2021屆遼寧省六校協(xié)作體高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．“”是“”成立的 （   ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【解析】先求出命題所對應(yīng)的集合，討論集合之間的包含關(guān)系，得出結(jié)論．【詳解】解：，，，“”是“”成立的充分非必要條件，故選：．【點睛】本題考查解不等式，簡易邏輯，屬于基礎(chǔ)題．2．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)的解析式，可檢驗的正負(fù)，根據(jù)零點存在性定理，即可得答案.【詳解】因為函數(shù)，所以，，所以，由零點存在性定理可知，零點在區(qū)間內(nèi)，故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的零點存在性定理的應(yīng)用，考查分析計算的能力，屬基礎(chǔ)題.3．某醫(yī)院擬派甲、乙、丙、丁四位專家到3所鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院進行對口支援，若每所鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院至少派1位專家，每位專家對口支援一所醫(yī)院，則選派方案有（    ）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】C【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將甲、乙、丙、丁四位專家分為3組，②將分好的三組全排列，對應(yīng)3所鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①將甲、乙、丙、丁四位專家分為3組，有種分組分法；②將分好的三組全排列，對應(yīng)3所鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院，有種情況，則有種選派方案；故選：．【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．若，使得成立，則實數(shù)的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用基本不等式求出的最大值，即可.【詳解】可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，若，使得成立，則，.故選：C.【點睛】本題考查不等式的能成立問題，求最值即可解決，屬于基礎(chǔ)題.5．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接利用分段函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可．【詳解】因為 ，所以．故選：．【點睛】本題考查分段函數(shù)的解析式的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計算能力．6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除AC，再根據(jù)當(dāng)從正數(shù)趨近于時，函數(shù)值為負(fù)數(shù)排除D，進而得答案.【詳解】解：根據(jù)圖象得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，且定義域為，即為奇函數(shù).對于A選項，，故函數(shù)為偶函數(shù)，排除；對于B選項，函數(shù)定義域為，，故函數(shù)為奇函數(shù)，滿足條件；對于C選項，函數(shù)定義域為，，故函數(shù)為偶函數(shù)，排除；對于D選項，函數(shù)定義域為，當(dāng)時，，故在為正數(shù)，故排除，故選：B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與特殊值選函數(shù)圖象，是中檔題.7．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識競賽，得分（10分制）的頻數(shù)分布表如表：得分345678910頻數(shù)231063222 設(shè)得分的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均數(shù)為，則（    ）A．  B．  C．  D． 【答案】D【解析】由頻率分步表求出眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，比較即可．【詳解】由圖知，眾數(shù)是；中位數(shù)是第15個數(shù)與第16個數(shù)的平均值，由圖知將數(shù)據(jù)從大到小排第15 個數(shù)是5，第16個數(shù)是6，所以中位數(shù)是；平均數(shù)是；∴．故選：D．【點睛】本題考查了求出一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．已知函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】通過周期性奇偶性找到周期性，再由單調(diào)性確定函數(shù)值大小.【詳解】是偶函數(shù),得，即，是奇函數(shù)，得，即，，得由是奇函數(shù)，得，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，故選：B【點睛】是函數(shù)的對稱軸，是函數(shù) 的對稱中心. 二、多選題9．設(shè)全集，集合，集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】AB【解析】根據(jù)冪函數(shù)的值域得出集合A，解一元二次不等式得集合B，按照集合間的交、并、補混合運算逐一判斷即可.【詳解】∵，，∴，即A正確；，即B正確；或，即C錯誤；或，即D錯誤；故選：AB.【點睛】本題主要考查了集合的表示以及集合間的混合運算，屬于基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)的圖象的一個最高點為，與之相鄰的一個對稱中心為，將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（    ）A．為偶函數(shù) B．的一個單調(diào)遞增區(qū)間為C．為奇函數(shù) D．在上只有一個零點【答案】BD【解析】先根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以，可得，所以，因為，所以，因為，所以，即，所以，可得函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，令，可得，當(dāng)時，函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為；由，解得，所以函數(shù)在上只有一個零點.故選：BD【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，以及熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.11．下列說法正確的是（    ）A．將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以同一個非零常數(shù)后，方差也變?yōu)樵瓉淼?/span>倍；B．若四條線段的長度分別是1，3，5，7，從中任取3條，則這3條線段能夠成三角形的概率為；C．線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱；D．設(shè)兩個獨立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生且不發(fā)生的概率與發(fā)生且不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率為.【答案】BD【解析】A.根據(jù)數(shù)據(jù)的變化與方差的定義進行判斷.B．利用古典概型的概率公式進行判斷.C．結(jié)核性相關(guān)性系數(shù)與相關(guān)性之間的關(guān)系進行判斷.D．根據(jù)獨立性概率公式建立方程組進行求解即可．