?2021年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)二模試卷
一、選擇題（每題3分，共24分）
1．（3分）2021的絕對值是（　?。?br /> A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．（3分）下列各式中計算正確的是（　?。?br /> A．x2?x3＝x5 B．x8÷x4＝x2 C．x3+x3＝x6 D．（﹣x2）3＝﹣x5
4．（3分）如圖，直線a∥b，將一直角三角形的直角頂點置放于直線b上，若∠1＝24°，則∠2的度數(shù)是（　　）

A．66° B．96° C．114° D．156°
5．（3分）不等式4x＜3x+1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
6．（3分）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，C均在網(wǎng)格交點上，⊙O是△ABC的外接圓，則cos∠BAC的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
7．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠ADC的角平分線與BC邊所在直線交于點E．若AB＝5，BE＝1，則平行四邊形ABCD的周長為（　?。?br /> A．22 B．16 C．22或18 D．24 或16
8．（3分）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，C兩點，與y軸交于點B，點P為拋物線上一動點，過點P作PQ∥AB交y軸于Q，若點P從點A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運動到點B，則點Q經(jīng)過的路徑長為（　?。?br />
A． B． C．3 D．
二、填空題（每小題3分，共24分）
9．（3分）公報顯示，2020年我國經(jīng)濟運行逐步恢復(fù)常態(tài)，全年國內(nèi)生產(chǎn)總值約為1010000億元，把1010000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為　 ?。?br /> 10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時點A'恰好落在AB邊上，則△CAA'周長為 　 ?。?br />
11．（3分）疫情當(dāng)前，根據(jù)上級要求學(xué)生在校期間每天都要檢測體溫，小紅連續(xù)5天的體溫數(shù)據(jù)如下（單位：℃）：36.7，36.3，36.5，36.2，36.3，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 　 ?。?br /> 12．（3分）如圖，以△ABC各個頂點為圓心，6cm為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為 　 ?。ńY(jié)果保留π）

13．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有實數(shù)根，則a的最小值是　 ?。?br /> 14．（3分）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，則△ABC的面積為 　 ?。?br />
15．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA與反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象交于點A，將直線OA向上平移若干個單位長度得到直線BC，直線BC分別與y軸、反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象交于B、C兩點，若AO＝2BC，四邊形OACB的面積為9，則k的值為 　 ?。?br />
16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上一點，四邊形AEFD是菱形，菱形的對角線AF分別交DE、DC于P、Q兩點，則下列結(jié)論中正確的有 　 ?。ㄌ钚蛱柤纯桑?br /> ①∠PAE＝∠PDQ；②PE2＝CE?AE；③2PF2＝BC?CF；④＝1．

三、簡答題(每題8分，共16分)
17．（8分）化簡求值：÷（），其中x＝．
18．（8分）如圖，在△ABC中，D、E是邊BC上兩點，且∠ADC＝∠AEB，∠B＝∠C，求證：△BAD≌△CAE．

四、解答題（每題10分，共20分）
19．（10分）某校為了解本校學(xué)生對自己視力保護的重視程度，隨機在校內(nèi)調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果分為“非常重視”“重視”“比較重視”“不重視”四類，并將結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）此次調(diào)查的學(xué)生的人數(shù)為 　 　人；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）該校有學(xué)生2500人，請估計該校學(xué)生對視力保護重視程度為“非常重視”的人數(shù)．

20．（10分）A、B兩個不透明的盒子里分別裝有三張卡片，其中A盒子里三張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3．B盒子里三張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字5、6、7．這些卡片除數(shù)字外其余都相同，將兩個盒子里的卡片充分搖勻．
（1）從A盒子里隨機抽取一張卡片，求抽到卡片上的數(shù)字是奇數(shù)的概率；
（2）從A、B兩個盤子里各隨機抽取一張卡片，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求其中一張卡片上的數(shù)字是奇數(shù)、一張卡片上的數(shù)字是偶數(shù)的概率．
五、解答題（每題10分，共20分）
21．（10分）如圖，在一個坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD．測得古樹底端C到山腳點A的距離AC＝13米，在距山腳點A水平距離4米的點E處，測得古樹頂端D的仰角∠AED＝48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點E在同一平面上，古樹CD與直線AE垂直），求古樹CD的高度．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

