?2021年河南省安陽市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

一、選擇題（共12小題）.

1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x2﹣5x﹣14＞0}，則A∩（?RB）＝（? ）

A．[﹣2，7]? ? B．[﹣，2）? ? C．[﹣2，）? ? D．?

2．復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（? ）

A．第一象限? ? B．第二象限? ? C．第三象限? ? D．第四象限

3．已知向量，的夾角為，||＝，?（）＝2，則||＝（? ）

A．B．1? ? C．D．2

4．設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝f（x），且?x1，x2∈（0，∞）（x1≠x2）有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，則（? ）

A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（1）? ? B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）? ?

C．f（﹣1）＜f（﹣2）＜f（3）? ? D．f（﹣1）＜f（3）＜f（﹣2）

5．已知＝7，則cos（）＝（? ）

A．B．C．D．

6．自2021年1月1日起，《中華人民共和國民法典》開始施行，為了解某市市民對(duì)《中華人民共和國民法典》的了解情況，決定發(fā)放3000份問卷，并從中隨機(jī)抽取200份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，已知該問卷滿分100分，通過對(duì)隨機(jī)抽取的200份問卷成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到了如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這3000份問卷中成績不低于80分的份數(shù)為（? ）



A．840? ? B．720? ? C．600? ? D．540

7．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S11＝22，則a412＝（? ）

A．2? ? B．4? ? C．6? ? D．8

8．（x3﹣2）（x）6的展開式中x6的系數(shù)為（? ）

A．6? ? B．10? ? C．13? ? D．15

9．用平面α截棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，所得的截面的周長記為m，則當(dāng)平面α經(jīng)過正方體的某條體對(duì)角線時(shí)，m的最小值為（? ）

A．B．C．3D．2

10．在《西游記》中，鳳仙郡太守生氣時(shí)誤推倒祭祀玉帝的貢桌，玉帝一怒之下下令鳳仙郡三年不能下雨，于是孫悟空和豬八戒上天庭去找玉帝理論，玉帝要求雞要吃完米，狗要舔完面，火燒斷了鎖才能下雨．孫悟空打量著形如圓錐的面山，讓豬八戒從面山腳下H出發(fā)經(jīng)過PB的中點(diǎn)M到H′，大致觀察一下該面山，如圖所示，若豬八戒經(jīng)過的路線為一條拋物線，PO＝2，底面圓O的面積為16π，HH′為底面圓O的一條直徑，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（? ）

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A．B．C．D．

11．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q是雙曲線C上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且直線PQ經(jīng)過點(diǎn)F．如果M是線段FQ上靠近點(diǎn)Q的三等分點(diǎn)，E在y軸的正半軸上，且E，A，M三點(diǎn)共線，P，E，B三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為（? ）

A．5? ? B．2C．2D．6

12．已知向量＝（cos2x，m），＝（，4x﹣2cosx﹣2sinx），函數(shù)f（x）＝?﹣3x，且當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值為（? ）

A．3? ? B．C．2? ? D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．已知x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x﹣y的最大值為　?。?br />
14．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上，|AC|＝|BC|＝5，若以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，左半圓旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積為V1，△ABC旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積為V2，則V1V2＝　　．



15．若存在x0∈（﹣1，2），滿足ln＞ax0﹣2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　．

16．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosCcsinA＝0，則tanA tanB的取值范圍為　　．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．(一）必考題：共60分．

17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＝3n2 9n，bn＝2．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．

18．如圖①，在平面四邊形SBCD中，AD∥BC，AD⊥SB，且AD＝AB＝2BC，將△SAD沿AD折起得到四棱錐P﹣ABCD，如圖②，且E為PD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB．

（Ⅱ）若PA＝PB＝5，AB＝6，問：在線段CD上是否存在一點(diǎn)G使二面角G﹣PA﹣B為？若存在，求出線段GC的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．



19．乒乓球是中國國球，它是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目．某中學(xué)為了鼓勵(lì)學(xué)生多參加體育鍛煉，定期舉辦乒乓球競(jìng)賽，該競(jìng)賽全程采取“一局定輸贏”的比賽規(guī)則，首先每個(gè)班級(jí)需要對(duì)本班報(bào)名學(xué)生進(jìn)行選拔，選取3名學(xué)生參加校內(nèi)終極賽與其他班級(jí)學(xué)生進(jìn)行同臺(tái)競(jìng)技．

