么它能到達處．
故答案為： ，等邊，能．
（ 2 ） 過點作 交 于點 ，



∵ 是等邊三角形，
∴海里，
∵ ，
∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．




5. 已知：如圖， 、 分別是的邊 、 上的點，且 ，連接、 相交于點
．






（ 1 ） 求證： ．
（ 2 ） 如果 ，求證：









．






15












（ 1 ） 證明見解析．
（ 2 ） 證明見解析．
∵
， ，
（ 1 ）
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ）
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
．
∴




6. 如圖，已知對稱軸為直線 的拋物線 與軸交于 、 兩點，與軸交于點 ，其中 點的坐標為 ．












16




備用圖

（ 1 ） 求點的坐標及拋物線的表達式．
（ 2 ） 記拋物線的頂點為 ，對稱軸與線段 的交點為 ，將線段繞點 ，按順時針方向旋轉(zhuǎn) ，請判斷旋轉(zhuǎn)后點 的對應(yīng)點 是否還在拋物線上，并說明理由．
（ 3 ） 在軸上是否存在點 ，使 與 相似？若不存在，請說明理由；若存在請直接寫出
點的坐標（不必書寫求解過程）．













（ 1
（ 2 （ 3 （ 1
，
∴點 ∴點
將、

） ； ．
） 在拋物線上．證明見解析．
） 或 或 或 ．
） ∵、 是關(guān)于直線 為對稱軸的拋物線與軸的兩個交點，點的坐標為

的橫坐標為 ，
的坐標為 ；
兩點坐標代入可得方程組：


，
解得 ，
∴拋物線的表達式為： ．
（ 2 ） ∵點為拋物線頂點，直線 為拋物線的對稱軸，
∴點的橫坐標為 ，縱坐標為 ，



17


∴點的坐標為 ，
直線的解析式為 ，將 、 的坐標代入可得方程：

，
解得 ，
∵與對稱軸交于點 ，
∴當 ， ，
∴點的坐標為 ，
，
∵是點繞點順時針旋轉(zhuǎn) 得到的，
∴ ，
過作平行于軸， 交拋物線對稱軸于點 ，如圖：

，
，
∵在中，
∴ ， ，
，
，
∴點橫坐標為點橫坐標加 ，即：
點縱坐標為點縱坐標減 ，即：
將的橫坐標代入 ，

，
∴的坐標符合拋物線表達式，
∴在拋物線上．
，
（ 3 ） ∵


，


，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
∴
∴
∵是軸上一點， ，



18

若 ∴

，
，則


，
此時，點 若
∴
此時，點
，
，
坐標為 或
，則


，
，
坐標為 或
∴綜上，點 存在，點 坐標為 或
．
或 或




7. 如圖，在中， ， ， ．點 為斜邊 的中點， ，交邊于 點 ．點 為射線上的動點，點 為邊 上的動點，且運動過程中始終保持 ．


（ 1 ） 求證： ；
（ 2 ） 設(shè) ， ．求關(guān)于 的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；
（ 3 ） 連接 ，交線段 于點 ．當 為等腰三角形時，求線段 的長．


備用圖

∵ ∴ 即 ∴





（ 1 ） 證明見解析．
（ 2 ） ．

．

．
∵ ， ，
（ 3 ） 或
（ 1 ）
，
，
，
，
∴
∵
∴
∴ ．
（ 2 ）
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵點 為 的中點，
∴ ，
， ，
∴
，


，



，


．

．
（ 3 ）
，
定義域：
∵ ，
，
，
，
．
時，
，
∴
∵
∴
∴
①當
，
∴ ，即
∴ ，
時，
，
，
， 即
，
．
②當
∴
∴
∴


20


③當時， ，即點在點處，
∴點不在射線 上，舍去．
綜上所述， 的長為 或 ．
























































21

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