22．（10分）如圖，正比例函數(shù)y＝k1x圖象與反比例函數(shù)y＝圖象交于點C，點A（4，2）在正比例函數(shù)y＝k1x圖象上，過A作AB⊥y軸，垂足為B，線段AB與反比例函數(shù)y＝圖象交于點D，且BD：DA＝1：3，連接CD．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求tan∠ADC的值．

六、解答題（每題10分，共20分）
23．（10分）小華與小明分別從甲，乙兩地同時出發(fā)，沿一條筆直的人行步道相向而行，兩人分別到達乙，甲兩地后立即原路返回，當(dāng)兩人第二次相遇時停止運動．兩人步行過程中速度保持不變，且小華的速度大于小明的速度；兩人之間的距離y（單位：米）與所用時間x（單位：分鐘）之間函數(shù)關(guān)系的部分圖象如圖所示，請結(jié)合圖象完成下列問題：
（1）求兩名同學(xué)的速度分別是多少？
（2）請直接寫出線段AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）請在圖中補全圖象，并在圖上標(biāo)出補充圖象的端點坐標(biāo)．（不必寫計算過程）

24．（10分）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，線段BP的垂直平分線交OP于點C，連接BC．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若AB＝2，BP＝4，求OC的長．

七、解答題（本題12分）
25．（12分）基本模型：（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D、E兩點分別在AB、AC邊上，且BD＝CE，求證：△BDC≌△CEB；
模型初探：（2）如圖2，在△ABC中，D、E兩點分別為BC、AC邊上，且AC＝DC，∠AED＝∠B，求證：AB＝DE；
深入探究：（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC，點D為AC邊上一點，且BD＝BC，點E為BC邊上一點，連接ED；若∠ABD＝∠DEC，DE＝4，AB＝13，求BC的長．

八、解答題（本題14分）
26．（14分）已知，拋物線y＝ax2+bx+1與y軸交于點C．

（1）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+1與x軸交于點A和點B（3，0），對稱軸為直線x＝1．
①求拋物線的解析式．
②點P為拋物線上一動點，PN⊥BC，垂點為N，當(dāng)△PCN與△BOC相似時，直接寫出P點坐標(biāo)；
（2）點D為拋物線頂點，若拋物線上有且只有一個點Q的橫坐標(biāo)是縱坐標(biāo)的2倍，且∠DCO＝45°，求a的值．

2021年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共24分）
1．（3分）2021的絕對值是（　?。?br /> A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根據(jù)絕對值的意義，正數(shù)的絕對值是它本身即可求出答案．
【解答】解：2021的絕對值即為：|2021|＝2021．
故選：A．
2．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解，由于圓既是軸對稱又是中心對稱圖形，故只考慮圓內(nèi)圖形的對稱性即可．
【解答】解：A、既是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；
B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；
D、只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．
故選：B．
3．（3分）下列各式中計算正確的是（　?。?br /> A．x2?x3＝x5 B．x8÷x4＝x2 C．x3+x3＝x6 D．（﹣x2）3＝﹣x5
【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運算法則以及合并同類項法則、積的乘方運算法則分別計算得出答案．
【解答】解：A、x2?x3＝x5，故此選項正確；
B、x8÷x4＝x2，故此選項錯誤；
C、x3+x3＝2x3，故此選項錯誤；
D、（﹣x2）3＝﹣x6，故此選項錯誤；
故選：A．
4．（3分）如圖，直線a∥b，將一直角三角形的直角頂點置放于直線b上，若∠1＝24°，則∠2的度數(shù)是（　?。?br />
A．66° B．96° C．114° D．156°
【分析】依據(jù)a∥b，即可得出∠2＝∠ABC＝∠1+∠CBE．
【解答】解：如圖，