（Ⅰ）若高三（1）班共有6名男生和4名女生報(bào)名，且報(bào)名參賽的選手實(shí)力相當(dāng)，求高三（1）班選拔的校內(nèi)終極賽參賽選手均為男生的概率．

（Ⅱ）若高三（1）班選拔的選手甲、乙、丙分別與高三（2）班選拔的選手A，B，C對(duì)抗，甲、乙、丙獲勝的概率分別為，p，1﹣p，且甲、乙丙三人之間獲勝與否互不影響，記ξ為在這次對(duì)抗中高三（1）班3名選手獲勝的人數(shù)，P（ξ＝0）＝．

（ⅰ）求p；

（ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

20．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P（x0，x0）為橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)M，N關(guān)于y軸對(duì)稱，且＝，||＝4，△PAB的面積的最大值為2．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線PM，PN分別交x軸于點(diǎn)D，E，若|AD|，|DE|，|EB|成等比數(shù)列，求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)．

21．已知函數(shù)f（x）＝aex﹣xexx﹣a（a∈R）．

（Ⅰ）若a＝2，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（Ⅱ）若對(duì)任意x＞0都有f（x）＜x 1恒成立，求a的最大整數(shù)值．

（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)），直線l過點(diǎn)M（1，0）且傾斜角為α．

（Ⅰ）求出直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；

（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且＝，求cosα的值．

[選修4-5：不等式選講]

23．已知函數(shù)f（x）＝|3x 1|﹣3|x﹣2|．

（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式f（x）≤2x |x﹣2|；

（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤14m﹣3m2﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．



參考答案

一、選擇題（共12小題）.

1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x2﹣5x﹣14＞0}，則A∩（?RB）＝（? ）

A．[﹣2，7]? ? B．[﹣，2）? ? C．[﹣2，）? ? D．?

解：∵5﹣x2＞0，∴﹣＜x＜，∴A＝{x|﹣＜x＜}，

∵x2﹣5x﹣14＞0，∴x＞7或x＜﹣2，∴?RB＝{x|﹣2≤x≤7}，

∴A∩（?RB）＝[﹣2，），

故選：C．

2．復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（? ）

A．第一象限? ? B．第二象限? ? C．第三象限? ? D．第四象限

解：z＝＝＝＝﹣i，

故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

故選：D．

3．已知向量，的夾角為，||＝，?（）＝2，則||＝（? ）

A．B．1? ? C．D．2

解：向量，的夾角為，||＝，?（）＝2，

可得＝2，

所以

＝2，

＝2，

解得||＝1（負(fù)值舍去）．

故選：B．

4．設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝f（x），且?x1，x2∈（0，∞）（x1≠x2）有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，則（? ）

A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（1）? ? B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）? ?

C．f（﹣1）＜f（﹣2）＜f（3）? ? D．f（﹣1）＜f（3）＜f（﹣2）

解：∵對(duì)?x1，x2∈（0，∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，

∴函數(shù)f（x）在（0，∞）上單調(diào)遞增，

∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（﹣2）＝f（2），

∴f（1）＜f（2）＜f（3），

即f（1）＜f（﹣2）＜f（3），

故選：C．

5．已知＝7，則cos（）＝（? ）

A．B．C．D．

解：∵cos（2α）＝1﹣2，

∴＝7等價(jià)于2[1﹣2]＝7sin（α），

化簡得，[4sin（α）﹣1][sin（α） 2]＝0，

∵sin（α）∈[﹣1，1]，∴sin（α）＝，

∴cos（）＝cos[（α）﹣]＝sin（α）＝．

故選：B．

6．自2021年1月1日起，《中華人民共和國民法典》開始施行，為了解某市市民對(duì)《中華人民共和國民法典》的了解情況，決定發(fā)放3000份問卷，并從中隨機(jī)抽取200份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，已知該問卷滿分100分，通過對(duì)隨機(jī)抽取的200份問卷成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到了如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這3000份問卷中成績不低于80分的份數(shù)為（? ）



