?2021-2022學年浙江省寧波市鄞州區(qū)藍青學校九年級（上）期中數(shù)學試卷
一、選擇題（每小題5分，共40分）
1．（5分）“下滑數(shù)”是一個數(shù)中右邊數(shù)字比左邊數(shù)字小的自然數(shù)（如：32，641，8531等），任取一個兩位數(shù)，是“下滑數(shù)”的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．（5分）拋物線y＝x2+4x+5是由拋物線y＝x2+1經(jīng)過某種平移得到，則這個平移可以表述為（　?。?br /> A．向左平移1個單位 B．向左平移2個單位
C．向右平移1個單位 D．向右平移2個單位
3．（5分）∠α是△ABC三個內(nèi)角中的最小角，則（　?。?br /> A．0＜cosα≤ B．0＜cosα≤ C．cosα＜1 D．≤cosα
4．（5分）已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1．其中正確的結論是（　?。?br />
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
5．（5分）如圖，A、B是雙曲線上的點，A、B兩點的橫坐標分別是a、2a，線段AB的延長線交x軸于點C，若S△AOC＝9．則k的值是（　?。?br />
A．9 B．6 C．5 D．4
6．（5分）矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知B（2，2），點A在x軸上，點C在y軸上，P是對角線OB上一動點（不與原點重合），連接PC，過點P作PD⊥PC，交x軸于點D．下列結論：
①OA＝BC＝2；
②當點D運動到OA的中點處時，PC2+PD2＝7；
③在運動過程中，∠CDP是一個定值；
④當△ODP為等腰三角形時，點D的坐標為（，0）．
其中正確結論的個數(shù)是（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（5分）如圖，在鈍角△ABC中，BC＝1，∠A＝30°，D為BC邊的中點，G為△ABC的重心，若B、C為定點，當點A運動時，線段GD的長度的取值范圍是（　?。?br />
A．0＜GD≤ B．0 C． D．≤GD
8．（5分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連接AP，取AP中點Q，連接CQ，則線段CQ的最大值為（　?。?br />
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
二、填空題（每小題5分，共40分）
9．（5分）已知拋物線y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常數(shù)），若0≤x≤1時，函數(shù)y有最大值﹣5，則m的值為　 ?。?br /> 10．（5分）如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑作⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為　 ?。?br />
11．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在斜邊AB上分別截取AD＝AC，BE＝BC，DE＝6，
點O是△CDE的外心，如圖所示，則點O到△ABC的三邊的距離之和是　 　．

12．（5分）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則tan∠APD的值為　 　．

13．（5分）如圖，正方形ABCD的邊長為25，內(nèi)部有6個全等的正方形，小正方形的頂點E、F、G、H分別落在邊AD、AB、BC、CD上，則每個小正方形的邊長為　 　．

14．（5分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以點C為圓心，4為半徑的圓上有一動點D，連接AD，BD，CD，則BD+AD的最小值是　 ?。?br />
15．（5分）如圖，矩形ABCD的長為6，寬為4，以D為圓心，DC為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O相交于點F，連接CF并延長交BA的延長線于點H，F(xiàn)H?FC＝　 ?。?br />
16．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設BQ＝x，QR＝y(tǒng)．如果在點P運動的過程中，使△PQR成為等腰三角形，則x的值是　 ?。?br />
三、解答題（共70分）
17．（18分）解下列各題：
（1）已知＝＝≠0，求的值；
（2）在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值；
（3）已知頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形（底邊長與腰長的比值為黃金分割比）．如圖，△ABC，△BDC，△DEC都是黃金三角形，且AB＝1，求CE的長．

18．（10分）兩人要去某風景區(qū)游玩，每天某一時段開往該風景區(qū)有三輛汽車（票價相同），但是他們不知道這些車的舒適程度，也不知道汽車開過來的順序．兩人采用了不同的乘車方案：
甲無論如何總是上開來的第一輛車，而乙則是先觀察后上車，當?shù)谝惠v車開來時，他不上車，而是仔細觀察車的舒適狀況．如果第二輛車的狀況比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛不比第一輛好，他就上第三輛車．如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等，請嘗試著解決下面的問題：
（1）三輛車按出現(xiàn)的先后順序共有哪幾種不同的可能情況？請你列舉出來．
（2）你認為甲、乙倆采用的方案，哪一種方案使自己乘坐舒適程度為上等的車的可能性大？為什么？
19．（12分）如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊．以AC為直徑的⊙O，交BC于D，過O作OE∥BC，交OD于E，連接AD、AE、CE．
（1）求證：∠ACE＝∠DCE；
（2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度數(shù)；
（3）若AC＝4，，求CF的長．

