2021年江蘇省揚(yáng)州市儀征市中考數(shù)學(xué)一模試卷

這是一份2021年江蘇省揚(yáng)州市儀征市中考數(shù)學(xué)一模試卷，共23頁。試卷主要包含了選擇題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2021年江蘇省揚(yáng)州市儀征市中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）
1．下列四個數(shù)中，最大的實數(shù)是（　?。?br /> A．﹣2021 B．1 C．﹣1 D．2021
2．下列計算正確的是（　?。?br /> A．（a3）2＝a5 B．a(chǎn)3?a5＝a8 C．a(chǎn)5+a2＝a7 D．a(chǎn)6÷a2＝a3
3．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則2021﹣m2+m的值為（　?。?br /> A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
5．曲橋是我國古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風(fēng)光．如圖，A、B兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（　?。?br />
A．兩點之間，線段最短
B．平行于同一條直線的兩條直線平行
C．垂線段最短
D．兩點確定一條直線
6．如圖，菱形AOBC的邊BO在x軸正半軸上，點A（2，2），反比例函數(shù)y＝圖象經(jīng)過點C，則k的值為（　?。?br />
A．12 B． C． D．
7．關(guān)于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四個命題：
甲：x＝1是該方程的根
乙：該方程兩根之和為2
丙：x＝3是該方程的根
?。涸摲匠虄筛愄?br /> 如果有一個命題是假命題，則該命題是（　?。?br /> A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．如圖，點E是正方形ABCD邊BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延長EF，交AD的延長線于點M，交CD于點N．下列結(jié)論：①sin∠AME＝；②AD＝3DM；③BE+DN＝EN；④AM＝EM．其中正確的結(jié)論是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．）
9．據(jù)數(shù)據(jù)顯示，截至2020年初，揚(yáng)州市戶籍人口約為4570000，將“4570000”這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為 　 ?。?br /> 10．分解因式：2a2﹣8＝　 ?。?br /> 11．圓錐的母線長為4，底面半徑為3，圓錐的側(cè)面積為　 ?。ńY(jié)果保留π）．
12．如圖是第四套人民幣1角硬幣，該硬幣邊緣鐫刻的正多邊形的外角的度數(shù)為 　 　°．

13．為了了解某班數(shù)學(xué)成績情況，抽樣調(diào)查了20份試卷成績，結(jié)果如下：a個140分，b個135分，5個120分，1個110分，2個100分，3個90分．則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 　 　分．
14．已知⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P為圓上一點（與點A、B不重合），則∠APB的度數(shù)為 　 ?。?br /> 15．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記錄了很多經(jīng)典問題，其中有“米谷粒分”問題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為 　 　石．（精確到個位）
16．已知實數(shù)a、b滿足2021a+2020b＝3，2a+b＝1，則的值為 　 ?。?br /> 17．如圖，⊙O的圓心為原點，半徑為1，過點（a，a﹣1）可以作⊙O的兩條切線，則a的取值范圍是 　 ?。?br />
18．設(shè)a1、a2、a3，…，a2021是從﹣1，0，2這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，則a13+a23+a33+…+a20213＝　 ?。?br /> 三．解答題（本大題共有10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、解題過程或演算步驟）
19．（1）計算：|﹣2|﹣（﹣1）﹣1+2sin60°；
（2）先化簡，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2，其中x＝．
20．解不等式組：，并寫出它的正整數(shù)解．
21．網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)已經(jīng)被越來越多的學(xué)生所喜愛，某中學(xué)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．要求每位學(xué)生從“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四個等次中，選擇一項作為自我評價網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的效果．現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中的所給信息解答下列問題．
（1）這次活動共調(diào)查了 　 　名學(xué)生，扇形統(tǒng)計圖中，等次為“良好”所占圓心角的度數(shù)是 　 ?。?br /> （2）請通過計算補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（3）若該學(xué)校共有1200名學(xué)生，估計該學(xué)校網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等次為“優(yōu)秀”的學(xué)生有多少人？

