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2015年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
　
一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（文科）
1．（5分）（2015?廣東）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}則M∩N=（　?。?br /> A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}
2．（5分）（2015?廣東）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1+i）2=（　?。?br /> A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
3．（5分）（2015?廣東）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（　?。?br /> A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+ D．y=x2+sinx
4．（5分）（2015?廣東）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+3y的最大值為（　?。?br /> A．2 B．5 C．8 D．10
5．（5分）（2015?廣東）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，則b=（　?。?br /> A．3 B．2 C．2 D．
6．（5分）（2015?廣東）若直線 l1和l2 是異面直線，l1在平面 α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交
7．（5分）（2015?廣東）已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為（　?。?br /> A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
8．（5分）（2015?廣東）已知橢圓+=1（m＞0 ）的左焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），則m=（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．9
9．（5分）（2015?廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，=（1，﹣2），=（2，1）則?=（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（5分）（2015?廣東）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F(xiàn)={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素個(gè)數(shù)，則 card（E）+card（F）=（　?。?br /> A．200 B．150 C．100 D．50
　
二、填空題（共3小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分）（一）必做題（11～13題）
11．（5分）（2015?廣東）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集為　　　　　　．（用區(qū)間表示）
12．（5分）（2015?廣東）已知樣本數(shù)據(jù) x1，x2，…，xn的均值=5，則樣本數(shù)據(jù) 2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值為　　　　　?。?br /> 13．（5分）（2015?廣東）若三個(gè)正數(shù) a，b，c 成等比數(shù)列，其中a=5+2，c=5﹣2，則 b=　　　　　?。?br /> 　
坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題
14．（5分）（2015?廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲線C2的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為　　　　　?。?br /> 　
幾何證明選講選做題
15．（2015?廣東）如圖，AB為圓O的直徑，E為AB 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)E作圓O的切線，切點(diǎn)為C，過(guò)A作直線EC的垂線，垂足為D．若AB=4．CE=2，則 AD=　　　　　?。?br />
　
三、解答題（共6小題，滿分80分）
16．（12分）（2015?廣東）已知 tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求 的值．
17．（12分）（2015?廣東）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分組的頻率分布直方圖如圖．

（1）求直方圖中x的值；
（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
（3）在月平均用電量為，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240）的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
18．（14分）（2015?廣東）如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）證明：BC∥平面PDA；
（2）證明：BC⊥PD；
（3）求點(diǎn)C 到平面PDA的距離．

19．（14分）（2015?廣東）設(shè)數(shù)列 {an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．
（1）求a4的值；
（2）證明：{an+1﹣an}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
20．（14分）（2015?廣東）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求圓C1的圓心坐標(biāo)；
（2）求線段AB 的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（3）是否存在實(shí)數(shù) k，使得直線L：y=k（x﹣4）與曲線 C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
21．（14分）（2015?廣東）設(shè) a為實(shí)數(shù)，函數(shù) f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范圍；
（2）討論 f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a≥2 時(shí)，討論f（x）+ 在區(qū)間 （0，+∞）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
　

2015年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（文科）
1．（5分）（2015?廣東）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}則M∩N=（　?。?br /> A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}
【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】集合．
【分析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．