20．（14分）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．
（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．
（3）如圖2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

21．（16分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過原點O，它的對稱軸為直線x＝2．動點P從拋物線的頂點A出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設動點P運動的時間為t秒．連接OP并延長交拋物線于點B，連接AO、AB．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）當A，O，B三點構成以OB為斜邊的直角三角形時，求t的值；
（3）請你探究：當4≤t≤5時，在點P運動過程中，△AOB的外接圓圓心M所經(jīng)過的路線長度是　 ?。ㄕ堅跈M線上直接寫出答案即可）．


2021-2022學年浙江省寧波市鄞州區(qū)藍青學校九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題5分，共40分）
1．（5分）“下滑數(shù)”是一個數(shù)中右邊數(shù)字比左邊數(shù)字小的自然數(shù)（如：32，641，8531等），任取一個兩位數(shù)，是“下滑數(shù)”的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】讓“下滑數(shù)”的總個數(shù)除以兩位數(shù)的總個數(shù)即為所求的概率．
【解答】解：根據(jù)題意：兩位數(shù)的個數(shù)是99﹣10+1＝90個，而是“下滑數(shù)”的數(shù)有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45個，所以任取一個兩位數(shù)，是“下滑數(shù)”的概率是＝．故選A．
2．（5分）拋物線y＝x2+4x+5是由拋物線y＝x2+1經(jīng)過某種平移得到，則這個平移可以表述為（　?。?br /> A．向左平移1個單位 B．向左平移2個單位
C．向右平移1個單位 D．向右平移2個單位
【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．
【解答】解：原拋物線的頂點為（0，1），新拋物線的頂點為（﹣2，1），
∴是拋物線y＝x2+1向左平移2個單位得到，
故選：B．
3．（5分）∠α是△ABC三個內(nèi)角中的最小角，則（　?。?br /> A．0＜cosα≤ B．0＜cosα≤ C．cosα＜1 D．≤cosα
【分析】根據(jù)∠α是△ABC三個內(nèi)角中的最小角可得0°＜∠α≤60°，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得答案．
【解答】解：∵∠α是△ABC三個內(nèi)角中的最小角，
∴0°＜∠α≤60°，
∵cos60°＝，cos0°＝1，
∴，
故選：C．
4．（5分）已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1．其中正確的結論是（　?。?br />
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
【解答】解：①∵拋物線的開口向上，
∴a＞0，
∵與y軸的交點為在y軸的負半軸上，
∴c＜0，
∵對稱軸為x＝﹣＜0，
∴a、b同號，即b＞0，
∴abc＜0，
故本選項錯誤；
②當x＝1時，函數(shù)值為2，
∴a+b+c＝2；
故本選項正確；
③∵對稱軸x＝﹣＞﹣1，a＞0，
解得：＜a，
∵b＞1，
∴a＞，
故本選項錯誤；
④當x＝﹣1時，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
又∵a+b+c＝2，
∴a+c＝2﹣b，
∴2﹣b＜b，
∴b＞1
故本選項正確；
綜上所述，其中正確的結論是②④；
故選：D．
5．（5分）如圖，A、B是雙曲線上的點，A、B兩點的橫坐標分別是a、2a，線段AB的延長線交x軸于點C，若S△AOC＝9．則k的值是（　　）

A．9 B．6 C．5 D．4
【分析】作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，設反比例函數(shù)解析式為y＝（k＞0），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得A、B兩點的縱坐標分別是、，再證明△CEB∽△CDA，利用相似比得到＝＝＝，則DE＝CE，由OD：OE＝a：2a＝1：2，則OD＝DE，所以OD＝OC，根據(jù)三角形面積公式得到S△AOD＝S△AOC＝×9＝3，然后利用反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義得|k|＝3，易得k＝6．
【解答】解：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，如圖，
設反比例函數(shù)解析式為y＝（k＞0），
∵A、B兩點的橫坐標分別是a、2a，
∴A、B兩點的縱坐標分別是、，
∵AD∥BE，
∴△CEB∽△CDA，
∴＝＝＝，
∴DE＝CE，
∵OD：OE＝a：2a＝1：2，
∴OD＝DE，
∴OD＝OC，
∴S△AOD＝S△AOC＝×9＝3，
∴|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝6．
故選：B．