22．每年的6月26日為“國際禁毒日”，甲、乙兩所學(xué)校分別有一男一女共4名學(xué)生參加“無毒青春健康人生”主題征文競賽．
（1）若從這4名學(xué)生中隨機(jī)選1名，則選中的是男學(xué)生的概率是 　 ?。?br /> （2）若從參賽的4名學(xué)生中分別隨機(jī)選2名，用畫樹狀圖或列表的方法求出這兩名學(xué)生來自不同學(xué)校的概率．
23．為迎接2021年揚(yáng)州世園會順利開幕，園區(qū)在道路兩側(cè)加強(qiáng)了美化措施．市園林工程處決定在公路旁栽1440棵樹，由于志愿者的支援，實際每天栽樹比原計劃多，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．請你根據(jù)以上信息，提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解答過程．
24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）連接CE交AB于點F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的長．

25．如圖，CD為⊙O的直徑，AB∥CD，BC平分∠ACD，延長CA，過B作BE⊥CA，垂足為E．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）已知BE＝，求⊙O的半徑．

26．（1）如圖1，在△ABC中，點P在邊AC上．
①AB＝2，AC＝4，∠ABP＝∠C，求AP長；
②AB＝m，AC＝n（n＞m）．當(dāng)AP＝　 　時，△APB∽△ABC；
（2）如圖2，已知△ABC（AB＜AC），請用直尺和圓規(guī)在直線AB上求作一點P，使AC是線段AB和AP的比例中項．（保留作圖痕跡，不寫作法）

27．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（a，b），若點A1的坐標(biāo)是（a，|a﹣b|），則稱點A1是點A的“關(guān)聯(lián)點”．
（1）點（﹣1，3）的“關(guān)聯(lián)點”坐標(biāo)是 　 ??；
（2）點A在函數(shù)y＝2x﹣3上，若點A的“關(guān)聯(lián)點”A1與點A重合，求點A的坐標(biāo)；
（3）點A（a，b）的“關(guān)聯(lián)點”A1是函數(shù)y＝x2的圖象上一點，當(dāng)0≤a≤2時，求線段AA1長度的最大值．
28．閱讀感悟：
“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同一個問題有“數(shù)”、“形”兩方面的特性，解決數(shù)學(xué)問題，有的從“數(shù)”入手簡單，有的從“形”入手簡單，因此，可能“數(shù)”→“形”或“形”→“數(shù)”，有的問題需要經(jīng)過幾次轉(zhuǎn)化．這對于初、高中數(shù)學(xué)的解題都很有效，應(yīng)用廣泛．
解決問題：
（1）如圖1，?ABCD，AB＝15，AD＝14，AC＝13，求tanB；
（2）已知函數(shù)y1＝x2，y2＝ax﹣1，當(dāng)x＜時，y1＞y2，則整數(shù)a可取的最大值與最小值的和是 　 ??；
（3）如圖2，矩形ABCD的邊長AB＝2，BC＝3，點E、F分別是AD、BC邊上的動點（與矩形頂點不重合），連接BE、CE，過F作FG∥CE交BE于G，作FH∥BE交CE于H．當(dāng)△EFG面積最大時，求的值．



