高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)3.1 向量的數(shù)乘運(yùn)算練習(xí)題

這是一份高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)3.1 向量的數(shù)乘運(yùn)算練習(xí)題，共4頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．若a＝b＋c，化簡(jiǎn)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的結(jié)果為( )
A．－a B．－4b C．c D．a(chǎn)－b
A [3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.]
2．在△ABC中， eq \(AB,\s\up8(→))＝c， eq \(AC,\s\up8(→))＝b，若點(diǎn)D滿足 eq \(BD,\s\up8(→))＝2 eq \(DC,\s\up8(→))，則 eq \(AD,\s\up8(→))＝( )
A． eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,3)c B． eq \f(5,3)c－ eq \f(2,3)b
C． eq \f(2,3)b－ eq \f(1,3)c D． eq \f(1,3)b＋ eq \f(2,3)c
A [∵ eq \(BD,\s\up8(→))＝2 eq \(DC,\s\up8(→))，∴ eq \(AD,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))＝2( eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AD,\s\up8(→)))，
∴3 eq \(AD,\s\up8(→))＝2 eq \(AC,\s\up8(→))＋ eq \(AB,\s\up8(→))
∴ eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up8(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,3)c.]
3．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，則 eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→))等于( )
A． eq \f(1,2) eq \(AM,\s\up8(→)) B． eq \(AM,\s\up8(→)) C．2 eq \(AM,\s\up8(→)) D． eq \(MA,\s\up8(→))
C [作平行四邊形ABEC，則M是對(duì)角線的交點(diǎn)，故M是AE的中點(diǎn)，由題意知， eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \(AE,\s\up8(→))＝2 eq \(AM,\s\up8(→))，故選C.]
4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，則3a－b＝( )
A．4e2 B．4e1 C．3e1＋6e2 D．8e2
D [3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.]
5．若點(diǎn)O為平行四邊形ABCD的中心， eq \(AB,\s\up8(→))＝2e1， eq \(BC,\s\up8(→))＝3e2，則 eq \f(3,2)e2－e1＝( )
A． eq \(BO,\s\up8(→)) B． eq \(AO,\s\up8(→)) C． eq \(CO,\s\up8(→)) D． eq \(DO,\s\up8(→))
A [因?yàn)?eq \(BD,\s\up8(→))＝ eq \(AD,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \(BC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))＝3e2－2e1，所以 eq \(BO,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up8(→))＝ eq \f(3,2)e2－e1.]
二、填空題
6．4(a－b)－3(a＋b)－b等于________．
a－8b [原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.]
7．在平行四邊形ABCD中， eq \(AB,\s\up8(→))＝a， eq \(AD,\s\up8(→))＝b， eq \(AN,\s\up8(→))＝3 eq \(NC,\s\up8(→))，M為BC的中點(diǎn)，則 eq \(MN,\s\up8(→))＝________．(用a，b表示)
eq \f(1,4)b－ eq \f(1,4)a [ eq \(MN,\s\up8(→))＝ eq \(MB,\s\up8(→))＋ eq \(BA,\s\up8(→))＋ eq \(AN,\s\up8(→))＝－ eq \f(1,2)b－a＋ eq \f(3,4) eq \(AC,\s\up8(→))＝－ eq \f(1,2)b－a＋ eq \f(3,4)(a＋b)＝ eq \f(1,4)b－ eq \f(1,4)a.]
8．已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且 eq \(OA,\s\up8(→))＋ eq \(OB,\s\up8(→))＋ eq \(CO,\s\up8(→))＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于________．
30° [由 eq \(OA,\s\up8(→))＋ eq \(OB,\s\up8(→))＋ eq \(CO,\s\up8(→))＝0得， eq \(OA,\s\up8(→))＋ eq \(OB,\s\up8(→))＝ eq \(OC,\s\up8(→))，
結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為平行四邊形，又OA＝OB，
則四邊形OACB為菱形，
所以△OAC是正三角形，
所以∠CAO＝60°
所以∠CAB＝ eq \f(1,2)∠CAO＝30°]
三、解答題
9.如圖，四邊形ABCD是一個(gè)梯形， eq \(AB,\s\up8(→))∥ eq \(DC,\s\up8(→))且| eq \(AB,\s\up8(→))|＝2| eq \(DC,\s\up8(→))|，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，已知 eq \(AB,\s\up8(→))＝e1， eq \(AD,\s\up8(→))＝e2，試用e1，e2表示下列向量．
(1) eq \(AC,\s\up8(→))；(2) eq \(MN,\s\up8(→)).
