2022屆高三第四次月考數(shù)學(xué)（理科）試題11.29  一、單選題1．若集合，，則＝（    ）A． B． C． D．或2．已知命題p：，總有，則為（    ）A．，使得 B．，使得C．，總有 D．，總有3．若，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，為其終邊上的一點(diǎn)，將角逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交單位圓于點(diǎn)，則的值是（    ）A． B． C． D．5．已知，求的值（    ）A． B． C．或 D．6．如圖所示的曲線為函數(shù)（，，）的部分圖象，將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的，再將所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（    ）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸 D．函數(shù)在上單調(diào)遞增7．函數(shù)的部分圖象大致是（    ）A． B．C． D．8．區(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，則的最小值為（    ）A． B． C．6 D．9．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M是線段CD的中點(diǎn)，，則=（    ）A． B． C． D．10．已知，則（    ）A． B．C． D．11．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)a的最小值為（    ）A． B． C． D．  二、填空題13．已知實(shí)數(shù)，滿足則的最大值為_______．14．已知向量，，，則實(shí)數(shù)k的值為______．15．如圖是2021年9月17日13：34神州十二號(hào)返回艙(圖中C)接近地面的場(chǎng)景.傘面是表面積為1200m2的半球面(不含底面圓)，傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線BC與水平地面垂直于D，D和觀測(cè)點(diǎn)A在同一水平線上.在A測(cè)得點(diǎn)B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的視角∠BAC滿足sin∠BAC＝，則此時(shí)返回艙底端離地面距離CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，計(jì)算過(guò)程中，球半徑四舍五入保留整數(shù)，長(zhǎng)度單位：m).16．已知函數(shù)，，若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的取值范圍是_____________. 三、解答題17．已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．(Ⅰ) 求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ) 設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值．18．已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若存在，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，且.（1）求角的大小;（2）在①成等差數(shù)列，②成等差數(shù)列，③成等差數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的面積.(如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)20．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，為R上的增函數(shù)，求a的最小值；（2）若，，，求x的取值范圍.21．如圖，四邊形是正方形，平面，，．（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值．22．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性，并求在上的最值；（2），，求a的取值范圍．參考答案1．D【分析】解出集合中的不等式可得答案.【詳解】∵,或，∴AB＝或，故選：D．2．B【分析】由含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}p：，總有是全稱(chēng)量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B3．A【分析】充分性可通過(guò)舉例子確定；不必要性可通過(guò)解確定，對(duì)于命題可通過(guò)對(duì)分類(lèi)討論求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，，，取，有.充分性成立若，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由，得有解，所以，解得；當(dāng)時(shí)，由，得有解，所以，解得；綜上可得，或.必要性不成立故選：A.4．A【分析】根據(jù)角的終邊上一點(diǎn)，得到，進(jìn)而得到，然后利用三角函數(shù)的定義結(jié)合兩角和的正弦求解.【詳解】因?yàn)榻?/span>的終邊上一點(diǎn)，所以，將角逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，所以，故選：A5．D【分析】由正弦的和角公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可【詳解】,故選：D6．D【分析】先由函數(shù)的圖象求出的解析式，再結(jié)合題意求出，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解【詳解】由圖象知，又，所以的一個(gè)最低點(diǎn)為，而的最小正周期為，所以又，則，所以,即，又，所以，所以，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的得的圖象，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，即.由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，可知在遞增，在遞減，所以錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以不是圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以直線不是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；故選：.7．D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)和時(shí)函數(shù)值的符號(hào)可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除A,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故排除B、C．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和函數(shù)在一定范圍上的函數(shù)值的符號(hào)來(lái)判斷，本題屬于中檔題.8．A【分析】由已知條件可得、是方程的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，再由基本不等式即可求解.【詳解】區(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，所以、是方程的實(shí)數(shù)根，且；由韋達(dá)定理知，，所以，且，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：A．9．A【分析】用基向量，表示相關(guān)向量，再結(jié)合向量加法、減法和數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)合律、交換律，即得解【詳解】∵而∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算和向量數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題10．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得出，的單調(diào)性，得出，令，可得出，再由得出的，令，得出，從而得出結(jié)果．