高端精品高中數(shù)學(xué)二輪專題-平面向量（線性運(yùn)算、基本定理和坐標(biāo)運(yùn)算）（帶答案）教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

線性運(yùn)算、基本定理和坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)梳理.線性運(yùn)算、基本定理和坐標(biāo)運(yùn)算一．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．（沒有方向上的規(guī)定）(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任一向量平行或共線．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量二．向量的線性運(yùn)算（一）加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算1.三角形法則：首尾連，連首尾2.平行四邊形法則：起點(diǎn)相同連對(duì)角3.運(yùn)算律交換律：＋＝＋結(jié)合律：(＋)＋＝＋(＋)（二）減法：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減（三）數(shù)乘：求實(shí)數(shù)λ與向量的積的運(yùn)算1.數(shù)乘意義：|λ |＝|λ|||，當(dāng)λ>0時(shí)，λ與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λ與的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λ＝02.運(yùn)算律（1）λ(μ)＝(λμ)（2）(λ＋μ)＝λ＋μ（3）λ(＋)＝λ＋λ3．向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得＝λ.4．平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底三．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量的加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 題型一. 線性運(yùn)算1．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則（　　）A． B． C． D．【解答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，（），故選：A．2．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則（　?。?/span>A． B． C． D．【解答】解：；∴；∴．故選：A．3．設(shè)D，E，F分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則（　?。?/span>A． B． C． D．【解答】解：∵D，E，F分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，∴（）+（）（），故選：A．4．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足，則（　?。?/span>A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)O滿足16123，故121233；即：123?123；故選：A．題型二. 共線向量基本定理1．設(shè)，是不共線的兩個(gè)平面向量，已知，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝（　?。?/span>A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6【解答】解：根據(jù)題意，若A，B，C三點(diǎn)共線，則，又由，，則有，解可得k＝﹣6；故選：D．2．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若λ，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在（　　）A．AC邊所在的直線上 B．BC邊所在的直線上 C．AB邊所在的直線上 D．△ABC的內(nèi)部【解答】解：∵又，∴即，λ∴∴∴P點(diǎn)在AC邊所在直線上．故選：A．3．在△ABC中，，．若點(diǎn)D滿足，則（　?。?/span>A． B． C． D．【解答】解：∵，∴，∴，又由，．故，故選：B．4．△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足，直線AO交BC于點(diǎn)D，則（　?。?/span>A． B． C． D．【解答】解：∵△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足，直線AO交BC于點(diǎn)D，∴，令，則，∴B，C，E三點(diǎn)共線，A，O，E三點(diǎn)共線，∴D，E重合．∴，∴2322335．故選：A．題型三. 三點(diǎn)共線定理1．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若2，，則λ＝（　　）A． B． C． D．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)∵2，，∴，∴λ，故選：A．2．△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB，若，，||＝1，||＝2，則（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵CD為角平分線，∴，∵，∴，∴故選：B．3．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F．若，，則（　?。?/span>A． B． C． D．【解答】解：∵由題意可得△DEF∽△BEA，∴，再由AB＝CD可得，∴．作FG平行BD交AC于點(diǎn)G，∴，∴．∵，∴，故選：B．4．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°．如圖所示，點(diǎn)C在以O為圓心，以1半徑的圓弧AB上變動(dòng)．若xy，其中x，y∈R，則x+y的最大值是　2　．【解答】解：【方法一】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（，）．設(shè)∠AOC＝α，則（cosα，sinα）．∵xy（x，0）+（，y）＝（cosα，sinα）；則，解得，∴x+ysinα+cosα＝2sin（α+30°）．∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．∴x+y有最大值2，當(dāng)α＝60°時(shí)取最大值2．【解法二】xy，∴x2+y2+2xy?x2+y2+2xycos120°＝x2+y2﹣xy，∴x2+y2﹣xy＝1，∴（x+y）2﹣3xy＝1，∴（x+y）2﹣1＝3xy≤3?，∴?（x+y）2≤1，解得x+y≤2．故答案為：2．5．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若λμ，則λ+μ的最大值為（　?。?/span>A．3 B．2 C． D．