6．（5分）矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知B（2，2），點A在x軸上，點C在y軸上，P是對角線OB上一動點（不與原點重合），連接PC，過點P作PD⊥PC，交x軸于點D．下列結論：
①OA＝BC＝2；
②當點D運動到OA的中點處時，PC2+PD2＝7；
③在運動過程中，∠CDP是一個定值；
④當△ODP為等腰三角形時，點D的坐標為（，0）．
其中正確結論的個數(shù)是（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】①根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到OA＝BC＝2；故①正確；
②由點D為OA的中點，得到OD＝OA＝，根據(jù)勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正確；
③如圖，過點P作PF⊥OA于F，F(xiàn)P的延長線交BC于E，PE＝a，則PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BE＝PE＝a，求得CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到FD＝，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠PDC＝60°，故③正確；
④當△ODP為等腰三角形時，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合題意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合題意舍去；于是得到當△ODP為等腰三角形時，點D的坐標為（，0）．故④錯誤．
【解答】解：①∵四邊形OABC是矩形，B（2，2），
∴OA＝BC＝2；故①正確；
②∵點D為OA的中點，
∴OD＝OA＝，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正確；
③如圖，過點P作PF⊥OA于F，F(xiàn)P的延長線交BC于E，
∴PE⊥BC，四邊形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2，
設PE＝a，則PF＝EF﹣PE＝2﹣a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，
∴BE＝PE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
∵∠CPE+∠PCE＝90°，
∴∠FPD＝∠ECP，
∵∠CEP＝∠PFD＝90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴＝，
∴tan∠PDC＝＝＝＝，
∴∠PDC＝60°，故③正確；
④∵B（2，2），四邊形OABC是矩形，
∴OA＝2，AB＝2，
∵tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝30°，
當△ODP為等腰三角形時，
Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠ODP＝120°，
∴∠ODC＝60°，
∴OD＝OC＝，
Ⅱ、當D在x軸的正半軸上時，OP＝OD，
∴∠ODP＝∠OPD＝75°，
∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合題意舍去；
當D在x軸的負半軸上時，OP′＝OD′，
∵∠AOB＝30°，
∴∠D′OP′＝150°，
∵∠CP′D′＝90°，
∴∠CP′O＝105°，
∵∠COP′＝60°，
∴∠OCP′＝15°，
∴∠BCP′＝75°，
∴∠CP′B＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴BC＝BP′＝2，
∴OD′＝OP′＝4﹣2，
∴D（2﹣4，0）；
Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°故不合題意舍去，
∴當△ODP為等腰三角形時，點D的坐標為（2﹣4，0）或（，0）．故④錯誤，
故選：C．


7．（5分）如圖，在鈍角△ABC中，BC＝1，∠A＝30°，D為BC邊的中點，G為△ABC的重心，若B、C為定點，當點A運動時，線段GD的長度的取值范圍是（　?。?br />
A．0＜GD≤ B．0 C． D．≤GD
【分析】根據(jù)A點變動，度數(shù)不動，可把∠A置于以BC為弦的圓中，求DG的取值即可．
【解答】解：在圖中30°的弓形弧BC

令MB⊥BC，NC⊥BC，
由題意知，A點在不含端點的BM、CN上．且BD＜AD＜DM，
在Rt△BCM中，BC＝1，∠BMC＝30°，
∴BM＝＝，
在Rt△BDM中，BD＝，BM＝，
∴DM＝＝＝
故＜DG＜，
∴＜DG＜．
故選：C．
8．（5分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連接AP，取AP中點Q，連接CQ，則線段CQ的最大值為（　?。?br />
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【分析】如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．首先證明點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題；
【解答】解：如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．

∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，
當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大（也可以通過CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝＝，
∴CQ的最大值為1+，
故選：D．
二、填空題（每小題5分，共40分）
9．（5分）已知拋物線y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常數(shù)），若0≤x≤1時，函數(shù)y有最大值﹣5，則m的值為　﹣5或?。?br /> 【分析】將拋物線解析式變形為頂點式可得出拋物線開口方向及對稱軸，分m＜0、0≤m≤2以及m＞2三種情況畫出函數(shù)圖象，由當0≤x≤1時，函數(shù)y有最大值﹣5，即可得出關于m的方程，解之即可得出結論．
【解答】解：∵y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2＝﹣4（x﹣）2﹣4m，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝．
當＜0，即m＜0時，x＝0時y取最大值（如圖1所示），
∴﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（不合題意，舍去）；
當0≤≤1，即0≤m≤2時，x＝時y取最大值（如圖2所示），
∴﹣4m＝﹣5，
解得：m3＝；
當＞1，即m＞2時，x＝1時y取最大值（如圖3所示），
∴﹣4+4m﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m4＝﹣1（不合題意，舍去），m5＝1（不合題意，舍去）．
綜上所述，m的值為﹣5或．
故答案為：﹣5或．