【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】考查列舉法表示集合，交集的概念及運(yùn)算．
　
2．（5分）（2015?廣東）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1+i）2=（　?。?br /> A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．
【分析】利用完全平方式展開(kāi)化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算；注意i2=﹣1．
　
3．（5分）（2015?廣東）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（　?。?br /> A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+ D．y=x2+sinx
【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】利用函數(shù)奇偶性的判斷方法對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇．
【解答】解：四個(gè)選項(xiàng)中，函數(shù)的定義域都是R，
對(duì)于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函數(shù)；
對(duì)于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函數(shù)；
對(duì)于C，，是偶函數(shù)；
對(duì)于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函數(shù)；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，判斷f（﹣x）與f（x）的關(guān)系，相等就是偶函數(shù)，相反就是奇函數(shù)．
　
4．（5分）（2015?廣東）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+3y的最大值為（　?。?br /> A．2 B．5 C．8 D．10
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】不等式的解法及應(yīng)用．
【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分），
由z=2x+3y，得y=，
平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=的截距最大，此時(shí)z最大．
由，解得，
即B（4，﹣1）．
此時(shí)z的最大值為z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．
　
5．（5分）（2015?廣東）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，則b=（　?。?br /> A．3 B．2 C．2 D．
【考點(diǎn)】正弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計(jì)算題；解三角形．
【分析】運(yùn)用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解關(guān)于b的方程，結(jié)合b＜c，即可得到b=2．
【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，
由余弦定理可得，
a2=b2+c2﹣2bccosA，
即有4=b2+12﹣4×b，
解得b=2或4，
由b＜c，可得b=2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的余弦定理及應(yīng)用，主要考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．
　
6．（5分）（2015?廣東）若直線 l1和l2 是異面直線，l1在平面 α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交
【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】空間位置關(guān)系與距離．
【分析】可以畫(huà)出圖形來(lái)說(shuō)明l與l1，l2的位置關(guān)系，從而可判斷出A，B，C是錯(cuò)誤的，而對(duì)于D，可假設(shè)不正確，這樣l便和l1，l2都不相交，這樣可退出和l1，l2異面矛盾，這樣便說(shuō)明D正確．
【解答】解：A．l與l1，l2可以相交，如圖：
∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．l可以和l1，l2中的一個(gè)平行，如上圖，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．l可以和l1，l2都相交，如下圖：
，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．“l(fā)至少與l1，l2中的一條相交”正確，假如l和l1，l2都不相交；
∵l和l1，l2都共面；
∴l(xiāng)和l1，l2都平行；
∴l(xiāng)1∥l2，l1和l2共面，這樣便不符合已知的l1和l2異面；
∴該選項(xiàng)正確．
故選D．
【點(diǎn)評(píng)】考查異面直線的概念，在直接說(shuō)明一個(gè)命題正確困難的時(shí)候，可說(shuō)明它的反面不正確．
　
7．（5分）（2015?廣東）已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為（　?。?br /> A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．
【分析】首先判斷這是一個(gè)古典概型，而基本事件總數(shù)就是從5件產(chǎn)品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步計(jì)數(shù)原理求解，最后帶入古典概型的概率公式即可．
【解答】解：這是一個(gè)古典概型，從5件產(chǎn)品中任取2件的取法為；
∴基本事件總數(shù)為10；
設(shè)“選的2件產(chǎn)品中恰有一件次品”為事件A，則A包含的基本事件個(gè)數(shù)為=6；
∴P（A）==0.6．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件總數(shù)的概念，掌握組合數(shù)公式，分步計(jì)數(shù)原理．
　
8．（5分）（2015?廣東）已知橢圓+=1（m＞0 ）的左焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），則m=（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．9
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．
【分析】利用橢圓+=1（m＞0 ）的左焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．
【解答】解：∵橢圓+=1（m＞0 ）的左焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），
∴25﹣m2=16，
∵m＞0，
∴m=3，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．
　
9．（5分）（2015?廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，=（1，﹣2），=（2，1）則?=（　?。?br /> A．5 B．4 C．3 D．2
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．
