2022年高考數(shù)學(文數(shù))一輪考點精選練習40《雙曲線》(含詳解)

這是一份2022年高考數(shù)學(文數(shù))一輪考點精選練習40《雙曲線》(含詳解)，共5頁。試卷主要包含了選擇題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題
已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，P是C上一點.若|PF1|＋|PF2|=6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是( )
A.eq \r(2)x±y=0 B.x±eq \r(2)y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0
已知雙曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2=0，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，則雙曲線C1的離心率的范圍是( )
A.(1,eq \f(2\r(3),3)) B.(eq \f(2\r(3),3),＋∞) C.(1,2) D.(2，＋∞)
已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若eq \(BA,\s\up15(→))=2eq \(AF,\s\up15(→))，且|eq \(BF,\s\up15(→))|=4，則雙曲線C的方程為( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)=1 B.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)=1 C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)=1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)=1
已知雙曲線E： SKIPIF 1 < 0 的漸近線相互垂直，則E的離心率為（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.2 D. SKIPIF 1 < 0
過雙曲線C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)=1的左焦點作傾斜角為eq \f(π,6)的直線l，則直線l與雙曲線C的交點情況是( )
A.沒有交點
B.只有一個交點
C.有兩個交點且都在左支上
D.有兩個交點分別在左、右兩支上
已知O為坐標原點，設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2=1的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|=( )
A.1 B.2 C.4 D.eq \f(1,2)
直線y=eq \f(b,a)x＋3與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1的交點個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y=eq \f(\r(5),2)x，且與橢圓eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)=1有公共焦點，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)=1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)=1 C.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)=1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)=1
已知雙曲線9y2－m2x2=1(m＞0)的一個頂點到它的一條漸近線的距離為eq \f(1,5)，則m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線上一點，
若|PF1|＋|PF2|=6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為eq \f(π,6)，則雙曲線的漸近線方程為( )
A.y=±2x B.y=±eq \f(1,2)x C.y=±eq \f(\r(2),2)x D.y=±eq \r(2)x
如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1的直線l與C的兩個分支分別交于點A，B.若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為( )
A.4 B.eq \r(7) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3)
已知雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)=1的右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點A(0，eq \r(2))，則△APF周長的最小值為( )
A.4(1＋eq \r(2)) B.4＋eq \r(2) C.2(eq \r(2)＋eq \r(6)) D.eq \r(6)＋3eq \r(2)
二、填空題
設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，M，N是雙曲線C的一條漸近線上的兩點，四邊形MF1NF2為矩形，A為雙曲線的一個頂點，若△AMN的面積為eq \f(1,2)c2，則該雙曲線的離心率為________.
設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－eq \f(y2,b2)=1的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，
若|AF2|=2且∠F1AF2=45°，延長AF2交雙曲線右支于點B，則△F1AB的面積等于 .
已知雙曲線E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)=1，直線l交雙曲線于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為(eq \f(1,2),-1)，則l的方程為________.
已知F1(－c,0)、F2(c,0)為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過雙曲線C的左焦點的直線與雙曲線C的左支交于Q，R兩點(Q在第二象限內(nèi))，連接RO(O為坐標原點)并延長交C的右支于點P，若|F1P|=|F1Q|，∠F1PF2=eq \f(2,3)π，則雙曲線C的離心率為 .
設P為雙曲線x2－eq \f(y2,12)=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的左、右焦點，若△PF1F2面積為12，則∠F1PF2=________.
已知F為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦點，過原點的直線l與雙曲線交于M，N兩點，且eq \(MF,\s\up10(→))·eq \(NF,\s\up10(→))=0，△MNF的面積為ab，則該雙曲線的離心率為________.
\s 0 答案解析
答案為：A
解析：由題意，不妨設|PF1|＞|PF2|，
則根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|=2a，
又|PF1|＋|PF2|=6a，聯(lián)立解得|PF1|=4a，|PF2|=2a.
在△PF1F2中，|F1F2|=2c，而c＞a，所以|PF2|＜|F1F2|.
所以∠PF1F2=30°.所以(2a)2=(2c)2＋(4a)2－2×2c×4acs 30°，
得c=eq \r(3)a.所以b=eq \r(c2－a2)=eq \r(2)a.
所以雙曲線的漸近線方程為y=±eq \f(b,a)x=±eq \r(2)x，即eq \r(2)x±y=0.
答案為：A.
解析：由雙曲線方程可得其漸近線方程為y=±eq \f(b,a)x，即bx±ay=0，
圓C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2=0可化為(x－a)2＋y2=eq \f(1,4)a2，圓心C2的坐標為(a,0)，半徑r=eq \f(1,2)a，
由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，
得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))2b，即c2>4b2，又知b2=c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2|PF2|，
由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|=2a，又|PF1|＋|PF2|=6a，所以|PF1|=4a，|PF2|=2a.
又因為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c>2a，,4a>2a，))所以∠PF1F2為最小內(nèi)角，故∠PF1F2=eq \f(π,6).
由余弦定理，可得eq \f(?4a?2＋?2c?2－?2a?2,2·4a·2c)=eq \f(\r(3),2)，即(eq \r(3)a－c)2=0，
所以c=eq \r(3)a，則b=eq \r(2)a，所以雙曲線的漸近線方程為y=±eq \r(2)x，故選D.
