2022屆高二入學(xué)調(diào)研試卷文 科 數(shù) 學(xué) （B）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（    ）A．12 B．2 C．30 D．32【答案】D【解析】因為是等比數(shù)列，所以數(shù)列也是等比數(shù)列，因為，，所以的公比為，所以，故選D．2．下列各題中結(jié)論正確的是（    ）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】B【解析】對于A，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，所以不能取到等號，即，所以A錯誤；對于B，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，所以不能取到等號，所以C錯誤；對于D，由選項可知，當(dāng)時，不成立，所以D錯誤，故選B．3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差，前項和為，則的值（    ）A．等于4  B．等于2C．等于  D．不確定，與有關(guān)【答案】B【解析】由數(shù)列是等差數(shù)列，得；，所以，故選B．4．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，由正弦定理可化成，，由余弦定理可得：，故選D．5．圓錐的母線與底面所成的角為45°，側(cè)面面積為，則該圓錐的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐PO的底面圓半徑r，母線長l，如圖所示，點B在底面圓周上，圓O所在平面，則是圓錐的母線PB與底面所成的角，即，于是有，從而得圓錐側(cè)面積，解得，圓錐的高，所以圓錐的體積為，故選B．6．設(shè)直線，，平面，，下列條件能得出的有（    ）①，，且，②，，且，，③，，且④，，，且，A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【解析】①錯誤，因為時，不能推出；②錯誤，一個平面內(nèi)有兩條平行直線平行于另一個平面，這兩個平面可能相交；③錯誤，滿足條件時，兩個平面可能相交；④正確，一個平面上的兩條相交線分別與另一個面平行，則兩個面平行．故只有④正確，故選A．7．當(dāng)點到直線的距離最大時，m的值為（    ）A．3 B．0 C． D．1【答案】C【解析】直線可化為，故直線過定點，當(dāng)和直線垂直時，距離取得最大值，故，，故選C．8．如圖，點在正方體的面對角線上運動，則下列結(jié)論中不一定正確的是（    ）A．平面 B．平面平面C．三棱錐的體積不變 D．【答案】D【解析】對于A：連接，因為正方體，所以，，且平面，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故A正確；對于B：連接AC，則，又平面ABCD，所以，所以平面，所以，同理可得，又，則，所以平面BDP，因為平面，所以平面平面，故B正確；對于C：因為，平面，平面，所以平面，所以P到平面的距離不變，所以三棱錐體積不變，即三棱錐的體積不變，故C正確；對于D：連接，因為正方體，所以，平面，所以，所以平面，則，假設(shè)，則平面，所以，這顯然不成立，假設(shè)錯誤，故D錯誤，故選D．9．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點距離為2，且與點距離為3的直線共有（    ）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】當(dāng)直線不存在斜率時，設(shè)為，由題意可知：且，沒有實數(shù)使得兩個式子同時成立；當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)直線方程為，點到該直線的距離為2，所以有，點到該直線的距離為3，所以有，由，得或，當(dāng)時，代入中，得，該方程的判別式，該方程有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)時，代入中，得，該方程的判別式，該方程有兩個相等的實數(shù)根，所以這樣的直線共有三條，故選C．10．若圓上存在到直線的距離等于1的點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．  B．C． D．【答案】A【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得圓，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，因為圓上存在到直線的距離等于1的點，所以圓心到直線的距離滿足，即，解得，故選A．11．在長方體中，，，分別為，的中點，則（    ）A．B．三棱錐的體積為C．三棱錐外接球的表面積為D．直線被三棱錐外接球截得的線段長為【答案】D【解析】假設(shè)，又因為，所以平面，所以，而在矩形中，顯然是不成立的，故選項A錯誤；三棱錐的體積為，故選項B錯誤；根據(jù)，，可知三棱錐外接球的直徑為，從而三棱錐外接球的表面積為，故選項C錯誤；球心為線段的中點，在中，球心到直線的距離等于點到直線的距離的一半，而點到直線的距離等于，所以球心到直線的距離等于，又該外接球的半徑為，所以直線被三棱錐外接球截得的線段長，故選項D正確，故選D．12．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前60項和等于（    ）A．1830 B．1820 C．1810 D．1800【答案】D【解析】當(dāng)為正奇數(shù)時，由題意可得，，兩式相加得；當(dāng)為正偶數(shù)時，由題意可得，，兩式相減得．