10．（5分）如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑作⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為　?。?br />
【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF＝2EH＝2OE?sin∠EOH＝2OE?sin60°，當半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF＝2EH，即可求出答案．
【解答】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，
如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，即此時圓的直徑為2，
由圓周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE?sin∠EOH＝×＝，
由垂徑定理可知EF＝2EH＝，
故答案為：．

11．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在斜邊AB上分別截取AD＝AC，BE＝BC，DE＝6，
點O是△CDE的外心，如圖所示，則點O到△ABC的三邊的距離之和是　9?。?br />
【分析】首先證明點O是△ABC的內(nèi)心，由r＝（AC+BC﹣AB）＝（AD+BE﹣AB）＝DE，即可解決問題．
【解答】解：由題意點O是EC、CD垂直平分線的交點，
∵AD＝AC，BE＝BC，
∴EC的垂直平分線經(jīng)過B且平分∠B，CD的垂直平分線經(jīng)過A且平分∠A，
∴O是△ABC的內(nèi)心，
則r＝（AC+BC﹣AB）＝（AD+BE﹣AB）＝DE＝3，
∴點O到△ABC的三邊的距離之和是3r＝9，
故答案為9．
12．（5分）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則tan∠APD的值為　2?。?br />
【分析】首先連接BE，由題意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的對應邊成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，繼而求得答案．
【解答】解：如圖，連接BE，
∵四邊形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根據(jù)題意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案為：2
13．（5分）如圖，正方形ABCD的邊長為25，內(nèi)部有6個全等的正方形，小正方形的頂點E、F、G、H分別落在邊AD、AB、BC、CD上，則每個小正方形的邊長為　?。?br />
【分析】如圖，過點G作GP⊥AD，垂足為P，可以得到△BGF∽△PGE，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)列式求解即可得到DE和BG，根據(jù)勾股定理可求EG的長，進而求出每個小正方形的邊長．
【解答】解：如圖所示：
∵正方形ABCD邊長為25，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝25，
過點G作GP⊥AD，垂足為P，則∠4＝∠5＝90°，
∴四邊形APGB是矩形，
∴∠2+∠3＝90°，PG＝AB＝25，
∵六個大小完全一樣的小正方形如圖放置在大正方形中，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠FGB，
∴△BGF∽△PGE，
∴＝，
∴＝，
∴GB＝5．
∴AP＝5．
同理DE＝5．
∴PE＝AD﹣AP﹣DE＝15，
∴EG＝＝5，
∴小正方形的邊長為．
故答案為：．

14．（5分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以點C為圓心，4為半徑的圓上有一動點D，連接AD，BD，CD，則BD+AD的最小值是　2?。?br />
【分析】如圖，在CB上取一點F，使得CF＝2，連接FD，AF．由△FCD∽△DCB，推出＝＝，推出DF＝BD，推出BD+AD＝DF+AF，根據(jù)DF+AD≥AF即可解決問題；
【解答】解：如圖，在CB上取一點F，使得CF＝2，連接FD，AF．

∴CD＝4，CF＝2，CB＝8，
∴CD2＝CF?CB，
∴＝，
∵∠FCD＝∠DCB，
∴△FCD∽△DCB，
∴＝＝，
∴DF＝BD，
∴BD+AD＝DF+AF，
∵DF+AD≥AF，AF＝＝2，
∴BD+AD的最小值是2，
故答案為2．
15．（5分）如圖，矩形ABCD的長為6，寬為4，以D為圓心，DC為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O相交于點F，連接CF并延長交BA的延長線于點H，F(xiàn)H?FC＝　?。?br />
【分析】連接BF、OF、OD，OD交CH于K．首先證明OD垂直平分線段CF，利用面積法求出CK、FK，利用勾股定理求出OK，利用三角形的中位線定理求出BF，再利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
【解答】解：連接BF、OF、OD，OD交CH于K．