參考答案
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）
1．下列四個數(shù)中，最大的實數(shù)是（　?。?br /> A．﹣2021 B．1 C．﹣1 D．2021
【分析】先根據(jù)實數(shù)的大小比較法則比較大小，再得出選項即可．
解：∵﹣2021＜﹣1＜1＜2021，
∴最大的實數(shù)是2021，
故選：D．
2．下列計算正確的是（　?。?br /> A．（a3）2＝a5 B．a(chǎn)3?a5＝a8 C．a(chǎn)5+a2＝a7 D．a(chǎn)6÷a2＝a3
【分析】分別根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則，同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項法則以及同底數(shù)冪的除法法則逐一判斷即可．
解：A、（a3）2＝a6，故本選項不合題意；
B、a3?a5＝a8，故本選項符合題意；
C、a5與a2不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；
D、a6÷a2＝a4，故本選項不合題意；
故選：B．
3．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．
解：由題意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故選：C．
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則2021﹣m2+m的值為（　?。?br /> A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，再把2021﹣m2+m變形為2021﹣（m2﹣m），然后利用整體代入的方法計算．
解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2，
所以m2﹣m＝2，
所以2021﹣m2+m＝2021﹣（m2﹣m）＝2021﹣2＝2019．
故選：B．
5．曲橋是我國古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風(fēng)光．如圖，A、B兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（　?。?br />
A．兩點之間，線段最短
B．平行于同一條直線的兩條直線平行
C．垂線段最短
D．兩點確定一條直線
【分析】利用兩點之間線段最短進(jìn)而分析得出答案．
解：這樣做增加了游人在橋上行走的路程，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：利用兩點之間線段最短，可得出曲折迂回的曲橋增加了游人在橋上行走的路程．
故選：A．
6．如圖，菱形AOBC的邊BO在x軸正半軸上，點A（2，2），反比例函數(shù)y＝圖象經(jīng)過點C，則k的值為（　?。?br />
A．12 B． C． D．
【分析】利用勾股定理求得OA，即可得到C的坐標(biāo)，代入解析式即可求得k的值．
解：∵點A（2，2），
∴OA＝＝4，
∴菱形的邊長為4，
∴C（6，2），
∴k＝6×2＝12，
故選：C．
7．關(guān)于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四個命題：
甲：x＝1是該方程的根
乙：該方程兩根之和為2
丙：x＝3是該方程的根
?。涸摲匠虄筛愄?br /> 如果有一個命題是假命題，則該命題是（　?。?br /> A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】因為只有一個假命題，所以可以利用假設(shè)法，逐—判斷即可．
解：若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，
解得x1＝3，則x2＝﹣1，符合題意；
若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，
∵．兩根之和不為2，而x1＝l，x2＝3與兩根異號矛盾，與題意不符；
若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，
令x1＝l，則x2＝l，與題意不符，
若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，
∵x1+x2＝4≠2，與題意不符；
故選：A．
8．如圖，點E是正方形ABCD邊BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延長EF，交AD的延長線于點M，交CD于點N．下列結(jié)論：①sin∠AME＝；②AD＝3DM；③BE+DN＝EN；④AM＝EM．其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及翻折變換的性質(zhì)，逐項進(jìn)行判斷即可．
解：連接AN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
由翻折得，
AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，BE＝FE，
在Rt△AFN和△ADN中，
∵AF＝AD，AN＝AN，
∴Rt△AFN≌△ADN（HL），
∴DN＝FN，
∴EN＝EF+FN＝BE+DN，因此③正確；
由AD∥BC得，∠DAE＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEM，
∴∠DAE＝∠AEM，
∴AM＝EM，因此④正確；
過點M作MH⊥AE于H，
∵AM＝EM，
∴AH＝EH，∠AMH＝∠EMH，
設(shè)BE＝a，則EF＝a，AB＝AD＝2a，
在Rt△ABE中，
AE＝＝a，
∴AH＝HE＝a，
∵∠MAH+∠AMH＝90°，∠BAE+∠MAH＝90°，
∴∠BAE＝∠AMH，
∴sin∠BAE＝＝sin∠AMH＝，
即＝，
∴AM＝a，
∴DM＝a﹣2a＝a，
∵AD＝2a，
∴AD＝4DM，因此②不正確；
在Rt△AMF中，
sin∠AME＝＝＝，因此①正確；
綜上所述，正確的有①③④，
故選：C．

二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．）
9．據(jù)數(shù)據(jù)顯示，截至2020年初，揚(yáng)州市戶籍人口約為4570000，將“4570000”這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為 　4.57×106?。?br /> 【分析】將一個數(shù)表示成a×10n，1≤a＜10，n是正整數(shù)的形式，叫做科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)此定義即可得出答案．
解：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，4570000＝4.57×106，
故答案為：4.57×106．
10．分解因式：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）?。?br /> 【分析】先提取公因式2，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．
解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案為：2（a+2）（a﹣2）．
11．圓錐的母線長為4，底面半徑為3，圓錐的側(cè)面積為　12π　（結(jié)果保留π）．
【分析】圓錐的側(cè)面積＝π×底面半徑×母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
解：∵圓錐的母線長為4，底面半徑為3，
∴該圓錐的側(cè)面積為：π×3×4＝12π．
故答案為：12π．
12．如圖是第四套人民幣1角硬幣，該硬幣邊緣鐫刻的正多邊形的外角的度數(shù)為 　40　°．