∵a∥b，
∴∠2＝∠ABC＝∠1+∠CBE＝24°+90°＝114°，
故選：C．
5．（3分）不等式4x＜3x+1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)：先移項，然后合并同類項即可解得不等式．
【解答】解：4x＜3x+1，
移項得：4x﹣3x＜1，
合并同類項得：x＜1，
在數(shù)軸上表示為：

故選：C．
6．（3分）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，C均在網(wǎng)格交點上，⊙O是△ABC的外接圓，則cos∠BAC的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】作直徑BD，連接CD，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根據(jù)余弦的定義解答即可．
【解答】解：如圖，作直徑BD，連接CD，
由勾股定理得，BD＝＝2，
在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，
由圓周角定理得，∠BAC＝∠BDC，
∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，
故選：D．

7．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠ADC的角平分線與BC邊所在直線交于點E．若AB＝5，BE＝1，則平行四邊形ABCD的周長為（　?。?br /> A．22 B．16 C．22或18 D．24 或16
【分析】分兩種情況畫出圖形，由平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】解：①如圖1，當(dāng)點E在線段AB上，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEA，
∴AD＝AE＝BC，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AD＝4，
∴平行四邊形ABCD的周長為2×（AD+AB）＝2×（4+5）＝18．
②如圖2，當(dāng)點E在AB的延長線上時，

同理可得AD＝AE，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AB+BE＝5+1＝6，
∴平行四邊形ABCD的周長為2×（AD+AB）＝2×（6+5）＝22．
故選：C．
8．（3分）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，C兩點，與y軸交于點B，點P為拋物線上一動點，過點P作PQ∥AB交y軸于Q，若點P從點A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運動到點B，則點Q經(jīng)過的路徑長為（　　）

A． B． C．3 D．
【分析】分別求出點A、B的坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法求出直線AB，PQ的解析式，再求出它們與x軸的交點坐標(biāo)即可解決問題．
【解答】解：對于y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，則y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，則x＝﹣3或1，

∵點A在點C的左側(cè)，
∴A（﹣3，0），
設(shè)AB所在直線解析式為y＝kx+b，
將A、B點代入得：，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y＝x+3，
∵PQ∥AB，
∴設(shè)PQ的解析式為：y＝x+a，
∵點Q經(jīng)過的路徑長是直線PQ經(jīng)過拋物線的切點與y軸的交點和點B的距離的2倍，
∴方程﹣x2﹣2x+3＝x+a有兩個實數(shù)根，
∴Δ＝9﹣4（a﹣3）＝0，
解得：a＝，
∴Q（0，），
當(dāng)點P與點A重合時，點Q與點B重合時，此時點Q的坐標(biāo)為（0，3），
點Q經(jīng)過的路徑長為2×＝，
故選：D．
二、填空題（每小題3分，共24分）
9．（3分）公報顯示，2020年我國經(jīng)濟運行逐步恢復(fù)常態(tài)，全年國內(nèi)生產(chǎn)總值約為1010000億元，把1010000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為　1.01×106?。?br /> 【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：1010000＝1.01×106．
故答案為：1.01×106．
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時點A'恰好落在AB邊上，則△CAA'周長為 　6　．

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC＝A'C，再根據(jù)∠A＝60°，可得△ACA'是等邊三角形，從而得出△CAA'的周長．
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC＝A'C，
又∵∠A＝60°，
∴△ACA'是等邊三角形，
∴△CAA'周長為2+2+2＝6，
故答案為：6．
11．（3分）疫情當(dāng)前，根據(jù)上級要求學(xué)生在校期間每天都要檢測體溫，小紅連續(xù)5天的體溫數(shù)據(jù)如下（單位：℃）：36.7，36.3，36.5，36.2，36.3，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 　36.4℃?。?br /> 【分析】先根據(jù)平均數(shù)的定義列出算式，再求出平均數(shù)即可．
【解答】解：平均數(shù)是×（36.7+36.3+36.5+36.2+36.3）＝36.4（℃），
故答案為：36.4℃．
12．（3分）如圖，以△ABC各個頂點為圓心，6cm為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為 　18πcm2?。ńY(jié)果保留π）

