哈爾濱市第六中學(xué)2019級(jí)高三上學(xué)期10月份月考文科數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)向量，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．          B．           C．            D．4．在正方體中，則直線與直線所成角大小為（    ）A．30° B．45°  C．60° D．90°5．已知數(shù)列中，且，則（    ）A． B． C． D．6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．  7．已知函數(shù)的最小正周期為，則（    ）A．1 B． C．0 D．8．往正方形內(nèi)隨機(jī)放入個(gè)點(diǎn)，恰有個(gè)點(diǎn)落入正方形的內(nèi)切圓內(nèi)，則的近似值為（    ）A．        B．       C．      D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（    ）A． B． C． D．10．設(shè)數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)之積為，則的值為（    ）A． B． C． D．11．某船從處向北偏東方向航行千米后到達(dá)處，然后朝南偏西的方向航行6千米到達(dá)處，則處與處之間的距離為（    ）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米12．已知函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知向量，，，則______；14．已知命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________；15．已知，且是第四象限的角，則的值為______________；16．一個(gè)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，則該球的表面積為   ．三、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（共10分）已知正項(xiàng)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和 18．（共12分）已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，且，是棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若平面，求的值； 19．（共12分）新能源汽車(chē)是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外所有的其他能源汽車(chē)，被認(rèn)為能減少空氣污染和緩解能源短缺.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)必將成為未來(lái)汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).新能源汽車(chē)也越來(lái)越受到消費(fèi)者的青睞.某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某地區(qū)近期購(gòu)車(chē)的200位車(chē)主的性別與購(gòu)車(chē)種類(lèi)情況，得到數(shù)據(jù)如下： 購(gòu)置新能源汽車(chē)購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)合計(jì)男性10020120女性503080合計(jì)15050200（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為是否購(gòu)置新能源汽車(chē)與性別有關(guān)；（2）用分層抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購(gòu)置新能源汽車(chē)的車(chē)主中選出6位，參加關(guān)于“新能源汽車(chē)駕駛體驗(yàn)”的問(wèn)卷調(diào)查，并從這6位車(chē)主中隨機(jī)抽取2位車(chē)主贈(zèng)送一份小禮物，求這2位獲贈(zèng)禮品的車(chē)主中至少有1位女性車(chē)主的概率.參考公式：，其中.        參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82820．在中，角的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（1）求角；（2）若，的中線，求的面積．    21．如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，設(shè)直線，相交于點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.   22．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有唯一的極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：． 
哈爾濱市第六中學(xué)2020—2021學(xué)年度上學(xué)期10月月考試高三（文科）數(shù)學(xué)答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案CBDCCDDAABBA 二、13.    14.   15.   16. 17. 解：（1）由題意知，，
，得，
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，又，
，化簡(jiǎn)得，解得，——————3分
.——————5分
（2）由（1）知，.——————6分
，
.————10分18. (1)證明：因?yàn)?/span>，所以，又，所以.因?yàn)?/span>平面，平面，所以.又，在平面內(nèi)，且相交于點(diǎn)，所以平面.又平面，所以平面平面.————————————6分(2) 如圖，連接，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn).因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面.故上述所作點(diǎn)為使得平面的點(diǎn).如圖在梯形中，有，令，因?yàn)?/span>，，三點(diǎn)共線，所以，.即，所以，.因?yàn)?/span>，所以，.————————12分 19. （1）由題中數(shù)據(jù)可得.所以有的把握認(rèn)為是否購(gòu)置新能源汽車(chē)與性別有關(guān).——————6分（小數(shù)點(diǎn)后保留沒(méi)有真實(shí)值扣1分，不足三位扣2分，沒(méi)有與10.828比較扣2分，沒(méi)有結(jié)論扣1分）（2）用分層抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購(gòu)置新能源汽車(chē)的車(chē)主中選出6位，其中男性車(chē)主有人，記為，，，；女性車(chē)主有人，記為，.從這6位車(chē)主中隨機(jī)抽取2位車(chē)主包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15種；——————9分（設(shè)事件1分）至少有1位女性車(chē)主包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9種.————————11分故所求概率.————————12分20. （1）由正弦定理及已知條件，得，兩邊同乘，得．由余弦定理得．∵，∴——————————6分（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，則所得四邊形是平行四邊形，∴．又∵，，可得為等邊三角形，∴，∴．∴．——————12分21. （1）證明：如圖，連接，因?yàn)?/span>，所以，所以，從而.又由條件知，所以，所以.因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.————————————6分（2）解：設(shè)到平面的距離為，由，得.又，所以三棱錐的體積.設(shè)到平面的距離為，在中，，，，所以，，.由，得，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.————————12分22. （1）當(dāng)時(shí)，，，則，又，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．—————4分（2），令，在區(qū)間上有唯一的極值點(diǎn)，又，所以只需，解得，由，得，即，，．令，，，即在上單調(diào)遞增，且，，．—————————12分  

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