【分析】由向量加法的平行四邊形法則可求=的坐標(biāo)，然后代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求
【解答】解：由向量加法的平行四邊形法則可得，==（3，﹣1）．
∴=3×2+（﹣1）×1=5．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量加法的平行四邊形法則及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題．
　
10．（5分）（2015?廣東）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F(xiàn)={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素個(gè)數(shù)，則 card（E）+card（F）=（　?。?br /> A．200 B．150 C．100 D．50
【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題；子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換；Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】開(kāi)放型；集合；排列組合．
【分析】對(duì)于集合E，s=4時(shí)，p，q，r從0，1，2，3任取一數(shù)都有4種取法，從而構(gòu)成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64個(gè)，再討論s=3，2，1的情況，求法一樣，把每種情況下元素個(gè)數(shù)相加即可得到集合E的元素個(gè)數(shù)，而對(duì)于集合F，需討論兩個(gè)數(shù)：u，w，方法類似，最后把求得的集合E，F(xiàn)元素個(gè)數(shù)相加即可．
【解答】解：（1）s=4時(shí)，p，q，r的取值的排列情況有4×4×4=64種；
s=3時(shí)，p，q，r的取值的排列情況有3×3×3=27種；
s=2時(shí)，有2×2×2=8種；
s=1時(shí)，有1×1×1=1種；
∴card（E）=64+27+8+1=100；
（2）u=4時(shí)：若w=4，t，v的取值的排列情況有4×4=16種；
若w=3，t，v的取值的排列情況有4×3=12種；
若w=2，有4×2=8種；
若w=1，有4×1=4種；
u=3時(shí)：若w=4，t，v的取值的排列情況有3×4=12種；
若w=3，t，v的取值的排列情況有3×3=9種；
若w=2，有3×2=6種；
若w=1，有3×1=3種；
u=2時(shí)：若w=4，t，v的取值的排列情況有2×4=8種；
若w=3，有2×3=6種；
若w=2，有2×2=4種；
若w=1，有2×1=2種；
u=1時(shí)：若w=4，t，v的取值的排列情況有1×4=4種；
若w=3，有1×3=3種；
若w=2，有1×2=2種；
若w=1，有1×1=1種；
∴card（F）=100；
∴card（E）+card（F）=200．
故選A．
【點(diǎn)評(píng)】考查描述法表示集合，分布計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意要弄清討論誰(shuí)，做到不重不漏．
　
二、填空題（共3小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分）（一）必做題（11～13題）
11．（5分）（2015?廣東）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集為?。ī?，1）　．（用區(qū)間表示）
【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】不等式的解法及應(yīng)用．
【分析】首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，然后利用因式分解法解之．
【解答】解：原不等式等價(jià)于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；
所以不等式的解集為（﹣4，1）；
故答案為：（﹣4，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法；一般的首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庵?；屬于基礎(chǔ)題．
　
12．（5分）（2015?廣東）已知樣本數(shù)據(jù) x1，x2，…，xn的均值=5，則樣本數(shù)據(jù) 2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值為　11?。?br /> 【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．
【分析】利用平均數(shù)計(jì)算公式求解
【解答】解：∵數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為均值=5，
則樣本數(shù)據(jù) 2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值為：=5×2+1=11；
故答案為：11．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題．
　
13．（5分）（2015?廣東）若三個(gè)正數(shù) a，b，c 成等比數(shù)列，其中a=5+2，c=5﹣2，則 b=　1?。?br /> 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．
【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知條件即可求解b
【解答】解：∵三個(gè)正數(shù) a，b，c 成等比數(shù)列，
∴b2=ac，
∵a=5+2，c=5﹣2，
∴=1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)試題
　
坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題
14．（5分）（2015?廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲線C2的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為　（2，﹣4）　．
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程．
【分析】曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐標(biāo)方程．曲線C2的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），化為普通方程：y2=8x．聯(lián)立解出即可．
【解答】解：曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化為直角坐標(biāo)方程：x+y+2=0．
曲線C2的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），化為普通方程：y2=8x．
聯(lián)立，解得，
則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（2，﹣4）．
故答案為：（2，﹣4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、曲線的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
　
幾何證明選講選做題
15．（2015?廣東）如圖，AB為圓O的直徑，E為AB 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)E作圓O的切線，切點(diǎn)為C，過(guò)A作直線EC的垂線，垂足為D．若AB=4．CE=2，則 AD=　3?。?br />