【分析】求出三角形的內(nèi)角和，再根據(jù)扇形的面積公式求出陰影部分的面積即可．
【解答】解：由圖知，陰影部分的3個扇形的圓心角組成了三角形的3個內(nèi)角，
∵三角形的內(nèi)角和為180°，
又∵6cm為半徑，
∴＝18π（cm2），
故答案為：18πcm2．
13．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有實數(shù)根，則a的最小值是　﹣2?。?br /> 【分析】利用二次項系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有實數(shù)根，
∴，
∴a≥﹣2．
∴a的最小值是﹣2．
故答案是：﹣2．
14．（3分）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，則△ABC的面積為 　8?。?br />
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE、DF的長，然后根據(jù)三角形面積公式可得答案．
【解答】解：∵AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，
∴DE＝DF＝2，
∵AB＝5，AC＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝AB?DE+AC?DF
＝×5×2+×3×2
＝5+3
＝8．
故答案為：8．
15．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA與反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象交于點A，將直線OA向上平移若干個單位長度得到直線BC，直線BC分別與y軸、反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象交于B、C兩點，若AO＝2BC，四邊形OACB的面積為9，則k的值為 　8?。?br />
【分析】連接AB、OC，作AM⊥y軸于M，CN⊥y軸于N，根據(jù)題意得出S△BOC＝3，通過證得△BCN∽△OAM，得出＝（）2＝4，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S△BCN＝|k|，進而得出3+|k|＝|k|，從而求得k＝8．
【解答】解：連接AB、OC，作AM⊥y軸于M，CN⊥y軸于N，
∵AO＝2BC，OA∥BC，
∴S△AOB＝2S△BOC＝2S△ABC，
∵四邊形OACB的面積為9，
∴S△BOC＝3，
∵OA∥BC，AM∥CN，
∴△BCN∽△OAM，
∴＝（）2＝4，
∴S△AOM＝|k|，
∴S△BCN＝|k|，
∵S△CON＝|k|，
∴3+|k|＝|k|，
∴|k|＝8，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案為8．

16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上一點，四邊形AEFD是菱形，菱形的對角線AF分別交DE、DC于P、Q兩點，則下列結(jié)論中正確的有 ?、佗堋。ㄌ钚蛱柤纯桑?br /> ①∠PAE＝∠PDQ；②PE2＝CE?AE；③2PF2＝BC?CF；④＝1．

【分析】①通過菱形矩形的性質(zhì)，利用直角三角形銳角互補的性質(zhì)即可求出；
②利用△APE≈△DCE，對應(yīng)邊成比例即可證明；
③通過相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案；
④通過證明△CQF∽△BFA，通過線段相等關(guān)系，化同分母相減即可．
【解答】解：①∵四邊形AEFD為菱形，
∴∠PAE＝∠PFE，AF⊥DE，
∴∠PDQ+∠PQD＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC⊥BF，
∴∠PFE+∠CQF＝90°，
∵∠PQD＝∠CQF，
∴∠PDQ＝∠PFE，
∴∠PAE＝∠PDQ，故①正確；
②由①知∠PAE＝∠PDQ，∠APE＝∠DCE＝90°，
∴△APE∽△DCE，
∴，
∵DE＝2PE，
∴2PE2＝AE?CE≠PE2，故②錯誤；
③∵∠EPF＝∠ABF，∠PFE＝∠BFA，
∴△PFE∽△BFA，
∴，
∵AF＝2PF，EF＝AD＝BC，
∴PF?AF＝2PF2?EF＝BC?BF≠BC?CF，故③錯誤；
④∵CQ∥AB，
∴△CQF∽△BFA，
∴，
∵EF＝AD＝BC，
∴BE＝BC﹣CE＝EF﹣CE＝CF，
∴AE＝AD＝BC，
∴＝1，故④正確．
故答案為：①④．
三、簡答題(每題8分，共16分)
17．（8分）化簡求值：÷（），其中x＝．
【分析】根據(jù)分式的加減運算法則，乘除運算法則進行化簡，然后將x的值代入化簡后的式子即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷[+]
＝÷
＝÷
＝?
＝，
當(dāng)x＝﹣2時，
原式＝
＝．
18．（8分）如圖，在△ABC中，D、E是邊BC上兩點，且∠ADC＝∠AEB，∠B＝∠C，求證：△BAD≌△CAE．