[解] 因?yàn)?eq \(AB,\s\up8(→))∥ eq \(DC,\s\up8(→))，| eq \(AB,\s\up8(→))|＝2| eq \(DC,\s\up8(→))|，所以 eq \(AB,\s\up8(→))＝2 eq \(DC,\s\up8(→))， eq \(DC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up8(→)).
(1) eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \(AD,\s\up8(→))＋ eq \(DC,\s\up8(→))＝e2＋ eq \f(1,2)e1.
(2) eq \(MN,\s\up8(→))＝ eq \(MD,\s\up8(→))＋ eq \(DA,\s\up8(→))＋ eq \(AN,\s\up8(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(DC,\s\up8(→))－ eq \(AD,\s\up8(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up8(→))＝－ eq \f(1,4)e1－e2＋ eq \f(1,2)e1＝ eq \f(1,4)e1－e2.
10．已知E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)，設(shè) eq \(BC,\s\up8(→))＝a， eq \(DA,\s\up8(→))＝b，試用a，b表示 eq \(EF,\s\up8(→)).
[解] 如圖所示，取AB的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P.
在△ABC中，EP是中位線，
所以 eq \(PE,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)a.
在△ABD中，F(xiàn)P是中位線，所以 eq \(PF,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up8(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(DA,\s\up8(→))＝－ eq \f(1,2)b.
在△EFP中， eq \(EF,\s\up8(→))＝ eq \(EP,\s\up8(→))＋ eq \(PF,\s\up8(→))＝－ eq \(PE,\s\up8(→))＋ eq \(PF,\s\up8(→))＝－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＝－ eq \f(1,2)(a＋b).
11．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則 eq \(DA,\s\up8(→))＋2 eq \(EB,\s\up8(→))＋3 eq \(FC,\s\up8(→))＝( )
A． eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up8(→)) B． eq \f(3,2) eq \(AD,\s\up8(→))
C． eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up8(→)) D． eq \f(3,2) eq \(AC,\s\up8(→))
D [∵D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，
∴ eq \(DA,\s\up8(→))＋2 eq \(EB,\s\up8(→))＋3 eq \(FC,\s\up8(→))
＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up8(→))＋\(CA,\s\up8(→))))＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up8(→))＋\(CB,\s\up8(→)),2)))＋3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up8(→))＋\(BC,\s\up8(→)),2)))
＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up8(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up8(→))＋ eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(CB,\s\up8(→))＋ eq \f(3,2) eq \(AC,\s\up8(→))＋ eq \f(3,2) eq \(BC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \f(3,2) eq \(AC,\s\up8(→))]
12．設(shè)a、b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使 eq \f(a,|a|)＝ eq \f(b,|b|)成立的充分條件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b B．a(chǎn)＝－b
C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)＝2b
D [由a＝2b，得 eq \f(a,|a|)＝ eq \f(2b,|2b|)＝ eq \f(2b,2|b|)＝ eq \f(b,|b|)，故選D.]
13．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若 eq \(AC,\s\up8(→))＝a， eq \(BD,\s\up8(→))＝b，則 eq \(AF,\s\up8(→))＝________．
eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b [∵△DEF∽△BEA，∴ eq \f(DF,AB)＝ eq \f(DE,EB)＝ eq \f(1,3)，
∴DF＝ eq \f(1,3)AB，∴ eq \(AF,\s\up8(→))＝ eq \(AD,\s\up8(→))＋ eq \(DF,\s\up8(→))＝ eq \(AD,\s\up8(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up8(→)).
∵ eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AD,\s\up8(→))＝a， eq \(BD,\s\up8(→))＝ eq \(AD,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))＝b，
聯(lián)立得： eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)(a－b)， eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)(a＋b)，
∴ eq \(AF,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)(a＋b)＋ eq \f(1,6)(a－b)＝ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b.]
14．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若 eq \(AD,\s\up8(→))＝2 eq \(DB,\s\up8(→))， eq \(CD,\s\up8(→))＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up8(→))＋λ eq \(CB,\s\up8(→))，則λ的值為________．
eq \f(2,3) [ eq \(CD,\s\up8(→))＝ eq \(CA,\s\up8(→))＋ eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \(CA,\s\up8(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \(CA,\s\up8(→))＋ eq \f(2,3)( eq \(CB,\s\up8(→))－ eq \(CA,\s\up8(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up8(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CB,\s\up8(→)).]
15．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，試用 eq \(AB,\s\up8(→))， eq \(AC,\s\up8(→))表示 eq \(AD,\s\up8(→)).
[解] 連接CD，OD，如圖所示．
∵點(diǎn)C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝ eq \f(1,3)×90°＝30°.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.
由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO.
由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，
∴四邊形ACDO為平行四邊形，
∴ eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \(AO,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→)).