【考點(diǎn)】圓的切線的判定定理的證明．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】選作題；開(kāi)放型；推理和證明．
【分析】連接OC，則OC⊥DE，可得，由切割線定理可得CE2=BE?AE，求出BE，即可得出結(jié)論．
【解答】解：連接OC，則OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴
由切割線定理可得CE2=BE?AE，
∴12=BE?（BE+4），
∴BE=2，
∴OE=4，
∴，
∴AD=3
故答案為：3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．
　
三、解答題（共6小題，滿分80分）
16．（12分）（2015?廣東）已知 tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求 的值．
【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù)；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】三角函數(shù)的求值．
【分析】（1）直接利用兩角和的正切函數(shù)求值即可．
（2）利用二倍角公式化簡(jiǎn)求解即可．
【解答】解：tanα=2．
（1）tan（α+）===﹣3；
（2）====1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和的正切函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，二倍角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
　
17．（12分）（2015?廣東）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分組的頻率分布直方圖如圖．

（1）求直方圖中x的值；
（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
（3）在月平均用電量為，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240）的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．
【分析】（1）由直方圖的性質(zhì)可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點(diǎn)可得，可得中位數(shù)在[220，240）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；
（3）可得各段的用戶分別為25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù)．
【解答】解：（1）由直方圖的性質(zhì)可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方圖中x的值為0.0075；
（2）月平均用電量的眾數(shù)是=230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用電量的中位數(shù)在[220，240）內(nèi)，
設(shè)中位數(shù)為a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，
∴月平均用電量的中位數(shù)為224；
（3）月平均用電量為[220，240）的用戶有0.0125×20×100=25，
月平均用電量為[240，260）的用戶有0.0075×20×100=15，
月平均用電量為[260，280）的用戶有0.005×20×100=10，
月平均用電量為[280，300）的用戶有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例為=，
∴月平均用電量在[220，240）的用戶中應(yīng)抽取25×=5戶
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，涉及眾數(shù)和中位數(shù)以及分層抽樣，屬基礎(chǔ)題．
　
18．（14分）（2015?廣東）如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）證明：BC∥平面PDA；
（2）證明：BC⊥PD；
（3）求點(diǎn)C 到平面PDA的距離．

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離．
【分析】（1）利用四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，可得BC∥AD，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；
（2）利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理得出BC⊥平面PDC，即可證明BC⊥PD；
（3）利用等體積法，求點(diǎn)C到平面PDA的距離．
【解答】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BC∥AD，
因?yàn)锽C?平面PDA，AD?平面PDA，所以BC∥平面PDA；
（2）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BC⊥CD，
因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC?面ABCD，
所以BC⊥平面PDC，
因?yàn)镻D?平面PDC，
所以BC⊥PD；
（3）解：取CD的中點(diǎn)E，連接AE和PE，
因?yàn)镻D=PC，所以PE⊥CD，
在Rt△PED中，PE===．
因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PDC，
所以PE⊥平面ABCD．
由（2）知：BC⊥平面PDC，
由（1）知：BC∥AD，
所以AD⊥平面PDC，
因?yàn)镻D?平面PDC，所以AD⊥PD．
設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為h．
因?yàn)閂C﹣PDA=VP﹣ACD，
所以，
所以h==，
所以點(diǎn)C到平面PDA的距離是．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，線面垂直與線線垂直的判定，考查三棱錐體積等知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．
　
19．（14分）（2015?廣東）設(shè)數(shù)列 {an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．
（1）求a4的值；
（2）證明：{an+1﹣an}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．
【分析】（1）直接在數(shù)列遞推式中取n=2，求得；
（2）由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），變形得到4an+2+an=4an+1（n≥2），進(jìn)一步得到，由此可得數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；
（3）由{}是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，可得．進(jìn)一步得到，說(shuō)明{}是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，由此可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解答】（1）解：當(dāng)n=2時(shí)，4S4+5S2=8S3+S1，即，
解得：；
（2）證明：∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn（n≥2），
即4an+2+an=4an+1（n≥2），
