1. 已知集合M＝{x|?11，x>lna時，恒成立，求實數a的取值范圍．
請考生在第22、23二題中任意選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．[選修4-4：坐標系與參數方程]

在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l1:θ＝(ρ∈R)與直線l2：ρcsθ+ρsinθ?4＝0交于點P．
（1）求點P的直角坐標；

（2）若直線l2與圓C：（α為參數）交于A，B兩點，求|PA|?|PB|的值．
[選修4-5：不等式選講]

已知函數f(x)＝|x+|+|x?a|(a>0)．
（1）當a＝1時，求不等式f(x)≥4的解集；

（2）證明：f(x)≥2．
參考答案與試題解析
2021年黑龍江省大慶市高考數學第一次質檢試卷（理科）（一模）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.
【答案】
A
【考點】
交集及其運算
【解析】
可求出集合N，然后進行交集的運算即可．
【解答】
∵ M＝{x|?10)的右頂點(a, 0)到其中一條漸近線bx+ay＝0的距離為，
可得＝＝，
可得＝2．
【答案】
6
【考點】
直線與平面平行
【解析】
建立合適的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，求出所需各點的坐標，求出所需的直線的方向向量和平面EFG的法向量，判斷直線的方向向量與平面的法向量的數量積是否為0，即可得到答案．
【解答】
如圖所示，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，
則B(2, 2, 0)，D1(0, 0, 2)，E(0, 1, 2)，
F(2, 0, 2)，G(1, 2, 0)，A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，
可得＝(?2, ?2, 2)，＝(2, ?1, ?1)，＝(1, 1, ?2)，
設平面EFG的法向量是＝(x, y, z)，
由，可得，
令x＝1，則y＝1，z＝1，所以＝(1, 1, 1)，
因為，
所以BD1與平面EFG不平行，
又，且，
所以AC與平面EFG平行，
又因為A1C1 // AC，
所以A1C1與平面EFG平行，
同理可得，A1B，D1C，AD1，BC1與平面EFG平行，
BD，B1D1，AB1，DC1，A1D，B1C與平面EFG不平行，
故與平面EFG平行的面對角線由6條．
三、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟．
【答案】
設數列{an}的公差為d，
當選擇條件①②時：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n?1)＝3n?2；
當選條件①③時：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n?1)＝3n?2；
當選條件②③時：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n?1)＝3n?2；
由（1）可得：bn＝2＝23n?2，
∴ Tn＝2+24+27+...+23n?2＝＝．
【考點】
數列的求和
等差數列的前n項和
【解析】
（1）由所選條件求解出數列{an}的首項a1與公差d，即可求得其通項公式；
（2）先由（1）求得bn，再利用公式法求其前n項和即可．
【解答】
設數列{an}的公差為d，
當選擇條件①②時：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n?1)＝3n?2；
當選條件①③時：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n?1)＝3n?2；
當選條件②③時：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n?1)＝3n?2；
由（1）可得：bn＝2＝23n?2，
∴ Tn＝2+24+27+...+23n?2＝＝．
【答案】
報名的學生共有126人，抽取比例為＝，
所以高一抽取63×＝6人，高二抽取42×＝4人，高三抽取21×＝2人．
隨機變量X的所有可能取值為2，3，4，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以隨機變量X的分布列為：
法一：（數字特征）前10天的平均值為23.5，后10天的平均值為20.5，
因為20.5lna，即x>0，
不等式對x>0恒成立，即ln(x?lna)+x?lna0恒成立，
令h(x)＝lnx+x，則不等式等價于h(x?lna)0恒成立，
因為x>0時，h′(x)＝恒成立，
所以h(x)在(0, +∞)上單調遞增，
所以x?lna0恒成立，即lna>x?ex?3對x>0恒成立，
由（1）可知，x?ex?3≤2，
所以lna>2，解得a>e2，
所以實數a的取值范圍為(e2, +∞)．
【考點】
利用導數研究函數的最值
【解析】
（1）構造函數g(x)＝f(x)?(x?2)＝ex?3?x+2，利用導數求出g(x)的最小值為0，故g(x)≥0，即可證明；
（2）將不等式恒成立轉化為ln(x?lna)+x?lna0恒成立，構造h(x)＝lnx+x，則不等式轉化為h(x?lna)0恒成立，然后利用導數研究函數h(x)的單調性，結合（1）中的結論求解即可．
【解答】
證明：令g(x)＝f(x)?(x?2)＝ex?3?x+2，則g′(x)＝ex?3?1，
當x0，則g(x)單調遞增，
所以當x＝3時，函數g(x)有最小值g(3)＝0，
故g(x)≥0，即f(x)≥x?2；
因為a>1，x>lna，即x>0，
不等式對x>0恒成立，即ln(x?lna)+x?lna0恒成立，
令h(x)＝lnx+x，則不等式等價于h(x?lna)0恒成立，
因為x>0時，h′(x)＝恒成立，
所以h(x)在(0, +∞)上單調遞增，
所以x?lna0恒成立，即lna>x?ex?3對x>0恒成立，
由（1）可知，x?ex?3≤2，
所以lna>2，解得a>e2，
所以實數a的取值范圍為(e2, +∞)．
請考生在第22、23二題中任意選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．[選修4-4：坐標系與參數方程]
【答案】
法一：
聯(lián)立，
解得，
所以點P的極坐標為，
所以點P的直角坐標為，即．
法二：
直線l1的直角坐標方程為①，
直線l2的直角坐標方程為②，
聯(lián)立①②解方程組得，
所以點P的直角坐標為．
直線l2的直角坐標方程為，傾斜角為120°，
所以直線l2的參數方程為（t為參數）①，
圓C的普通方程為x2+y2②
將①代入②得．
設點A，B對應的參數分別為t1，t2，
則．
【考點】
參數方程與普通方程的互化
圓的極坐標方程
【解析】
（1）直接利用轉換關系，在參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；
（2）利用一元二次方程根和系數關系式的應用求出結果．
【解答】
法一：
聯(lián)立，
解得，
所以點P的極坐標為，
所以點P的直角坐標為，即．
法二：
直線l1的直角坐標方程為①，
直線l2的直角坐標方程為②，
聯(lián)立①②解方程組得，
所以點P的直角坐標為．
直線l2的直角坐標方程為，傾斜角為120°，
所以直線l2的參數方程為（t為參數）①，
圓C的普通方程為x2+y2②
將①代入②得．
設點A，B對應的參數分別為t1，t2，
則．
[選修4-5：不等式選講]
【答案】
當a＝1時，f(x)＝|x+1|+|x?1|．
當x≤?1時，f(x)＝?x?1?x+1＝?2x≥4，解得x≤?2；
當?1

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