2【解答】解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC?CDBD?r，∴r，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值為3，故選：A．6．如圖，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM，線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則x的取值范圍是?。ī仭蓿?/span>0）　；當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是　　．【解答】解：如圖，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM，線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，由向量加法的平行四邊形法則，OP為平行四邊形的對(duì)角線，該四邊形應(yīng)是以OB和OA的反向延長(zhǎng)線為兩鄰邊，∴x的取值范圍是（﹣∞，0）；當(dāng)時(shí)，要使P點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即P點(diǎn)應(yīng)落在DE上，CDOB，CEOB，∴y的取值范圍是（，）．故答案為：（﹣∞，0）；（，）題型四. 坐標(biāo)運(yùn)算1．已知向量（3，﹣2），（x，y﹣1）且∥，若x，y均為正數(shù)，則的最小值是（　?。?/span>A．24 B．8 C． D．【解答】解：∵∥，∴﹣2x﹣3（y﹣1）＝0，化簡(jiǎn)得2x+3y＝3，∴（）（2x+3y）（66）（12+2）＝8，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立；∴的最小值是8．故選：B．2．已知A（﹣3，0），B（0，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，，且，設(shè)，則λ的值為（　　）A．1 B． C． D．【解答】解：由已知設(shè)C（x，y），則有y＝22，x＝﹣22，即C（﹣2，2），又，由向量相等的充要條件得：﹣2＝﹣3λ，即，故選：D．3．如圖，正方形ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，P為以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑的圓弧上一點(diǎn)，若xy（xy≠0），則以下說法正確的是：　①④　（請(qǐng)將所有正確的命題序號(hào)填上）①若點(diǎn)E和A重合，點(diǎn)P和B重合，則x＝﹣1，y＝1；②若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P是圓弧的中點(diǎn)；③若點(diǎn)E和B重合，且點(diǎn)P為靠近D點(diǎn)的圓弧的三等分點(diǎn)，則x+y＝3；④若點(diǎn)E與B重合，點(diǎn)P為上任一點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)（x，y）的軌跡為雙曲線的一部分．【解答】解：以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，如圖，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），（1，1）．因?yàn)?/span>xy（xy≠0），所以，對(duì)于①，若點(diǎn)E和A重合，點(diǎn)P和B重合，則E（0，0），P（1，0），（0，﹣1），（1，0），xy?（1，1）＝x（0，﹣1）+y（1，0），即，故①正確；則x＝﹣1，y＝1；對(duì)于②，若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，則E（，0），（，﹣1）；若點(diǎn)P是圓弧的中點(diǎn)，則P（cos45°，sin45°），即P（，），（，），xy?（1，1）＝x（，﹣1）+y（，），即，此方程組無解，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若點(diǎn)E和B重合，則E（1，0），（1，﹣1）；又點(diǎn)P為靠近D點(diǎn)的圓弧的三等分點(diǎn)，則P（cos60°，sin60°），即P（，），（，），xy?（1，1）＝x（1，﹣1）+y（，），即，解得，則x+y，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若點(diǎn)E與B重合，則E（1，0），（1，﹣1）；又點(diǎn)P（a，b）為上任一點(diǎn)，則（a，b）（0≤a≤1，0≤b≤1，a2+b2＝1），xy?（1，1）＝x（1，﹣1）+y（a，b），即，由a2+b2＝1得：1，整理得：x2＝1，則動(dòng)點(diǎn)（x，y）的軌跡為雙曲線的一部分，故④正確．綜上所述，說法正確的是①④，故答案為：①④．課后作業(yè). 線性運(yùn)算、基本定理和坐標(biāo)運(yùn)算1．在平行四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，BD交CE于F，則（　?。?/span>A． B． C． D．【解答】解如圖，∵平行四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，∴，∴DF，∴ ，故選：A．2．設(shè)x∈R，向量（x，1），（1，﹣2），且∥，則||＝（　?。?/span>A． B． C． D．5【解答】解：根據(jù)題意，向量（x，1），（1，﹣2），若∥，則﹣2x＝1，解可得x，則（，1），故（，﹣1），則||，故選：A．3．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若|AB|＝2，，則△ABC的外接圓的面積為　　．【解答】解：已知等式||＝|2|＝||，變形得：||＝||，∵，∴||＝||，兩邊平方，整理得：?0，即A，∵|AB|＝c＝2，|AC|＝b，∴a，由正弦定理2R，得到R，則△ABC的外接圓的面積為πR2．故答案為：4．在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC與不同的兩點(diǎn)M，N，若，則的最小值為（　　）A．2 B．4 C． D．9【解答】解：∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴又∴∵M、O、N三點(diǎn)共線，∴故當(dāng)且僅當(dāng)，即m，n時(shí)取到等號(hào)，故的最小值為：故選：C．5．如圖，正方形ABCD中，E為線段CD的中點(diǎn)，若λμ，則λ+μ＝　1　．【解答】解：依題意，，則，故．故答案為：1．6．已知D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝2AD，AE＝2EC，點(diǎn)P是線段DE上的任意一點(diǎn)，若xy，則xy的最大值為（　　）A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，，．∵點(diǎn)P是線段DE上的任意一點(diǎn)，∴存在實(shí)數(shù)k使得k，與xy比較可得：，∴2x+y，∴，化為xy，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y時(shí)取等號(hào)．故選：B．

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