A．840? ? B．720? ? C．600? ? D．540

解：由頻率分布直方圖可知，成績不低于80分的頻率為（0.02 0.008）×10＝0.28，

由樣本估計(jì)總體，故估計(jì)這3000份問卷中成績不低于80分的份數(shù)為3000×0.28＝840份．

故選：A．

7．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S11＝22，則a412＝（? ）

A．2? ? B．4? ? C．6? ? D．8

解：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，S11＝＝22，

所以a1a11＝4，

則a412＝（a1 3d）（a1 11d）＝2a1 10d＝2a6＝a1a11＝4．

故選：B．

8．（x3﹣2）（x）6的展開式中x6的系數(shù)為（? ）

A．6? ? B．10? ? C．13? ? D．15

解：由于（x）6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr 1＝?，

令6﹣＝3，求得r＝2；令6﹣＝6，求得r＝0，

故（x3﹣2）（x）6的展開式中x6的系數(shù)為﹣2＝15﹣2＝13，

故選：C．

9．用平面α截棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，所得的截面的周長記為m，則當(dāng)平面α經(jīng)過正方體的某條體對(duì)角線時(shí)，m的最小值為（? ）

A．B．C．3D．2

解：假設(shè)截面α過體對(duì)角線BD1，（過其他體對(duì)角線結(jié)論一樣）

如圖所示，



因?yàn)橐黄矫媾c兩平行平面相交，交線平行，

∴D1E∥BF，BE∥D1F，且D1E＝BF，BE＝D1F，

故四邊形D1EBF為平行四邊形，

∴m＝2（BEBF），

設(shè)CF＝x，則C1F＝1﹣x，

∴m＝2（），

∵a，b為正數(shù)時(shí)，ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，

∴當(dāng)＝即x＝時(shí)，m取最小值為：2，

故選：D．

10．在《西游記》中，鳳仙郡太守生氣時(shí)誤推倒祭祀玉帝的貢桌，玉帝一怒之下下令鳳仙郡三年不能下雨，于是孫悟空和豬八戒上天庭去找玉帝理論，玉帝要求雞要吃完米，狗要舔完面，火燒斷了鎖才能下雨．孫悟空打量著形如圓錐的面山，讓豬八戒從面山腳下H出發(fā)經(jīng)過PB的中點(diǎn)M到H′，大致觀察一下該面山，如圖所示，若豬八戒經(jīng)過的路線為一條拋物線，PO＝2，底面圓O的面積為16π，HH′為底面圓O的一條直徑，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（? ）



A．B．C．D．

解：如圖，建立以O(shè)M為x軸，過M作MN平行HH'以MN為y軸的直角坐標(biāo)系，



設(shè)拋物線方程為x2＝2py，

底面圓O的面積為16π，所以O(shè)B＝4，OP＝2，

在△POB中，PB＝＝2，

又因M為PB中點(diǎn)，故OM＝，

∴H（﹣4，），

16＝2p×，

∴，

故選：A．

11．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q是雙曲線C上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且直線PQ經(jīng)過點(diǎn)F．如果M是線段FQ上靠近點(diǎn)Q的三等分點(diǎn)，E在y軸的正半軸上，且E，A，M三點(diǎn)共線，P，E，B三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為（? ）

A．5? ? B．2C．2D．6

解：設(shè)F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），

點(diǎn)P，Q是雙曲線C上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且直線PQ經(jīng)過點(diǎn)F，可得PQ⊥x軸，

令x＝﹣c，可得﹣＝1，解得y＝±b＝±，

可設(shè)P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），

由M是線段FQ上靠近點(diǎn)Q的三等分點(diǎn)，可得M（﹣c，﹣），

由E在y軸的正半軸上，可設(shè)E（0，e），

由E，A，M三點(diǎn)共線，可得kEA＝kAM，

即為＝，①

由P，E，B三點(diǎn)共線，可得kEB＝kBP，

即為﹣＝，②

由①②可得＝，

即為3c﹣3a＝2c 2a，即c＝5a，

所以e＝＝5．

故選：A．

12．已知向量＝（cos2x，m），＝（，4x﹣2cosx﹣2sinx），函數(shù)f（x）＝?﹣3x，且當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值為（? ）