【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以多邊形的邊數(shù)，就得到外角的度數(shù)．
解：∵正多邊形的外角和是360°，
∴360°÷9＝40°．
故答案為：40．
13．為了了解某班數(shù)學(xué)成績情況，抽樣調(diào)查了20份試卷成績，結(jié)果如下：a個140分，b個135分，5個120分，1個110分，2個100分，3個90分．則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 　120　分．
【分析】直接根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可．
解：20份試卷成績，結(jié)果如下：a個140分，b個135分，5個120分，1個110分，2個100分，3個90分，
所以第10，11個數(shù)是120，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為120，
故答案為：120．
14．已知⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P為圓上一點（與點A、B不重合），則∠APB的度數(shù)為 　45°或135°?。?br /> 【分析】連接OA，OB，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝90°，根據(jù)圓周角定理解答即可．
解：連接OA，OB，
當(dāng)點P在優(yōu)弧上時，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，
∴∠AOB＝＝90°，
由圓周角定理得，∠APB＝∠AOB＝45°，
當(dāng)點P在劣弧上時，∠APB＝180°﹣45°＝135°，
故答案為：45°或135°．

15．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記錄了很多經(jīng)典問題，其中有“米谷粒分”問題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為 　169　石．（精確到個位）
【分析】根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒，可得比例，再乘以1534石，即可得出答案．
解：根據(jù)題意得：
1534×≈169（石），
故答案為：169．
16．已知實數(shù)a、b滿足2021a+2020b＝3，2a+b＝1，則的值為 　﹣　．
【分析】聯(lián)立已知兩個等式，求出a與b的值，代入原式計算即可求出值．
解：聯(lián)立得：，
由②得；b＝1﹣2a③，
把③代入①得：2021a+2020（1﹣2a）＝3，
去括號得：2021a+2020﹣4040a＝3，
移項合并得：﹣2019a＝﹣2017，
解得：a＝，
把a(bǔ)＝代入③得：b＝1﹣＝﹣，
則＝﹣．
故答案為：﹣．
17．如圖，⊙O的圓心為原點，半徑為1，過點（a，a﹣1）可以作⊙O的兩條切線，則a的取值范圍是 　a＞1或a＜0?。?br />
【分析】由題意可知，點（a，a﹣1）在⊙O的外部且到圓心的距離大于半徑1，可得不等式，解不等式即可得到a的取值范圍．
解：∵過點（a，a﹣1）可以作⊙O的兩條切線，
∴點（a，a﹣1）在⊙O的外部且到圓心的距離大于半徑1，
∴，
∴a2+（a﹣1）2＞1，
∴2a（a﹣1）＞0，
∴a＞0，a﹣1＞0或a＜0，a﹣1＜0，
∴a＞1或a＜0，
故答案為：a＞1或a＜0．
18．設(shè)a1、a2、a3，…，a2021是從﹣1，0，2這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，則a13+a23+a33+…+a20213＝　69?。?br /> 【分析】設(shè)這一列數(shù)中有x個﹣1，y個2，根據(jù)已知列方程組得，解方程組可得x和y的值，最后代入可得答案．
解：設(shè)這一列數(shù)中有x個﹣1，y個2，
∵a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，
∴﹣x+2y＝9，（﹣1）2?x+22?y＝51，
∴，
解得：，
∴a13+a23+a33+…+a20213＝x?（﹣1）3+y?23＝﹣x+8y＝﹣11+80＝69．
故答案為：69．
三．解答題（本大題共有10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、解題過程或演算步驟）
19．（1）計算：|﹣2|﹣（﹣1）﹣1+2sin60°；
（2）先化簡，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2，其中x＝．
【分析】（1）先根據(jù)絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算，再算乘法，最后算加減即可；
（2）先根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．
解：（1）原式＝2﹣+1+2×
＝2﹣+1+
＝3；