∵DF＝DC，OF＝OC，
∴OD垂直平分線段CF，
∴CK＝KF＝＝，OK＝＝，
∵OB＝OC，CK＝KF，
∴BF＝2OK＝，
∵BC是直徑，
∴∠BFC＝90°，
∵∠CBH＝90°，
∴∠CBF+∠FCB＝90°，∠HBF+∠FBC＝90°，
∴∠HBF＝∠FCB，∵∠BFH＝∠BFC＝90°，
∴△BFH∽△CFB，
∴BF2＝CF?FH＝．
故答案為．
16．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設BQ＝x，QR＝y(tǒng)．如果在點P運動的過程中，使△PQR成為等腰三角形，則x的值是　、6、?。?br />
【分析】根據(jù)題畫出圖形，根據(jù)圖形進行討論：
①當PQ＝PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM＝RM．由于∠1+∠2＝90°，∠C+∠2＝90°即∠1＝∠C．根據(jù)三角函數(shù)即可求出x的值；
②當PQ＝RQ時，﹣x+6＝，x＝6；
③當PR＝QR時，則R為PQ中垂線上的點，于是點R為EC的中點，故CR＝CE＝AC＝2．由于tanC＝＝，x＝．
【解答】解：存在，設BQ＝x，QR＝y(tǒng)，
∵QR∥AB，
∴∠QRC＝∠A＝90°．
∵∠C＝∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴＝，∴＝，
∴y＝﹣x+6，
分三種情況：
①當PQ＝PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM＝RM．
∵∠1+∠2＝90°，∠C+∠2＝90°，
∴∠1＝∠C．
∴cos∠1＝cosC＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴x＝．
②當PQ＝RQ時，﹣x+6＝，
∴x＝6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
當PR＝QR時，則R為PQ中垂線上的點，
∴EN＝MN，
∴ER＝RC，
∴點R為EC的中點，
∴CR＝CE＝AC＝2．
∵tanC＝＝，
∴＝，
∴x＝．
綜上所述，當x為或6或時，△PQR為等腰三角形．

三、解答題（共70分）
17．（18分）解下列各題：
（1）已知＝＝≠0，求的值；
（2）在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值；
（3）已知頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形（底邊長與腰長的比值為黃金分割比）．如圖，△ABC，△BDC，△DEC都是黃金三角形，且AB＝1，求CE的長．

【分析】（1）設＝＝＝k，進而得到a＝6k，b＝5k，c＝4k，代入計算即可；
（2）根據(jù)完全平方公式、sin2A+sin2B＝1計算即可；
（3）根據(jù)黃金比值為依次計算即可．
【解答】解：（1）設＝＝＝k，
則a＝6k，b＝5k，c＝4k，
∴＝＝＝；
（2）∵sinA+sinB＝，
∴（sinA+sinB）2＝，即sin2A+2sinBsinA+sin2B＝，
∴2sinBsinA＝，
∴（sinA﹣sinB）2＝sin2A﹣2sinBsinA+sin2B＝，
∴sinA﹣sinB＝±；
（3）∵△ABC是黃金三角形，AB＝1，
∴BC＝AB＝，
∵△BDC是黃金三角形，
∴CD＝BC＝×＝，
∵△DEC是黃金三角形，
∴EC＝CD＝×＝﹣2．
18．（10分）兩人要去某風景區(qū)游玩，每天某一時段開往該風景區(qū)有三輛汽車（票價相同），但是他們不知道這些車的舒適程度，也不知道汽車開過來的順序．兩人采用了不同的乘車方案：
甲無論如何總是上開來的第一輛車，而乙則是先觀察后上車，當?shù)谝惠v車開來時，他不上車，而是仔細觀察車的舒適狀況．如果第二輛車的狀況比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛不比第一輛好，他就上第三輛車．如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等，請嘗試著解決下面的問題：
（1）三輛車按出現(xiàn)的先后順序共有哪幾種不同的可能情況？請你列舉出來．
（2）你認為甲、乙倆采用的方案，哪一種方案使自己乘坐舒適程度為上等的車的可能性大？為什么？
【分析】（1）利用列舉法整數(shù)展示所有6種可能的結果；
（3）利用列表法展示甲乙乘車的所有結果，然后計算他們乘坐上等車的概率，再比較概率的大?。?br /> 【解答】解：（1）三輛車開來的先后順序有6種可能：
（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）；

（2）列表如下：
順序
甲
乙
上、中、下
上
下
上、下、中
上
中
中、上、下
中
上
中、下、上
中
上
下、上、中
下
上
下、中、上
下
中
甲乘上、中、下三輛車的概率都是；
而乙乘上等車的概率＝＝，
所以乙乘坐舒適程度為上等的車的可能性大．
19．（12分）如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊．以AC為直徑的⊙O，交BC于D，過O作OE∥BC，交OD于E，連接AD、AE、CE．
（1）求證：∠ACE＝∠DCE；
（2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度數(shù)；
（3）若AC＝4，，求CF的長．