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定求出AB＝AC，求出∠BDA＝∠CEA，根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】證明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵∠BDA+∠ADC＝180°，∠CEA+∠AEB＝180，
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDA＝∠CEA，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（AAS）．
四、解答題（每題10分，共20分）
19．（10分）某校為了解本校學(xué)生對自己視力保護的重視程度，隨機在校內(nèi)調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果分為“非常重視”“重視”“比較重視”“不重視”四類，并將結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）此次調(diào)查的學(xué)生的人數(shù)為 　80　人；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）該校有學(xué)生2500人，請估計該校學(xué)生對視力保護重視程度為“非常重視”的人數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的“不重視”數(shù)據(jù)即可求出此次調(diào)查的學(xué)生的人數(shù)；
（2）結(jié)合（1）“重視”的人數(shù)為24人，進而可以補全條形統(tǒng)計圖；
（3）根據(jù)樣本估計總體的方法即可求出該校視力保護“非常重視”的人數(shù)．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：此次調(diào)查的學(xué)生的人數(shù)為16÷20%＝80（人）；
故答案為：80；
（2）因為80﹣4﹣36﹣16＝24（人），
所以“重視”的人數(shù)為24人，
補全的條形統(tǒng)計圖如下：

（3）（人）．
答：該校視力保護“非常重視”約為125人．
20．（10分）A、B兩個不透明的盒子里分別裝有三張卡片，其中A盒子里三張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3．B盒子里三張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字5、6、7．這些卡片除數(shù)字外其余都相同，將兩個盒子里的卡片充分搖勻．
（1）從A盒子里隨機抽取一張卡片，求抽到卡片上的數(shù)字是奇數(shù)的概率；
（2）從A、B兩個盤子里各隨機抽取一張卡片，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求其中一張卡片上的數(shù)字是奇數(shù)、一張卡片上的數(shù)字是偶數(shù)的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9個等可能的結(jié)果，其中一張卡片上的數(shù)字是奇數(shù)、一張卡片上的數(shù)字是偶數(shù)的結(jié)果有4個，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）從A盒子里隨機抽取一張卡片，抽到卡片上的數(shù)字是奇數(shù)的概率為；
（2）畫樹狀圖如下：

共有9個等可能的結(jié)果，其中一張卡片上的數(shù)字是奇數(shù)、一張卡片上的數(shù)字是偶數(shù)的結(jié)果有4個，
∴其中一張卡片上的數(shù)字是奇數(shù)、一張卡片上的數(shù)字是偶數(shù)的概率為．
五、解答題（每題10分，共20分）
21．（10分）如圖，在一個坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD．測得古樹底端C到山腳點A的距離AC＝13米，在距山腳點A水平距離4米的點E處，測得古樹頂端D的仰角∠AED＝48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點E在同一平面上，古樹CD與直線AE垂直），求古樹CD的高度．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

【分析】根據(jù)已知條件得＝1：2.4＝，設(shè)CF＝5k，AF＝12k，根據(jù)勾股定理得到AC＝13k＝13，求得AF＝12，CF＝5，得到EF＝4+12＝16，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，設(shè)CD與EA交于F，