答案為：B；
解析：∵△ABF2為等邊三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，∠F1AF2=60°.
由雙曲線的定義可得|AF1|－|AF2|=2a，∴|BF1|=2a.
又|BF2|－|BF1|=2a，∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a，|AF1|=6a.
在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cs 60°，
∴(2c)2=(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×eq \f(1,2)，即c2=7a2，∴e=eq \f(c,a)=eq \r(\f(c2,a2))=eq \r(7).故選B.
答案為：A；
解析：設雙曲線的左焦點為F′，易得點F(eq \r(6)，0)，
△APF的周長l=|AF|＋|AP|＋|PF|=|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，
要使△APF的周長最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知當A，P，F(xiàn)′三點共線時取到，
故l=2|AF|＋2a=4(1＋eq \r(2)).故選A.
二、填空題
答案為：eq \r(2).
解析：設M(x, SKIPIF 1 < 0 )，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得|MO|=|OF1|=|OF2|=c，
即x2＋( SKIPIF 1 < 0 )2=c2，則x=a，所以M(a，b).
因為△AMN的面積為eq \f(1,2)c2，所以2×eq \f(1,2)×a×b=eq \f(1,2)c2，所以4a2(c2－a2)=c4，
所以e4－4e2＋4=0，所以e=eq \r(2).
答案為：4.
解析：由題意可得|AF2|=2，|AF1|=4，則|AB|=|AF2|＋|BF2|=2＋|BF2|=|BF1|.
又∠F1AF2=45°，所以△ABF1是以AF1為斜邊的等腰直角三角形，
則|AB|=|BF1|=2eq \r(2)，所以其面積為eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)=4.
答案為：2x＋8y＋7=0
解析：依題意，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),4)－\f(yeq \\al(2,1),2)＝1,\f(xeq \\al(2,2),4)－\f(yeq \\al(2,2),2)＝1))，兩式相減得eq \f(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2),4)=eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),2)，即eq \f(y1－y2,x1－x2)=eq \f(1,2)×eq \f(x1＋x2,y1＋y2).
又線段AB的中點坐標是(eq \f(1,2),-1)，因此x1＋x2=2×eq \f(1,2)=1，y1＋y2=(－1)×2=－2，
eq \f(x1＋x2,y1＋y2)=－eq \f(1,2)，eq \f(y1－y2,x1－x2)=－eq \f(1,4)，即直線AB的斜率為－eq \f(1,4)，直線l的方程為y＋1=－eq \f(1,4)(x- eq \f(1,2))，
即2x＋8y＋7=0.
答案為：eq \f(\r(57),6).
解析：如圖，設|PF1|=x，則|PF2|=x－2a，作Q關于原點對稱的點S，連接PS，RS，SF1.
因為雙曲線關于原點中心對稱，所以|PO|=|OR|，S在雙曲線上，
所以四邊形PSRQ是平行四邊形，根據(jù)對稱性知，F(xiàn)2在線段PS上，|F2S|=|QF1|=x，
則∠F1PS=eq \f(2π,3)，根據(jù)雙曲線的定義，有|F1S|=x＋2a，所以在△PF1S中，
由余弦定理得(x＋2a)2=x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·（- eq \f(1,2)），解得x=eq \f(7,3)a，
所以|PF2|=eq \f(1,3)a，所以在△PF1F2中，
由余弦定理得4c2=（eq \f(7,3)a）2＋（eq \f(1,3)a）2－2×（- eq \f(1,2)）×eq \f(7,3)a×eq \f(1,3)a，整理可得e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(57),6).
答案為：eq \f(π,2).
解析：由題意可知，F(xiàn)1(－eq \r(13)，0)，F(xiàn)2(eq \r(13)，0)，|F1F2|=2eq \r(13).設P(x0，y0)，
則△PF1F2的面積為eq \f(1,2)×2eq \r(13)|y0|=12.故yeq \\al(2,0)=eq \f(122,13)，將P點坐標代入雙曲線方程得xeq \\al(2,0)=eq \f(25,13)，
不妨設點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(13),13)，\f(12\r(13),13)))，則eq \(PF1,\s\up10(→))=(eq \f(－18\r(13),13)，eq \f(－12\r(13),13))，eq \(PF2,\s\up10(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8\r(13),13)，\f(－12\r(13),13)))，
可得eq \(PF1,\s\up10(→))·eq \(PF2,\s\up10(→))=0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2=eq \f(π,2).
答案為：eq \r(2)
解析：因為eq \(MF,\s\up10(→))·eq \(NF,\s\up10(→))=0，所以eq \(MF,\s\up10(→))⊥eq \(NF,\s\up10(→)).設雙曲線的左焦點為F′，
則由雙曲線的對稱性知四邊形F′MFN為矩形，則有|MF|=|NF′|，|MN|=2c.
不妨設點N在雙曲線右支上，由雙曲線的定義知，|NF′|－|NF|=2a，
所以|MF|－|NF|=2a.因為S△MNF=eq \f(1,2)|MF|·|NF|=ab，所以|MF|·|NF|=2ab.
在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2=|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|=|MN|2，
所以(2a)2＋2·2ab=(2c)2，把c2=a2＋b2代入，并整理，得eq \f(b,a)=1，所以e=eq \f(c,a)=eq \r(2).