【分析】（1）易證∠OEC＝∠OCE，∠OEC＝∠ECD，從而可知∠OCE＝∠ECD，即∠ACE＝∠DCE；
（2）延長AE交BC于點G，易證∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°，由于OE∥BC，所以∠AEO＝∠AGC＝60°，所以∠EAO＝∠AEO＝60°；
（3）易證，由于，所以＝，由圓周角定理可知∠AEC＝∠FDC＝90°，從而可證明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：（1）∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵OE∥BC，
∴∠OEC＝∠ECD，
∴∠OCE＝∠ECD，
即∠ACE＝∠DCE，
（2）延長AE交BC于點G，
∵∠AGC是△ABG的外角，
∴∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°，
∵OE∥BC，
∴∠AEO＝∠AGC＝60°，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO＝60°
（3）∵O是AC中點
∴，
∵，
∴＝，
∵AC是直徑，
∴∠AEC＝∠FDC＝90°，
∵∠ACE＝∠FCD
∴△CDF∽△CEA，
∴＝，
∴CF＝CA＝

20．（14分）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．
（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．
（3）如圖2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三種情形討論即可①如圖2，當AD＝CD時，②如圖3中，當AD＝AC時，③如圖4中，當AC＝CD時，分別求出∠ACB即可．
（3）設BD＝x，利用△BCD∽△BAC，得＝，列出方程即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖1中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD為等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割線．
（2）①當AD＝CD時，如圖2，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
②當AD＝AC時，如圖3中，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．
③當AC＝CD時，如圖4中，∠ADC＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄．
∴∠ACB＝96°或114°．
（3）由已知AC＝AD＝2，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，設BD＝x，
∴（）2＝x（x+2），
∵x＞0，
∴x＝﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝＝，
∴CD＝×2＝﹣．




21．（16分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過原點O，它的對稱軸為直線x＝2．動點P從拋物線的頂點A出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設動點P運動的時間為t秒．連接OP并延長交拋物線于點B，連接AO、AB．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）當A，O，B三點構成以OB為斜邊的直角三角形時，求t的值；
（3）請你探究：當4≤t≤5時，在點P運動過程中，△AOB的外接圓圓心M所經(jīng)過的路線長度是　?。ㄕ堅跈M線上直接寫出答案即可）．

【分析】（1）由拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過原點O且對稱軸是直線x＝2，知c＝0，﹣＝2，求得b的值即可得出答案；
（2）設點B（a，a2﹣4a），由y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4知A（2，﹣4），利用勾股定理和兩點距離公式可求a的值，即可求t的值；
（3）當點P運動時，△AOB的外接圓圓心M在線段OA的垂直平分線上運動，則點M所經(jīng)過的路線是一條線段，分別求出t＝4和t＝5時，圓心M的坐標，即可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過原點O，且對稱軸是直線x＝2，
∴c＝0，﹣＝2，
則b＝﹣4、c＝0，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x；

（2）設點B（a，a2﹣4a），
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴點A（2，﹣4），
∵OB為斜邊
∴OB2＝OA2+AB2，則a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，
解得a＝2（舍）或a＝，
∴B（，﹣），
則直線OB解析式為y＝﹣x，
當x＝2時，y＝﹣3，即P（2，﹣3），
∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；
（3）∵當點P運動時，△AOB的外接圓圓心M在線段OA的垂直平分線上運動，
∴點M所經(jīng)過的路線是一條線段，
當t＝4時，點P運動到（2，0），此時點M是OA的垂直平分線和直線x＝2的交點，
∵點A（2，﹣4），點O（0，0）
∴直線AO解析式為：y＝﹣2x，
∴OA的垂直平分線的解析式為y＝x﹣，
∴當x＝2，y＝﹣，
∴點M（2，﹣），
當t＝5時，點P運動到P'（2，1），
∵P'（2，1），點A（2，﹣4），點O（0，0）
∴AP'＝5，OA＝2，OP'＝，
∵AP'2＝25＝OA2+OP'2，
∴OP'⊥OA，
∴直線OP'的解析式為：y＝x，
∴聯(lián)立方程組
∴或
∴點B'（，），
∵此時△AB'O的外接圓的圓心M'是AB'的中點，
∴點M'（，﹣）
∴MM'＝＝，
故答案為．


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