A．3? ? B．C．2? ? D．

解：∵＝（cos2x，m），＝（，4x﹣2cosx﹣2sinx），

∴f（x）＝?﹣3x＝cos2xm（4x﹣2cosx﹣2sinx）﹣3x

＝

．

∵當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，

∴f′（x）＝﹣sin2x 4m 2msinx﹣2mcosx﹣3≥0在[0，]上恒成立，

即

在[0，]上恒成立，

也就是

≥0在[0，]上恒成立，

令t＝，∵x∈[0，]，∴t∈，則sint∈[]，

∴f′（x）＝g（t）＝﹣cos2tsint 4m﹣3＝

，

再令sint＝q，即h（q）＝≥0在[]上恒成立，

其對(duì)稱軸方程為q＝，

當(dāng)，即m時(shí)，

，

由2m﹣3≥0，得m，即m；

當(dāng)，即m時(shí)，

，

由6m﹣3≥0，得m，即m∈?；

當(dāng)﹣，即﹣＜m＜時(shí)，

＝4m﹣4，

由4m﹣4≥0，得m≥1，即m∈?．

綜上所述，實(shí)數(shù)m的最小值為．

故選：D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．已知x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x﹣y的最大值為　5　．

解：由約束條件作出可行域如圖，



聯(lián)立，解得A（3，4），

由z＝3x﹣y，得y＝3x﹣z，由圖可知，當(dāng)直線y＝3x﹣z過A時(shí)，

直線在y軸上的截距最小，z有最大值為5．

故答案為：5．

14．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上，|AC|＝|BC|＝5，若以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，左半圓旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積為V1，△ABC旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積為V2，則V1V2＝　250π　．



解：左半圓旋轉(zhuǎn)一周為球體，

因?yàn)閨AC|＝|BC|＝5，AB為直徑，所以∠ACB＝90°，

所以AB＝，即半徑r＝5，

所以V1＝＝，

△ABC以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是兩個(gè)接在一起的圓錐，

高h(yuǎn)＝OB＝5，R＝OC＝5，

所以V2＝＝＝，

所以V1V2＝＝250π．

故答案為：250π．

15．若存在x0∈（﹣1，2），滿足ln＞ax0﹣2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為?。ǎ。?br />
解：設(shè)，則f（2）＝0，故函數(shù)f（x）過定點(diǎn)（2，0），

令g（x）＝ax﹣2a＝a（x﹣2），故函數(shù)g（x）過定點(diǎn)（2，0），

函數(shù)f（x）在（﹣1，2）上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋ī仭蓿?），

若g（x）＝a（x﹣2）為f（x）在x＝2處的切線，

則，則切線的斜率a＝f'（2）＝，

因?yàn)榇嬖趚0∈（﹣1，2），滿足ln＞ax0﹣2a，

所以g（x）的斜率必須大于f（x）在x＝2處切線的斜率，

故a＞．

故答案為：．



16．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosCcsinA＝0，則tanA tanB的取值范圍為　[22，1）　．

解：因?yàn)閍cosCcsinA＝0，由正弦定理可得sinAcosC sinCsinA＝0，

又sinA≠0，

可得cosC sinC＝0，可得tanC＝﹣1，

因?yàn)镃∈（0，π），可得C＝，

可得tanC＝﹣tan（AB）＝﹣＝﹣1，

可得tanA tanB

＝1﹣tanAtanB

＝1﹣tanAtan（﹣A）

＝1﹣tanA?

＝

＝


＝

，

因?yàn)锳∈（0，），可得2A∈（，），可得sin（2A）∈（，1]，

可得tanA tanB＝

∈[22，1）．

故答案為：[22，1）．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．(一）必考題：共60分．

17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＝3n2 9n，bn＝2．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．

解：（Ⅰ）由2Sn＝3n2 9n，可得n＝1時(shí)，2a1＝2S1＝12，

解得a1＝6；

當(dāng)n≥2時(shí)，2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝3n2 9n﹣3（n﹣1）2﹣9（n﹣1）＝6n 6，

