1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（難點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（重點）
1.一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的兩根x1和x2與系數(shù)a,b,c還有其它關(guān)系嗎？
2.如何用判別式 b2 - 4ac 來判斷一元二次方程根的情況？
對一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 時,方程有兩個不相等的實數(shù)根.b2 - 4ac = 0 時,方程有兩個相等的實數(shù)根.b2 - 4ac < 0 時,方程無實數(shù)根.
算一算 解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù)）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2與p,q之間的關(guān)系嗎？
重要發(fā)現(xiàn)如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
（2）通過上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、 x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 （韋達定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1、 x2，那么
滿足上述關(guān)系的前提條件
例1：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積. （1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：這里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有兩個實數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實數(shù)根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應用
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：這里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有兩個實數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實數(shù)根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.
解：設(shè)方程的兩個根分別是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7.答：方程的另一個根是 ，k=－7.
變式：已知方程3x2-18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.
解：設(shè)方程的兩個根分別是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得：m=15.答：方程的另一個根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.
解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：
設(shè)x1, x2為方程x2-4x+1=0的兩個根，則:（1）x1+x2= , (2)x1·x2= , (3) , (4) .
例4：設(shè)x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的兩個實數(shù)根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有兩個實數(shù)根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 經(jīng)檢驗， k2 = 4 不合題意，舍去.
求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一個根，則另一個根是___，m =____.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為-2 和 1 ，則：p = , q= .
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.
解：將x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 設(shè)另一個根為x1,則： 1 × x1 = ∴x1 =
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7；
（2）因為k=-7,所以 則：
5.設(shè)x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的兩個根.利用根系數(shù)之間的關(guān)系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）
6. 當k為何值時，方程2x2-kx+1=0的兩根差為1.
解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
7.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍. （2）若方程兩根x1,x2滿足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
解：(1)方程有實數(shù)根
∴m的取值范圍為m＞0
(2)∵方程有實數(shù)根x1,x2
經(jīng)檢驗m=8是原方程的解．

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2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

版本： 湘教版

年級： 九年級上冊

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