（2）（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2，
＝x2﹣1﹣x2+4x﹣4
＝4x﹣5，
當(dāng)x＝時，原式＝4×﹣5＝﹣4．
20．解不等式組：，并寫出它的正整數(shù)解．
【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進(jìn)而確定出正整數(shù)解即可．
解：，
由①得：x＜4，
由②得：x＞﹣2，
∴不等式組的解集為﹣2＜x＜4，
則不等式組的正整數(shù)解為1，2，3．
21．網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)已經(jīng)被越來越多的學(xué)生所喜愛，某中學(xué)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．要求每位學(xué)生從“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四個等次中，選擇一項作為自我評價網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的效果．現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中的所給信息解答下列問題．
（1）這次活動共調(diào)查了 　200　名學(xué)生，扇形統(tǒng)計圖中，等次為“良好”所占圓心角的度數(shù)是 　144°??；
（2）請通過計算補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（3）若該學(xué)校共有1200名學(xué)生，估計該學(xué)校網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等次為“優(yōu)秀”的學(xué)生有多少人？

【分析】（1）根據(jù)一般的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)，用360°乘以“良好”所占的百分比即可；
（2）用總?cè)藬?shù)減去其他學(xué)習(xí)效果的人數(shù)，求出不合格的人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計圖；
（3）用該校的總?cè)藬?shù)乘以等次為“優(yōu)秀”的學(xué)生所占的百分比即可．
解：（1）這次活動共調(diào)查的學(xué)生數(shù)是：50÷25%＝200（名），
扇形統(tǒng)計圖中，等次為“良好”所占圓心角的度數(shù)是：360°×＝144°；
故答案為：200，144°；

（2）不合格的人數(shù)有：200﹣30﹣80﹣50＝40（名），補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：


（3）1200×＝180（人），
答：估計該學(xué)校網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等次為“優(yōu)秀”的學(xué)生有180人．
22．每年的6月26日為“國際禁毒日”，甲、乙兩所學(xué)校分別有一男一女共4名學(xué)生參加“無毒青春健康人生”主題征文競賽．
（1）若從這4名學(xué)生中隨機(jī)選1名，則選中的是男學(xué)生的概率是 　　．
（2）若從參賽的4名學(xué)生中分別隨機(jī)選2名，用畫樹狀圖或列表的方法求出這兩名學(xué)生來自不同學(xué)校的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）將甲學(xué)校兩人記為a、b，將乙學(xué)校兩人記為c、d，畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到這兩名學(xué)生來自不同學(xué)校的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
解：（1）從這4名學(xué)生中隨機(jī)選1名，則選中的是男學(xué)生的概率是＝，
故答案為：；

（2）將甲學(xué)校兩人記為a、b，將乙學(xué)校兩人記為c、d，畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中這兩名學(xué)生來自不同學(xué)校的結(jié)果數(shù)為8，
所以這兩名學(xué)生來自不同學(xué)校的概率為＝．
23．為迎接2021年揚(yáng)州世園會順利開幕，園區(qū)在道路兩側(cè)加強(qiáng)了美化措施．市園林工程處決定在公路旁栽1440棵樹，由于志愿者的支援，實際每天栽樹比原計劃多，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．請你根據(jù)以上信息，提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解答過程．
【分析】提出問題：求原計劃每天栽多少棵樹？設(shè)原計劃每天栽x棵樹，由題意：市園林工程處決定在公路旁栽1440棵樹，由于志愿者的支援，實際每天栽樹比原計劃多，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．列出分式方程，解方程即可．
解：提出問題：求原計劃每天栽多少棵樹？
設(shè)原計劃每天栽x棵樹，則實際每天栽（1+）x棵樹，
由題意得：，
解得：x＝90，
經(jīng)檢驗，x＝90是原分式方程的解，
答：原計劃每天栽90棵．
24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）連接CE交AB于點F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的長．

【分析】（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可判斷．
（2）證明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∵AB＝AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四邊形AEBD是矩形．

（2）解：∵四邊形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．

25．如圖，CD為⊙O的直徑，AB∥CD，BC平分∠ACD，延長CA，過B作BE⊥CA，垂足為E．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）已知BE＝，求⊙O的半徑．

【分析】（1）連接OB，OA，根據(jù)平行的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及同圓中同弧所對的圓心角是圓周角的二倍，證明出∠OBE＝90°即可；
（2）先根據(jù)已知條件證明四邊形ACOB是菱形，再求出∠EAB＝60°，在直角三角形AEB中求出AB長度即可．
【解答】（1）證明：連接OB，OA，

∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
又∵BC平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠BCD＝∠ACD，
∵∠BOD＝2∠BCD，
∴∠BOD＝∠ACD，
∴CE∥OB，
∴∠CEB+∠OBE＝180°，
∵BE⊥CA，即∠CEB＝90°，
∴∠OBE＝90°，
∴BE是⊙O的切線；
（2）解：∵AB∥CD，AE∥BO，
∴四邊形ACOB是平行四邊形，
∵OB＝OC，
∴?ACOB是菱形，
∴AC＝OC＝OA，
∴∠ACD＝60°，
又∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴OC＝AB＝4，
∴⊙O的半徑為4．
26．（1）如圖1，在△ABC中，點P在邊AC上．
①AB＝2，AC＝4，∠ABP＝∠C，求AP長；
②AB＝m，AC＝n（n＞m）．當(dāng)AP＝　　時，△APB∽△ABC；
（2）如圖2，已知△ABC（AB＜AC），請用直尺和圓規(guī)在直線AB上求作一點P，使AC是線段AB和AP的比例中項．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】（1）①證明∠ABP∽△ACB，推出＝，可得結(jié)論．
②當(dāng)＝時，△APB∽△ABC，由此可得結(jié)論．
（2）在CA的下方作∠ACP＝∠ABC，CP交AB的延長線于P．
解：（1）①∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴∠ABP∽△ACB，
∴＝，
∴AP＝＝1．

②∵∠A＝∠A，
∴當(dāng)＝時，△APB∽△ABC，
∴＝，
∴AP＝，
故答案為：．

（2）如圖2中，點P即為所求．

27．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（a，b），若點A1的坐標(biāo)是（a，|a﹣b|），則稱點A1是點A的“關(guān)聯(lián)點”．
（1）點（﹣1，3）的“關(guān)聯(lián)點”坐標(biāo)是 　（﹣1，4）?。?br /> （2）點A在函數(shù)y＝2x﹣3上，若點A的“關(guān)聯(lián)點”A1與點A重合，求點A的坐標(biāo)；
（3）點A（a，b）的“關(guān)聯(lián)點”A1是函數(shù)y＝x2的圖象上一點，當(dāng)0≤a≤2時，求線段AA1長度的最大值．
【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的定義即可得出答案；
（2）先設(shè)出點A的坐標(biāo)，再根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的定義寫出A1的坐標(biāo)，由兩個點重合即可得出答案；
（3）先寫出點A的“關(guān)聯(lián)點”的坐標(biāo)，代入y＝x2求出a和b的關(guān)系，將AA1的長度用含a的式子表示出來，根據(jù)a的取值范圍即可求出AA1長度的最大值．
解：（1）∵|﹣1﹣3|＝4，
∴根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的定義，點（﹣1，3）的“關(guān)聯(lián)點”坐標(biāo)是（﹣1，4），
故答案為（﹣1，4）；
（2）∵點A在y＝2x﹣3上，設(shè)點A（m，2m﹣3），
則|m﹣（2m﹣3）|＝|﹣m+3|，
∴A1的坐標(biāo)為（m，|﹣m+3|），
∵點A的“關(guān)聯(lián)點”A1與點A重合，
∴2m﹣3＝|﹣m+3|，
解答m＝0或m＝2，
∴點A的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（2，1）；
（3）由題意知點A（a，b）的“關(guān)聯(lián)點”A1的坐標(biāo)為（a，|a﹣b|），
把（a，|a﹣b|）代入y＝x2得：|a﹣b|＝a2，
∴若a≥b，則b＝a﹣a2，若a＜b，則b＝a+a2，
因為點A的坐標(biāo)為（a，b），A1的坐標(biāo)為（a，|a﹣b|），
∴AA1＝|a﹣b|﹣b，
當(dāng)a≥b時，AA1＝a﹣b﹣b＝a﹣2b＝a﹣2（a﹣a2）＝2a2﹣a，
∵0≤a≤2，
∴2a2﹣a的最大值為2×22﹣2＝6，
當(dāng)a＜b時，AA1＝b﹣a﹣b＝﹣a，
∵0≤a≤2，
∴﹣a的最大值為0，
綜上，AA1長度的最大值為6．
28．閱讀感悟：
“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同一個問題有“數(shù)”、“形”兩方面的特性，解決數(shù)學(xué)問題，有的從“數(shù)”入手簡單，有的從“形”入手簡單，因此，可能“數(shù)”→“形”或“形”→“數(shù)”，有的問題需要經(jīng)過幾次轉(zhuǎn)化．這對于初、高中數(shù)學(xué)的解題都很有效，應(yīng)用廣泛．
解決問題：
（1）如圖1，?ABCD，AB＝15，AD＝14，AC＝13，求tanB；
（2）已知函數(shù)y1＝x2，y2＝ax﹣1，當(dāng)x＜時，y1＞y2，則整數(shù)a可取的最大值與最小值的和是 　1??；
（3）如圖2，矩形ABCD的邊長AB＝2，BC＝3，點E、F分別是AD、BC邊上的動點（與矩形頂點不重合），連接BE、CE，過F作FG∥CE交BE于G，作FH∥BE交CE于H．當(dāng)△EFG面積最大時，求的值．