即有an＝3n 3，

上式對(duì)n＝1也成立，

所以an＝3n 3，n∈N*；

bn＝2＝2n；

（Ⅱ）anbn＝（3n 3）?2n，

Tn＝6?2 9?22 12?23…（3n 3）?2n，

2Tn＝6?22 9?23 12?24…（3n 3）?2n 1，

上面兩式相減可得﹣Tn＝12 3（22 23… 2n）﹣（3n 3）?2n 1＝12 3?﹣（3n 3）?2n 1，

化為Tn＝3n?2n 1．

18．如圖①，在平面四邊形SBCD中，AD∥BC，AD⊥SB，且AD＝AB＝2BC，將△SAD沿AD折起得到四棱錐P﹣ABCD，如圖②，且E為PD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB．

（Ⅱ）若PA＝PB＝5，AB＝6，問：在線段CD上是否存在一點(diǎn)G使二面角G﹣PA﹣B為？若存在，求出線段GC的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．



【解答】（Ⅰ）證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，

∵E為PD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，EF＝AD，

∵AD∥BC，AD＝2BC，

∴EF∥BC，EF＝BC，

∴四邊形BCEF為平行四邊形，

∴CE∥BF，

又BF?平面PAB，CE?平面PAB，

∴CE∥平面PAB．



（Ⅱ）解：假設(shè)存在點(diǎn)G滿足題意，

取AB的中點(diǎn)O，連接OP，

∵PA＝PB＝5，AB＝6，

∴OP⊥AB，OP＝＝＝4，

∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA＝A，AB、PA?平面PAB，

∴AD⊥平面PAB，

∵OP?平面PAB，∴AD⊥OP，

又AB∩AD＝A，AB、AD?平面ABCD，

∴OP⊥平面ABCD，

故以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OP所在直線分別為x，z軸，作Oy⊥平面PAB，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P（0，0，4），A（﹣3，0，0），C（3，3，0），D（﹣3，6，0），

∴＝（﹣6，3，0），＝（﹣3，0，﹣4），

設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，則G（3﹣6λ，3 3λ，0），

∴＝（6﹣6λ，3 3λ，0），

設(shè)平面PAG的法向量為＝（x，y，z），則，即

，

令x＝4，則y＝，z＝﹣3，∴＝（4，，﹣3），

∵平面PAB⊥y軸，

∴平面PAB的一個(gè)法向量為＝（0，1，0），

∵二面角G﹣PA﹣B為，

∴cos＝|cos＜，＞|＝||＝|

|，化簡得＝±5，

∵λ∈[0，1]，∴＝﹣5，解得λ＝，

∴G（，，0）

∴CG＝

＝，

故存在點(diǎn)G滿足題意，且CG＝．

19．乒乓球是中國國球，它是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目．某中學(xué)為了鼓勵(lì)學(xué)生多參加體育鍛煉，定期舉辦乒乓球競(jìng)賽，該競(jìng)賽全程采取“一局定輸贏”的比賽規(guī)則，首先每個(gè)班級(jí)需要對(duì)本班報(bào)名學(xué)生進(jìn)行選拔，選取3名學(xué)生參加校內(nèi)終極賽與其他班級(jí)學(xué)生進(jìn)行同臺(tái)競(jìng)技．

（Ⅰ）若高三（1）班共有6名男生和4名女生報(bào)名，且報(bào)名參賽的選手實(shí)力相當(dāng)，求高三（1）班選拔的校內(nèi)終極賽參賽選手均為男生的概率．

（Ⅱ）若高三（1）班選拔的選手甲、乙、丙分別與高三（2）班選拔的選手A，B，C對(duì)抗，甲、乙、丙獲勝的概率分別為，p，1﹣p，且甲、乙丙三人之間獲勝與否互不影響，記ξ為在這次對(duì)抗中高三（1）班3名選手獲勝的人數(shù)，P（ξ＝0）＝．

（ⅰ）求p；

（ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解：（Ⅰ）設(shè)“高三（1）班選拔的參數(shù)選手均為男生”為事件A，則＝；

（Ⅱ）（ⅰ）由題意，P（ξ＝0）＝

＝，解得p＝；

（ⅱ）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，

所以P（ξ＝0）＝，

P（ξ＝1）＝

＝，

P（ξ＝2）＝

＝，

P（ξ＝3）＝＝，

故ξ的分布列為：

ξ
0
1
2
3
P





所以ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0× 1× 2× 3×＝．

20．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P（x0，x0）為橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)M，N關(guān)于y軸對(duì)稱，且＝，||＝4，△PAB的面積的最大值為2．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線PM，PN分別交x軸于點(diǎn)D，E，若|AD|，|DE|，|EB|成等比數(shù)列，求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)．

