1.3　集合的基本運(yùn)算【素養(yǎng)目標(biāo)】1．能從教材實(shí)例中抽象出兩個(gè)集合并集和交集、全集和補(bǔ)集的含義．(數(shù)學(xué)抽象)2．準(zhǔn)確翻譯和使用補(bǔ)集符號和Venn圖．(數(shù)學(xué)抽象)3．掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確進(jìn)行集合的并集、交集與補(bǔ)集運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．能用Venn圖表示兩個(gè)集合的并集和交集．(直觀想象)5．能根據(jù)集合間的運(yùn)算結(jié)果判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．(邏輯推理)6．能根據(jù)兩個(gè)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍．(邏輯推理)7．會用Venn圖、數(shù)軸解決集合綜合運(yùn)算問題．(直觀想象)【學(xué)法解讀】1．在本節(jié)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)依據(jù)老師創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，加深對“并集”“交集”“補(bǔ)集”“全集”等概念含義的認(rèn)識，特別是對概念中“或”“且”的理解，盡量以義務(wù)教育階段所學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容或現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際情境為載體創(chuàng)設(shè)相關(guān)問題，幫助理解．2．要注意結(jié)合實(shí)例，運(yùn)用數(shù)軸、Venn圖等表示集合進(jìn)行運(yùn)算，從而更直觀、清晰地解決有關(guān)集合的運(yùn)算問題．第1課時(shí)　并集與交集必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點(diǎn)1　并集自然語言一般地，由__所有屬于集合A或?qū)儆诩?/span>B__的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集(union set)，記作__A∪B__(讀作“A并B”)．符號語言__A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}__圖形語言(3)AB　　　　　(4)BA　　　　(5)A＝B說明：由上述五個(gè)圖形可知，無論集合A，B是何種關(guān)系，A∪B恒有意義，圖中陰影部分表示并集.思考1：并集概念中的“或”與生活用語中的“或”的含義是否相同？提示：并集概念中的“或”與生活用語中的“或”的含義是不同的．生活用語中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”則是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三種情形：①x∈A，但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A且x∈B．知識點(diǎn)2　交集自然語言一般地，由__所有屬于集合A且屬于集合B的元素__組成的集合，稱為A與B的交集(intersection set)，記作__A∩B__(讀作“A交B”)符號語言__A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}__圖形語言(1)A與B相交(有公共元素，相互不包含)(2)A與B相離(沒有公共元素，A∩B＝?)(3)AB，則A∩B＝A(4)BA，則A∩B＝B(5)A＝B，A∩B＝B＝A思考2：集合運(yùn)算中的“且”與生活用語中的“且”相同嗎？提示：集合運(yùn)算中的“且”與生活用語中的“且”的含義相同，均表示“同時(shí)”的含義，即“x∈A，且x∈B”表示元素x屬于集合A，同時(shí)屬于集合B．知識點(diǎn)3　并集與交集的性質(zhì)(1)__A∩A＝A__，A∩?＝?.(2)__A∪A＝A__，A∪?＝A．思考3：(1)對于任意兩個(gè)集合A，B，A∩B與A有什么關(guān)系？A∪B與A有什么關(guān)系？(2)設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，則它們之間有何關(guān)系？集合A與B呢？提示：(1)(A∩B)?A，A?(A∪B)．(2)A∩B＝A?A∪B＝B?A?B．基礎(chǔ)自測1．(2019·全國卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝(　A　)A．{－1,0,1}　　　 B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}[解析]　∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故選A．2．(2019·江蘇宿遷市高一期末測試)設(shè)集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，則M∪N＝(　D　)A．{0,1,2} B．{2}C．{2,4} D．{0,1,2,4}[解析]　M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．3．已知集合M＝{x|－5<x<3}，N＝{x|－4<x<5}，則M∩N＝(　A　)A．{x|－4<x<3}　　　　 B．{x|－5<x<－4}C．{x|3<x<5} D．{x|－5<x<5}[解析]　M∩N＝{x|－5<x<3}∩{x|－4<x<5}＝{x|－4<x<3}，故選A．4．(2019·江蘇，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，則A∩B＝__{1,6}__.[解析]　A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，則m＝__3__.[解析]　因?yàn)?/span>A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一　并集運(yùn)算例1 (1)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(2)設(shè)集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．[分析]　第(1)題由定義直接求解，第(2)題借助數(shù)軸求很方便．[解析]　(1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)畫出數(shù)軸如圖所示：∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．[歸納提升]　并集運(yùn)算應(yīng)注意的問題(1)對于描述法給出的集合，應(yīng)先看集合的代表元素是什么，弄清是數(shù)集，還是點(diǎn)集……，然后將集合化簡，再按定義求解．(2)求兩個(gè)集合的并集時(shí)要注意利用集合元素的互異性這一屬性，重復(fù)的元素只能算一個(gè)．(3)對于元素個(gè)數(shù)無限的集合進(jìn)行并集運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點(diǎn)的值能否取到．【對點(diǎn)練習(xí)】? (1)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，則A∪B＝__{0,1,2,3,4,5}__.(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，則A∪B＝__{x|x>－2}__.[解析]　(1)A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．(2)畫出數(shù)軸如圖所示，故A∪B＝{x|x>－2}．題型二　交集運(yùn)算例2 (1)設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}則M∩N＝(　B　)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{1} D．