∵＝1：2.4＝，
∴設(shè)CF＝5k，AF＝12k，
∴AC＝＝13k＝13，
∴k＝1，
∴AF＝12，CF＝5，
∵AE＝4，
∴EF＝4+12＝16，
∵∠AED＝48°，
∴tan48°＝＝＝1.11，
∴DF＝17.76，
∴CD＝17.76﹣5＝12.76（米）．
答：古樹CD的高度約為12.76米．
22．（10分）如圖，正比例函數(shù)y＝k1x圖象與反比例函數(shù)y＝圖象交于點C，點A（4，2）在正比例函數(shù)y＝k1x圖象上，過A作AB⊥y軸，垂足為B，線段AB與反比例函數(shù)y＝圖象交于點D，且BD：DA＝1：3，連接CD．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求tan∠ADC的值．

【分析】（1）根據(jù)題意求得D（1，2），然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）作CE⊥AB于E，根據(jù)待定系數(shù)法求得正比例函數(shù)的解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組，解方程組求得C的坐標(biāo)，即可求得CE＝DE＝1，解直角三角形即可求得tan∠ADC＝＝1．
【解答】解：（1）∵過A作AB⊥y軸，垂足為B，點A（4，2），
∴D的縱坐標(biāo)為2，
∵BD：DA＝1：3，
∴D（1，2），
∵反比例函數(shù)y＝圖象過點D，
∴k2＝1×2＝2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；
（2）作CE⊥AB于E，
∵點A（4，2）在正比例函數(shù)y＝k1x圖象上，
∴2＝4k1，
∴k1＝，
∴正比例函數(shù)為y＝x，
解得或，
∴C（2，1），
∴E（2，2），
∴CE＝1，DE＝1，
∴tan∠ADC＝＝1．

六、解答題（每題10分，共20分）
23．（10分）小華與小明分別從甲，乙兩地同時出發(fā)，沿一條筆直的人行步道相向而行，兩人分別到達乙，甲兩地后立即原路返回，當(dāng)兩人第二次相遇時停止運動．兩人步行過程中速度保持不變，且小華的速度大于小明的速度；兩人之間的距離y（單位：米）與所用時間x（單位：分鐘）之間函數(shù)關(guān)系的部分圖象如圖所示，請結(jié)合圖象完成下列問題：
（1）求兩名同學(xué)的速度分別是多少？
（2）請直接寫出線段AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）請在圖中補全圖象，并在圖上標(biāo)出補充圖象的端點坐標(biāo)．（不必寫計算過程）

【分析】（1）根據(jù)題意找出等量關(guān)系，求出速度即可；
（2）設(shè)出函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（3）求出C、D坐標(biāo)，畫出圖象．
【解答】解：（1）兩人相向而行，y代表距離，說明甲、乙兩地相距1200m，
A點代表兩人第一次相遇，AB代表兩個人維續(xù)走，B點代表小華到達乙地，
一共1200m，小華用了20min，
∴小華速度：1200÷20＝60 （m/min），
在A點．兩人相遇共走1200m，用時12min，
∴兩人速度和：1200÷12＝100（m/min），
∴小明速度：100﹣60＝40（m/min），
∴小華的速度為60m/min，小明的速度為40m/min；
（2）小華到乙地時，時間是20，此時小明走20×40＝800，
∴B（20，800），A（12，0），
設(shè)AB解析式：y＝kx+b，
把A、B坐標(biāo)代入解析式，得：
，
解得：，
∴線段AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝100x﹣1200；
（3）C點：此時小明到達甲地，D點：兩人第二次相遇，
C點橫坐標(biāo)為1200÷40＝30，
此時小華走了30×60＝1800米，相當(dāng)于往回返走600米，
∴C（30，600），D點：兩人再次相遇，
當(dāng)x＝3600÷100＝36時，此時y值為0，
如圖所示：

24．（10分）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，線段BP的垂直平分線交OP于點C，連接BC．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若AB＝2，BP＝4，求OC的長．