∵，∴4an+2+an=4an+1．
∵=．
∴數(shù)列{}是以=1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；
（3）解：由（2）知，{}是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
∴．
即，
∴{}是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
∴，即，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是靈活變形能力，是中檔題．
　
20．（14分）（2015?廣東）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求圓C1的圓心坐標(biāo)；
（2）求線段AB 的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（3）是否存在實(shí)數(shù) k，使得直線L：y=k（x﹣4）與曲線 C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】軌跡方程；直線與圓的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】創(chuàng)新題型；開(kāi)放型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．
【分析】（1）通過(guò)將圓C1的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即得結(jié)論；
（2）設(shè)當(dāng)直線l的方程為y=kx，通過(guò)聯(lián)立直線l與圓C1的方程，利用根的判別式大于0、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)聯(lián)立直線L與圓C1的方程，利用根的判別式△=0及軌跡C的端點(diǎn)與點(diǎn)（4，0）決定的直線斜率，即得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵圓C1：x2+y2﹣6x+5=0，
整理，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣3）2+y2=4，
∴圓C1的圓心坐標(biāo)為（3，0）；
（2）設(shè)當(dāng)直線l的方程為y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），
聯(lián)立方程組，
消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，
由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜
由韋達(dá)定理，可得x1+x2=，
∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的參數(shù)方程為，其中﹣＜k＜，
∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；
（3）結(jié)論：當(dāng)k∈（﹣，）∪{﹣，}時(shí)，直線L：y=k（x﹣4）與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)．
理由如下：
聯(lián)立方程組，
消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，
令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）?16k2=0，解得k=±，
又∵軌跡C的端點(diǎn)（，±）與點(diǎn)（4，0）決定的直線斜率為±，
∴當(dāng)直線L：y=k（x﹣4）與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
k的取值范圍為（﹣，）∪{﹣，}．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查求軌跡方程、直線與曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，注意解題方法的積累，屬于難題．
　
21．（14分）（2015?廣東）設(shè) a為實(shí)數(shù)，函數(shù) f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范圍；
（2）討論 f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a≥2 時(shí)，討論f（x）+ 在區(qū)間 （0，+∞）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】開(kāi)放型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，對(duì)a分類討論求解不等式的解集即可．
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，通過(guò)當(dāng)x＜a時(shí)，當(dāng)x≥a時(shí)，利用二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（3）化簡(jiǎn)F（x）=f（x）+，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，通過(guò)a的討論判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，
當(dāng)a≥0時(shí)，a，可得a∈[0，]．
當(dāng)a＜0時(shí)，|a|+a﹣1≤0，恒成立．
綜上a．
∴a的取值范圍：；
（2）函數(shù) f（x）==，
當(dāng)x＜a時(shí)，函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x==a+＞a，
y=f（x）在（﹣∞，a）時(shí)是減函數(shù)，
當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x==a﹣＜a，
y=f（x）在（a，+∞）時(shí)是增函數(shù)，
（3）F（x）=f（x）+=，
，
當(dāng)x＜a時(shí)，=，
所以，函數(shù)F（x）在（0，a）上是減函數(shù)．
當(dāng)x≥a時(shí)，因?yàn)閍≥2，所以，F(xiàn)′（x）=═，
所以，函數(shù)F（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)．
F（a）=a﹣a2+．當(dāng)a=2時(shí)，F(xiàn)（2）=0，此時(shí)F（x）有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a＞2時(shí)，F(xiàn)（a）=a﹣a2+，
F′（a）=1﹣2a==．
所以F（ah）在（2，+∞）上是減函數(shù)，
所以F（a）＜，即F（a）＜0，
當(dāng)x＞0且x→0時(shí)，F(xiàn)（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）→+∞，所以函數(shù)F（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)a=2時(shí)，F(xiàn)（x）有一個(gè)零點(diǎn)，a＞2時(shí)F（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，包括絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查分類討論思想的應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，也考查化歸思想的應(yīng)用．
　

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