【分析】（1）如圖1，過點A作AE⊥BC于點E，設(shè)BE＝x，則CE＝14﹣x，運(yùn)用勾股定理得AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，建立方程可求得：BE＝9，CE＝5，再運(yùn)用勾股定理求得AE＝12，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得答案；
（2）分兩種情況：a≥0或a＜0，①當(dāng)a≥0時，令x＝，則y1＝（）2＝，求得K（，），代入y2＝ax﹣1，求得a＝，即可得出0≤a＜；
②當(dāng)a＜0時，令y1＝y(tǒng)2，可得x2﹣ax+1＝0，由Δ＝0，可得a＝﹣2，即可得出﹣2＜a＜0；
（3）如圖3，設(shè)BF＝x，則CF＝3﹣x，表示出S△EFG＝﹣（x﹣）2+，利用二次函數(shù)性質(zhì)得出BF＝CF＝，再利用平行線分線段成比例定理即可求得答案．
解：（1）如圖1，過點A作AE⊥BC于點E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD＝14，
設(shè)BE＝x，則CE＝14﹣x，
∵△ABE和△ACE是直角三角形，
∴AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，
即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
∴BE＝9，CE＝5，
∴AE＝＝＝12，
∴tanB＝＝＝；
（2）如圖2，∵y1＝x2，y2＝ax﹣1，當(dāng)x＜時，y1＞y2，
∴分兩種情況：a≥0或a＜0，
①當(dāng)a≥0時，令x＝，則y1＝（）2＝，
∴K（，），
將K（，）代入y2＝ax﹣1，
得：＝a﹣1，
解得：a＝，
∴當(dāng)0≤a＜時，y1＞y2，
②當(dāng)a＜0時，令y1＝y(tǒng)2，
得x2＝ax﹣1，
∴x2﹣ax+1＝0，
當(dāng)直線y2＝ax﹣1與拋物線y1＝x2只有一個交點T時，Δ＝0，
∴a2﹣4＝0，
解得：a＝±2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
∴當(dāng)﹣2＜a＜0時，y1＞y2，
綜上，當(dāng)x＜時，y1＞y2，a的取值范圍為0≤a＜或﹣2＜a＜0，即﹣2＜a＜，
∵a的最大整數(shù)為2，最小整數(shù)為﹣1，
∴整數(shù)a可取的最大值與最小值的和是2+（﹣1）＝1，
故答案為：1；
（3）如圖3，設(shè)BF＝x，則CF＝3﹣x，
∵FG∥CE，F(xiàn)H∥BE，
∴△BFG∽△BCE，△FCH∽△BCE，S△EFG＝S?EGFH，
∴＝（）2，＝（）2，
∵S△BCE＝BC×AB＝×3×2＝3，
∴S△BFG＝x2，S△FCH＝（3﹣x）2，
∴S△EFG＝S?EGFH＝（S△BCE﹣S△BFG﹣S△FCH）＝[3﹣x2﹣（3﹣x）2]＝﹣（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時，S△EFG的最大值為，
此時，BF＝，CF＝BC﹣BF＝3﹣＝，
∴BF＝CF，
∵FH∥BE，
∴＝＝1．