【分析】（1）連接OB．由半徑相等可得∠A＝∠OBA，根據(jù)線段BP的垂直平分線交OP于點C，可得BC＝PC，然后證明∠OBC＝90°，即可證明結(jié)論；
（2）證明Rt△ABD∽Rt△AOP，設(shè)⊙O的半徑為r，則AD＝2r，對應(yīng)邊成比例可得r的值，再證明△OBD∽△CBP，求出BC的長，根據(jù)勾股定理可得OC的長．
【解答】（1）證明：如圖，連接OB．

∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵線段BP的垂直平分線交OP于點C，
∴BC＝PC，
∴∠P＝∠CBP，
∵OP⊥AD，
∴∠A+∠P＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣（∠OBA+∠CBP）＝90°，
∵點B在⊙O上，
∴直線BC是⊙O的切線；
（2）解：∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∵OP⊥AD，
∴∠AOP＝90°，
∴∠ABD＝∠AOP，
∵∠DAB＝∠PAO，
∴Rt△ABD∽Rt△AOP，
設(shè)⊙O的半徑為r，則AD＝2r，
∵AB＝2，BP＝4，
∴＝，
∴＝，
∴r＝（負(fù)值舍去），
在RtABD中，AD＝2r＝2，AB＝2，
∴BD＝＝＝2，
∵∠A+∠P＝90°，∠A+∠D＝90°，
∴∠P＝∠D，
∵∠OBD+∠CBD＝90°，∠PBC+∠CBD＝90°，
∴∠OBD＝∠CBP，
∴△OBD∽△CBP，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴OC＝＝＝．
七、解答題（本題12分）
25．（12分）基本模型：（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D、E兩點分別在AB、AC邊上，且BD＝CE，求證：△BDC≌△CEB；
模型初探：（2）如圖2，在△ABC中，D、E兩點分別為BC、AC邊上，且AC＝DC，∠AED＝∠B，求證：AB＝DE；
深入探究：（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC，點D為AC邊上一點，且BD＝BC，點E為BC邊上一點，連接ED；若∠ABD＝∠DEC，DE＝4，AB＝13，求BC的長．

【分析】（1）由“SAS”可證△BDC≌△CEB；
（2）如圖2，在線段DC上截取DF＝AE，連接AF，由“SAS”可證△ADF≌△DAE，可得AF＝DE，∠AED＝∠AFD，由等腰三角形的判定可得AB＝AF＝DE；
（3）由“SAS”可證△DFC≌△CED，可得DE＝CF＝4，∠DFC＝∠DEC，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定可求CF＝CG＝4，通過證明△ABD∽△CGD，可得，可求CD的長，通過證明△ABC∽△BCD，可得，即可求解．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BDC和△CEB中，
，
∴△BDC≌△CEB（SAS）；
（2）證明：如圖2，在線段DC上截取DF＝AE，連接AF，

∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
又∵AD＝AD，AE＝DF，
∴△ADF≌△DAE（SAS），
∴AF＝DE，∠AED＝∠AFD，
∵∠AED＝∠B，
∴∠B＝∠AFD，
∴AB＝AF，
∴AB＝DE；
（3）解：如圖3，在線段BD上截取DF＝CE，連接CF，過點C作CG∥AB，交BD的延長線于G，

∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
又∵CD＝DC，DF＝CE，
∴△DFC≌△CED（SAS），
∴DE＝CF＝4，∠DFC＝∠DEC，
∵∠ABD＝∠DEC，
∴∠ABD＝∠DFC，
∵AB∥CG，
∴∠ABD＝∠G，
∴∠G＝∠DFC，
∴CF＝CG＝4，
∵AB∥CG，
∴△ABD∽△CGD，
∴，
∴，
∴CD＝，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠BDC＝∠BCD，
∴△ABC∽△BCD，
∴，
∴BC＝．
八、解答題（本題14分）
26．（14分）已知，拋物線y＝ax2+bx+1與y軸交于點C．