{0}(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，則集合A∩B等于(　D　)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，則A∩B＝__{(1,2)}__.[分析]　(1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助數(shù)軸求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序?qū)崝?shù)對(x，y)，A、B的交集即為方程組的解集．[解析]　(1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故選B．(2)將集合A、B表示在數(shù)軸上，由數(shù)軸可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故選D．(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝＝{(1,2)}．[歸納提升]　求集合A∩B的方法與步驟(1)步驟①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么．②把所求交集的集合用集合符號表示出來，寫成“A∩B\”的形式．③把化簡后的集合A、B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素則所求交集為?)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，則應(yīng)先解方程，求出方程的根后，再求兩集合的交集；若集合的代表元素是有序數(shù)對，則A∩B是指兩個(gè)方程組成的方程組的解集，解集是點(diǎn)集．②若A、B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示．【對點(diǎn)練習(xí)】? (1)(2020·天津和平區(qū)高一期中測試)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，則A∩B等于(　A　)A．{1,3}　　　　 B．{2,4}C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}(2)(2020·廣州荔灣區(qū)高一期末測試)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，則集合B＝(　D　)A．{－3,1} B．{0,1}C．{1,5} D．{1,3}[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，∴A∩B＝{1,3}，故選A．(2)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．題型三　集合的交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用例3 (1)設(shè)集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為__{t|t≤2}__.(2)設(shè)A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．①若A∩B＝B，求a的取值范圍；②若A∪B＝B，求a的取值．[分析]　(1)把M∪N＝M轉(zhuǎn)化為N?M，利用數(shù)軸表示出兩個(gè)集合，建立端點(diǎn)間的不等關(guān)系式求解．(2)先化簡集合A，B，再由已知條件得A∩B＝B和A∪B＝B，轉(zhuǎn)化為集合A、B的包含關(guān)系，分類討論求a的值或取值范圍．[解析]　(1)由M∪N＝M得N?M，當(dāng)N＝?時(shí)，2t＋1≤2－t，即t≤，此時(shí)M∪N＝M成立．當(dāng)N≠?時(shí)，由數(shù)軸可得解得<t≤2.縮上可知，實(shí)數(shù)t的取值范圍是{t|t≤2}．(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.∴A＝{0,2}．①∵A∩B＝B，∴B?A，B＝?，{0}，{2}，{0,2}．當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；當(dāng)B＝{0}時(shí)，∴a＝0；當(dāng)B＝{2}時(shí)，無解；當(dāng)B＝{0,2}時(shí)，得a＝1.綜上所述，得a的取值范圍是{a|a＝1或a≤0}．②∵A∪B＝B，∴A?B．∵A＝{0,2}，而B中方程至多有兩個(gè)根，∴A＝B，由①知a＝1.[歸納提升]　利用交、并集運(yùn)算求參數(shù)的思路(1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的問題，可利用集合的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為相關(guān)集合之間的關(guān)系求解，要注意空集的特殊性．(2)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，要注意集合中元素的互異性；與不等式有關(guān)的集合，則可利用數(shù)軸得到不同集合之間的關(guān)系．【對點(diǎn)練習(xí)】? 已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求M∩N，M∪N；(2)當(dāng)M∩N＝M時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．[解析]　(1)由題意得M＝{2}．當(dāng)m＝2時(shí)，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)∵M∩N＝M，∴M?N，∵M＝{2}，∴2∈N，∴2是關(guān)于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.課堂檢測·固雙基1．設(shè)集合A＝{x∈N*|－1≤x≤2}，B＝{2,3}，則A∪B＝(　B　)A．{－1,0,1,2,3}　　　 B．{1,2,3}C．{－1,2} D．{－1,3}[解析]　集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則A∪B＝{1,2,3}．2．已知集合A＝{x|－3<x<3}，B＝{x|x<1}，則A∩B＝(　C　)A．{x|x<1} B．{x|x<3}C．{x|－3<x<1} D．{x|－3<x<3}[解析]　A∩B＝{x|－3<x<3}∩{x|x<1}＝{x|－3<x<1}．故選C．3．設(shè)集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，則如圖中陰影部分表示的集合是(　C　)A．{2,4,6} B．{1,3,6}C．{1,2,3,4,6} D．{6}[解析]　圖中陰影表示A∪B，又因?yàn)?/span>A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故選C．4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__a≤1__.[解析]　利用數(shù)軸畫圖解題．要使A∪B＝R，則a≤1.5．已知集合A＝{x|m－2<x<m＋1}，B＝{x|1<x<5}．(1)若m＝1，求A∪B；(2)若A∩B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]　(1)由m＝1，得A＝{x|－1<x<2}，∴A∪B＝{x|－1<x<5}．(2)∵A∩B＝A，∴A?B．顯然A≠?.故有解得3≤m≤4.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3,4]． 

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1.3 集合的基本運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

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