【詳解】A:設(shè)一組數(shù)據(jù)為,則每個數(shù)據(jù)都乘以同一個非零常數(shù)后,可得，則，所以方差也變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，故A不正確.B:從中任取3條有4中取法,其中能構(gòu)成三角形的只有3,5,7一種，故這3條線段能夠成三角形的概率為，故B正確.C: 由，兩個變量的線性相關(guān)性越強，，兩個變量的線性相關(guān)性越弱，故C不正確.D: 根據(jù)題意可得, 設(shè)則，得，即解得或（舍）所以事件發(fā)生的概率為，故D正確.故選：B D【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識點較多，綜合性較強，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.12．定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為，已知函數(shù)，則（    ）A．是的一個“完美區(qū)間”B．是的一個“完美區(qū)間”C．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為D．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為【答案】AC【解析】根據(jù)定義，當(dāng)時求得的值域，即可判斷A；對于B，結(jié)合函數(shù)值域特點即可判斷；對于C、D，討論與兩種情況，分別結(jié)合定義求得“復(fù)區(qū)間長度”，即可判斷選項.【詳解】對于A，當(dāng)時，，則其值域為，滿足定義域與值域的范圍相同，因而滿足“完美區(qū)間”定義，所以A正確；對于B，因為函數(shù)，所以其值域為，而，所以不存在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯誤；對于C，由定義域為，可知，當(dāng)時，，此時，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，則滿足，化簡可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，經(jīng)檢驗滿足原方程組，所以此時完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長度”為；當(dāng)時，①若，則，此時.當(dāng)在的值域為，則，因為 ，所以，即滿足，解得，（舍）.所以此時完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長度”為；②若，則，，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，若的值域為，則，則為方程的兩個不等式實數(shù)根，解得，， 所以，與矛盾，所以此時不存在完美區(qū)間.綜上可知，函數(shù)的“復(fù)區(qū)間長度”的和為，所以C正確，D錯誤；故選：AC.【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的綜合應(yīng)用，由函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的值域，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題.  三、填空題13．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（4，σ2），若P（ξ＜2）＝0.3，則P（2＜ξ＜6）＝_____．【答案】0.4【解析】由已知求得正態(tài)分布曲線的對稱軸，結(jié)合，求得，則可求．【詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，其對稱軸方程為，又，，則．故答案為：0.4．【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．14．的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【解析】寫出的展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，再代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，解得.因此，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查利用二項式定理求展開式中指定項的系數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．若是函數(shù)的極值點，則的極小值為 _________ ．【答案】【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點，求出a，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極小值即可．【詳解】函數(shù)，
可得，
是函數(shù)的極值點，
可得，即．
解得．
可得，函數(shù)的極值點為：，
當(dāng)，函數(shù)是增函數(shù)，時，函數(shù)是減函數(shù)，時，函數(shù)取得極小值： ．即答案為-1.【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查計算能力． 四、雙空題16．已知函數(shù)①若，則不等式的解集為__________.②若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】        【解析】第一空：時，分和分別求解不等式，取并集得答案；
第二空：將在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)與的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得使函數(shù)有兩個零點的實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：第一空：當(dāng)時，，則或．即不等式的解集為；第二空：將在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)與的圖象如圖，

由圖可知，當(dāng)時，與有兩個交點，
即函數(shù)有兩個零點，
∴實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：；．【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題． 五、解答題17．已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根據(jù)條件，利用誘導(dǎo)公式可得，進而可得，將目標(biāo)式化簡，代入，計算即可；（2）利用倍角公式求出，代入的展開式中計算即可．【詳解】解：（1）由已知，又，，；（2），，，，.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式，倍角公式在三角運算中的應(yīng)用，考查了學(xué)生計算能力，是中檔題．18．設(shè)函數(shù)，其中．（1）若，且為R上偶函數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若，且在R上有最小值，求實數(shù)m的取值范圍；（3），，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；（2）；（3）答案見解析.【解析】（1）先由求得的值，再根據(jù)偶函數(shù)的定義驗證，得到答案；（2）換元法令，則轉(zhuǎn)化成在上有最小值，再由的對稱軸大于0，得到的取值范圍；（3）由化簡得到，再分類討論的范圍，得到不等式的解集.【詳解】解：（1），所以，所以，檢驗，此時，，所以，為偶函數(shù)；（2），令，則在上有最小值，所以，得；（3），所以，所以，因為，，所以．①，即，解集為R；②，即，解集為．【點睛】本題考查了奇偶性的應(yīng)用，指數(shù)不等式的解法，指數(shù)與對數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的分析推理能力，分類討論思想，屬于中檔題.19．