解：（Ⅰ）由＝，||＝4，

可得2a＝4，解得a＝2，

又△PAB的面積的最大值為2，

所以×4×b＝2，解得b＝1，

所以橢圓C的方程為y2＝1．

（Ⅱ）由題意知，點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合，

設(shè)M（﹣2，m），N（2，m），

則直線PM的方程為y﹣y0＝（x﹣x0），

令y＝0得xD＝x0﹣，

同理得xE＝x0﹣，

所以|AD|＝|x0﹣ 2|＝||，

|DE|＝|[x0﹣]﹣[x0﹣]|＝||，

|BE|＝|2﹣x0|＝||，

因?yàn)閨AD|，|DE|，|EB|成等比數(shù)列，

所以|AD|?|EB|＝|DE|2，即＝，

因?yàn)閥02＝1，

所以4﹣x02＝4y02，

所以m2＝4，即m＝±2．

21．已知函數(shù)f（x）＝aex﹣xexx﹣a（a∈R）．

（Ⅰ）若a＝2，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（Ⅱ）若對(duì)任意x＞0都有f（x）＜x 1恒成立，求a的最大整數(shù)值．

解：（Ⅰ）a＝2，則f（x）＝2ex﹣xexx﹣2，

所以f（0）＝0，f′（x）＝2ex﹣（exxex） 1＝ex﹣xex 1，

則f′（0）＝2，

所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y＝0＝2（x﹣0），即y＝2x．

（Ⅱ）對(duì)任意x＞0都有f（x）＜x 1恒成立，即a（ex﹣1）＜xex 1，

因?yàn)閤＞0，所以ex﹣1＞0，所以a＜＝x，

令g（x）＝x（x＞0），則只需a＜g（x）min即可，

g′（x）＝1﹣＝，

令h（x）＝ex﹣x﹣2（x＞0），則h′（x）＝ex﹣1＞0恒成立，

所以h（x）在（0，∞）上單調(diào)遞增，

因?yàn)閔（1）＝e﹣3＜0，h（2）＝e2﹣4＞0，

所以存在唯一一個(gè)x0∈（1，2）使得h（x0）＝0，

所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＜0，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，∞）時(shí)，h（x）＞0，g′（x）＞0，

所以g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，∞）上單調(diào)遞增，

所以g（x）min＝g（x0）＝x0，

由﹣x0﹣2＝0得＝x0 2，

所以g（x0）＝x0＝x0 1∈（2，3），

故a的最大整數(shù)值為2．

（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)），直線l過點(diǎn)M（1，0）且傾斜角為α．

（Ⅰ）求出直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；

（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且＝，求cosα的值．

解：（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為普通方程為；

直線l過點(diǎn)M（1，0）且傾斜角為α，則參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．

（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程（α為參數(shù)）代入．

得到（1 sin2α）t2 2cosαt﹣1＝0，

所以

，

（t1和t2為A和B對(duì)應(yīng)的參數(shù)），

利用，

整理得

＝

，

解得．

[選修4-5：不等式選講]

23．已知函數(shù)f（x）＝|3x 1|﹣3|x﹣2|．

（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式f（x）≤2x |x﹣2|；

（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤14m﹣3m2﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解：（Ⅰ）∵f（x）＝|3x 1|﹣3|x﹣2|，由f（x）≤2x |x﹣2|，

則|3x 1|﹣4|x﹣2|≤2x，

故

或

或

，

解得：﹣9≤x＜﹣或﹣≤x≤或x≥3，

綜上，不等式f（x）≤2x |x﹣2|的解集是[﹣9，]∪[3，∞）；

（Ⅱ）∵f（x）＝|3x 1|﹣3|x﹣2|≤|3x 1﹣3x 6|＝7，

當(dāng)x≥2時(shí)“＝”成立，故f（x）max＝7，

由關(guān)于x的不等式f（x）≤14m﹣3m2﹣1恒成立，

可得f（x）max≤14m﹣3m2﹣1，

故3m2﹣14m 8≤0，解得：≤m≤4，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[，4]．


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