【詳解】解：先證，令，則，可知在上單調(diào)遞增，所以，即，令，則，所以；再證即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，令，則，所以，從而．故選：C.11．D【分析】由題意可得，令，根據(jù)奇偶性的定義，可得為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，將題干條件化簡(jiǎn)可得，即，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，計(jì)算求解，即可得答案.【詳解】由，得，記，則有，即為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，即，所以，即，解得，故選：D.12．D【分析】原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值為，只需滿足即可求解.【詳解】由函數(shù)，得，若，，即恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，若時(shí)，，所以時(shí)函數(shù)取得最小值，所以成立，故時(shí)，，恒成立．故選：D13．5【分析】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成直線，直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)，觀察可得何時(shí)目標(biāo)值取得要求的最值，進(jìn)而得解.【詳解】解：根據(jù)方程組畫(huà)出可行域如圖所示，可以求得B(1,1),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)取得最大值為5，故答案為：5.14．【分析】根據(jù)兩個(gè)向量垂直其數(shù)量積為，列出等式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，又因?yàn)?/span>，，所以，，所以，解得 故答案為：15．【分析】在中，由正弦定理得即可求解．【詳解】設(shè)半球半徑為，則，∴，∴．在中，由正弦定理得，∴，．故答案為：16．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求得的極小值為，由題可得函數(shù)的零點(diǎn)即方程和的根，討論和時(shí)可求得結(jié)果.【詳解】，時(shí)，，時(shí)，的極小值為.令，即，解得方程兩根為和，函數(shù)的零點(diǎn)即方程和的根.函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)需滿足：當(dāng)時(shí)，且，；當(dāng)時(shí)，且，，綜上：的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于較難題.17．(1) ;(2)4.【詳解】分析：（1）利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）代入建立一元二次方程，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出結(jié)果.詳解：(1)∵直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴直線的普通方程為，即，∴直線的極坐標(biāo)方程：，又∵曲線的極坐標(biāo)方程為，，，∴，即，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)∵將直線：代入曲線的極坐標(biāo)方程：得：，設(shè)直線與曲線的兩交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，∴， ∴．點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用.18．（1）；（2）或．【分析】（1）代入，可得，然后使用零點(diǎn)分段法分類(lèi)討論即可.（2）得到，利用絕對(duì)值三角不等式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）若，，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)，，即綜上：不等式解集為．（2）存在，不等式成立，只需要，，即，等號(hào)成立條件為，當(dāng)時(shí)，，，或，當(dāng)時(shí)，，，，綜上：或．19．條件選擇見(jiàn)解析（1）；（2）.【分析】（1）由得到，進(jìn)而用正弦定理進(jìn)行角化邊，再用余弦定理即可得到答案；（2）若選①，根據(jù)基本不等式得到，進(jìn)而得到，結(jié)合題目條件可得，進(jìn)而得到答案；若選②，根據(jù)題意有結(jié)合（1）消去b，進(jìn)而化簡(jiǎn)即可得到，進(jìn)而得到答案；若選③，根據(jù)題意有結(jié)合（1）消去b，進(jìn)而化簡(jiǎn)即可得到，進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>所以，由正弦定理可得，即，又，所以.（2）若選①，由基本不等式可知：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取“=” .又所以，即則所以.又，所以是正三角形，所以.若選，由條件可知，，所以，所以，所以，所以.又，所以是正三角形，所以.若選③，由題意可知，，所以，所以，所以又，所以是正三角形，所以.20．（1）（2）【分析】（1）代入，由于函數(shù)為R上的增函數(shù)，所以導(dǎo)數(shù)大于或等于零恒成立，利用基本不等式求出最小值，令其大于或等于零即可求出的最小值；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.（1）當(dāng)時(shí)，，∴對(duì)恒成立，則，∵，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴，則a的最小值為.（2）∵，∴.∵，∴，，，∴，所以為R上的增函數(shù).∵，∴，∴.∵，∴，故x的取值范圍為.21．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）連接與交于點(diǎn)O，易得 平面，取的中點(diǎn)M，易得為平行四邊形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理證明； （2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)與平面所成角為，由，解得，然后分別求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，由求解.【詳解】（1）如圖所示：連接與交于點(diǎn)O，因?yàn)?/span>為正方形，故，又平面，故，由，故平面，取的中點(diǎn)M，連接，注意到為的中位線，故，且，因此，且，故為平行四邊形，即，因此平面，而平面，故平面平面．（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）可知平面，因此平面的一個(gè)法向量為，而，由與平面所成角為，得，即，解得；則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得令，則，故．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則得令，則，，故．所以，注意到二面角為鈍二面角，故二面角的余弦值為．22．（1）增函數(shù)，最大值為，最小值為；（2）．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)證明在上為增函數(shù)，即得函數(shù)在上的最值；（2）轉(zhuǎn)化為，令，再利用導(dǎo)數(shù)證明，轉(zhuǎn)化為，記，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>．．設(shè)，則，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則．所以在上為增函數(shù)．故在上的最大值為，最小值為．（2）不等式可轉(zhuǎn)化為．令，則．當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞增．所以，于是，記，，則，因?yàn)?/span>在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，從而．故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的存在性問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

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