江蘇實行的“新高考方案：”模式，其中統(tǒng)考科目：“”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門，不分文理：學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，“”指首先在在物理、歷史門科目中選擇一門；“”指再從思想政治、地理、化學(xué)、生物門科目中選擇門某校，根據(jù)統(tǒng)計選物理的學(xué)生占整個學(xué)生的；并且在選物理的條件下，選擇地理的概率為；在選歷史的條件下，選地理的概率為．（1）求該校最終選地理的學(xué)生概率；（2）該校甲、乙、丙三人選地理的人數(shù)設(shè)為隨機變量．①求隨機變量的概率；②求的概率分布列以及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）①；②分布列見解析，.【解析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式可求得事件“該校最終選地理的學(xué)生”的概率；（2）①由題意可知，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式可求得隨機變量的概率；②利用二項分布可求得隨機變量的分布列，并由此可計算出隨機變量的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）該校最終選地理的學(xué)生為事件，；因此，該校最終選地理的學(xué)生為；（2）①由題意可知，，所以，；②由于，則，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示： ．【點睛】本題考查利用獨立事件的概率乘法公式計算事件的概率，同時也考查了利用二項分布計算隨機變量的概率分布列以及數(shù)學(xué)期望，考查計算能力，屬于中等題.20．已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在區(qū)間上的值域．【答案】（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．【解析】(Ⅰ)先用降冪公式,輔助角公式將化簡,然后求得最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;(Ⅱ)先通過平移得到的解析式,由x∈,可計算得到,結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和單調(diào)性,可得解.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)1﹣cos（2x）．所以函數(shù)的最小正周期為，令（k∈Z），整理得（k∈Z），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[]（k∈Z）．（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）＝2cos（2x）+1的圖象，由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函數(shù)的值域為[0，3]．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化化歸,數(shù)學(xué)運算的能力,難度較易.21．某種產(chǎn)品的質(zhì)量按照其質(zhì)量指標(biāo)值M進行等級劃分，具體如下表：質(zhì)量指標(biāo)值M等級三等品二等品一等品現(xiàn)從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機抽取了100件作為樣本，對其質(zhì)量指標(biāo)值M進行統(tǒng)計分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）記A表示事件“一件這種產(chǎn)品為二等品或一等品”，試估計事件A的概率；（2）已知該企業(yè)的這種產(chǎn)品每件一等品、二等品、三等品的利潤分別為10元、6元、2元，試估計該企業(yè)銷售10000件該產(chǎn)品的利潤；（3）根據(jù)該產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值M的頻率分布直方圖，求質(zhì)量指標(biāo)值M的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）【答案】（1）0.84；（2）61200元；（3）.【解析】（1）記B表示事件“一件這種產(chǎn)品為二等品”，C表示事件“一件這種產(chǎn)品為一等品”，則事件B，C互斥，且由頻率分布直方圖估計,用公式估計出事件A的概率；（2）由（1）可以求出任取一件產(chǎn)品是一等品、二等品的概率估計值，任取一件產(chǎn)品是三等品的概率估計值，這樣可以求出10000件產(chǎn)品估計有一等品、二等品、三等品的數(shù)量，最后估計出利潤；（3）求出質(zhì)量指標(biāo)值的頻率和質(zhì)量指標(biāo)值的頻率，這樣可以求出質(zhì)量指標(biāo)值M的中位數(shù)估計值.【詳解】解：（1）記B表示事件“一件這種產(chǎn)品為二等品”，C表示事件“一件這種產(chǎn)品為一等品”，則事件B，C互斥，且由頻率分布直方圖估計，，又，故事件A的概率估計為0.84..（2）由（1）知，任取一件產(chǎn)品是一等品、二等品的概率估計值分別為0.19，065，故任取一件產(chǎn)品是三等品的概率估計值為0.16，從而10000件產(chǎn)品估計有一等品、二等品、三等品分別為1900，6500，1600件，故利潤估計為元（3）因為在產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值M的頻率分布直方圖中，質(zhì)量指標(biāo)值的頻率為，質(zhì)量指標(biāo)值的頻率為，故質(zhì)量指標(biāo)值M的中位數(shù)估計值為.【點睛】本題考查了頻率直方圖的應(yīng)用，考查了互斥事件的概率、和事件概率的求法，考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.22．已知函數(shù)，，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若對于任意的，都存在唯一的，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時，最小值為；（2）【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對a進行分類討論求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得最小值；（2）求出，的值域，結(jié)合（1）的單調(diào)性和值域討論不等關(guān)系即可得解.【詳解】（1）由題：，，當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，最小值為，當(dāng)時，恒成立， 所以函數(shù)在單調(diào)遞減，最小值為，當(dāng)時，由得，由得，在遞減，在遞增，所以函數(shù)的最小值為綜上所述：當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時，最小值為；（2）函數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，導(dǎo)數(shù)值為0，所以在單調(diào)遞增，值域為，結(jié)合（1）可得：當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，，，只需，解得：，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，，不合題意，舍去，當(dāng)時，在遞減，在遞增，，，所以只需，解得綜上所述【點睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，涉及分類討論思想，等價轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵在于根據(jù)單調(diào)性分析函數(shù)的值域. 

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