因此，數(shù)列的前項和為，故選D． 第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．在中，若，，，則的面積為________．【答案】【解析】在中，由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)可得，即，解得或（舍），由面積公式可得的面積為，故答案為．14．已知x，y滿足約束條件，則的最大值是________．【答案】【解析】由題意，約束條件的可行域如圖陰影部分，由得；由得；由得，的幾何意義是可行域內(nèi)的點與點連線的斜率，所以z取得最大值，只需斜率取得最大值，由圖形可知PC連線的斜率取得最大值為，故答案為．15．已知點，，如果直線上有且只有一個點使得，那么實數(shù)的值為________．【答案】10【解析】由題意知，點P的軌跡是以為直徑的圓，圓的方程為，所以要使得直線上有且只有一個點P使得PA⊥PB，則此直線與圓相切，圓心，半徑為，所以，解得或（舍去），所以，故答案為10．16．正方體中，是的中點，是線段上的一點．給出下列命題：①平面中一定存在直線與平面垂直；②平面中一定存在直線與平面平行；③平面與平面所成的銳二面角不小于；④當(dāng)點從點移動到點E時，點到平面的距離逐漸減?。?/span>其中，所有真命題的序號是__________．【答案】②③④【解析】對于①：假設(shè)平面中存在直線l⊥面，則由面面垂直的判定定理可得：面⊥面．而在正方體中，面⊥面．因為是的中點，是線段上的一點，所以面與面不重合，所以過AC有兩個平面和均與面垂直，這與過平面內(nèi)一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直相矛盾，故假設(shè)不正確，所以①錯誤；對于②：過M作MN垂直A1D1于N，在AC上取一點Q，過Q作PQ⊥AD于P，且PQ=MN．則有，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，所以，又面MAC，面MAC，所以面MAC，故②正確；對于③：當(dāng)M與A1重合時，∠DAC即為二面角的平面角，此時∠DAC=45°．當(dāng)M與A1向E移動時，平面與平面所成的銳二面角在增大，所以平面與平面所成的銳二面角不小于；故③正確；對于④：當(dāng)M與A1重合時，D到面MAC的距離最大，當(dāng)M從A1向E移動時，點到平面的距離逐漸減小，故④正確，故答案為②③④． 三、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知點，直線，直線過點且與垂直，直線交圓于兩點．（1）求直線的方程；（2）求弦的長．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）直線的斜率為，則直線的斜率為，又過點，由點斜式方程可知直線為，即．（2）直線與圓相交，則圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以弦長．18．（12分）如圖，三棱柱中，底面，且為正三角形，為中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】證明：（1）連接交于點，連接，則點為的中點．∵為中點，得為中位線，∴，∵平面，平面，∴直線平面．（2）∵底面，平面，∴，∵底面正三角形，是的中點，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．19．（12分）在中，角所對應(yīng)的邊分別為，向量，且．（1）求角；（2）若，判斷的形狀．【答案】（1）；（2）直角三角形．【解析】（1）因為向量，且，所以，即，所以，可得，因為，所以，所以，所以．（2）因為，由正弦定理可得，因為，所以，即，所以，整理可得，所以，所以，因為，所以，所以或，所以或．當(dāng)時，，可得，此時是直角三角形，當(dāng)時，，可得，此時是直角三角形，綜上所述：是直角三角形．20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意得，解得，數(shù)列的通項公式為．（2），當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，，．21．（12分）已知二次函數(shù)．（1）若的解集為，解關(guān)于x的不等式；（2）若不等式對恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵的解集為，∴，，，∴，，故，從而，解得．（2）∵恒成立，∴，∴，∴，令，∵，∴，從而，∴，令．①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，∴的最大值為．22．（12分）在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型．點在棱上，滿足，點在棱上，滿足，要求同學(xué)們按照以下方案進行切割：（1）試在棱上確定一點，使得平面；（2）過點的平面交于點，沿平面將四棱錐模型切割成兩部分，在實施過程中為了方便切割，需先在模型中確定點的位置，請求出的值．【答案】（1）答案見解析；（2）．【解析】（1）由已知得，點在棱上，滿足，點在棱上，滿足，所以，取上靠近的四等分點為，則必有，則根據(jù)三角形相似，必有，使得平面．（2）延長，與延長交于，連接，并延長與的延長線交于，連接，交于，由（1）可得，即為的中點，由，可得為的中點，又，∴是的中點，由，可得為的中點，在等腰三角形中，為的中點，取的中點，連接，則，，所以，即 

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