（1）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+1與x軸交于點A和點B（3，0），對稱軸為直線x＝1．
①求拋物線的解析式．
②點P為拋物線上一動點，PN⊥BC，垂點為N，當(dāng)△PCN與△BOC相似時，直接寫出P點坐標(biāo)；
（2）點D為拋物線頂點，若拋物線上有且只有一個點Q的橫坐標(biāo)是縱坐標(biāo)的2倍，且∠DCO＝45°，求a的值．
【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
②分情況討論結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和判定求解；
（2）先根據(jù)二次函數(shù)圖象拋物線與直線的交點情況確定點D的坐標(biāo)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分情況討論．
【解答】解：（1）①∵拋物線y＝ax2+bx+1與x軸交于點A和點B（3，0），對稱軸為直線x＝1．
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式：y＝﹣；
②第一種情況，如圖1，△BCO∽△CPN，∠PCN＝∠CBO，
∴CP∥AB，
∴點C與點P關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
當(dāng)x＝0時，y＝1，
∴點C坐標(biāo)為（0，1），
∵拋物線對稱軸為直線x＝1，
∴點P坐標(biāo)為（2，1）；
第二種情況，如圖2，△BCO∽△CPN，∠PCN＝∠CBO，
∴CM＝BM，
設(shè)CM＝BM＝m，則OM＝3﹣m，OC＝1，
在Rt△COM中，由勾股定理得：
1+（3﹣m）2＝m2，
解得：m＝，
∴點M的坐標(biāo)為（，0），
設(shè)直線CM的解析式為y＝kx+b，將C（0，1）和M（，0）代入得
，
解得：，
∴直線CM的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣，
由此聯(lián)立方程組，
解得：或，
∴點P坐標(biāo)為（，）；
第三種情況，如圖3，，△BCO∽△PCN，∠PCN＝∠OCB，
過點P作PD∥y軸于點D，交直線BC于點E，
設(shè)直線CB的函數(shù)關(guān)系式為：y＝px+q，
把C，B兩點坐標(biāo)代入得：，
解得：，
∴CB關(guān)系式為：y＝﹣x+1，
設(shè)點E坐標(biāo)為（n，﹣n+1），則點P坐標(biāo)為（n，﹣n2+n+1），
∴PE＝﹣n+1﹣（﹣n2+n+1）＝n2﹣n，
PC2＝n2+（﹣n2+n+1﹣1）2＝﹣+，
∵PD∥y軸，
∴∠PEB＝∠OCB，
∵∠PCN＝∠OCB，
∴∠PEB＝∠PCN，
∴PE＝PC，
∴﹣+＝（n2﹣n）2，
解得：n＝﹣2，
當(dāng)n＝﹣2時，y＝﹣n2+n+1＝﹣，
∴點P坐標(biāo)為（﹣2，﹣），
綜上所述：點P坐標(biāo)為（2，1）或（，）或（﹣2，﹣）；
（2）∵拋物線上有且只有一個點Q的橫坐標(biāo)是縱坐標(biāo)的2倍，
∴拋物線與直線y＝x有且只有一個公共點，
∴ax2+bx+1＝x，即ax2+（b﹣）x+1＝0只有一個實數(shù)根，
∴△＝（b﹣）2﹣4a＝0，
∴（b﹣）2＝4a，
由題意得，點D的坐標(biāo)為（﹣，），
過點D作DE⊥y軸交y軸于點E，
∵∠DCO＝45°，∠DEC＝90°，
∴∠DCO＝∠CDE＝45°，
∴DE＝CE，
∵DE＝|﹣|，CE＝1﹣＝，
①當(dāng)點D在y軸的左側(cè)時，
DE＝，
∴＝，
∵a≠0，
∴b2﹣2b＝0，
解得：b＝0或2（b＝0時，頂點與點C重合，不合題意），
∴4a＝（b﹣）2＝，
∴a＝；
②當(dāng)點D在y軸右側(cè)時，
DE＝﹣，
∴﹣＝，
∵a≠0，
∴b2+2b＝0，
解得：b＝0或﹣2（b＝0時，頂點與點C重合，不合題意），
∴4a＝（b﹣）2＝，
∴a＝，
∴a＝或．






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