專題13  利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式【熱點聚焦與擴展】利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式，在高考題中能較好的考查學(xué)生靈活運用知識的能力，一方面以函數(shù)為背景讓學(xué)生探尋函數(shù)的性質(zhì)，另一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)，進而利用恒成立的不等式將沒有規(guī)律的數(shù)列放縮為為有具體特征的數(shù)列，可謂一題多考，巧妙地將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合在一起，也是近年來高考的熱門題型.1、常見類型：（1）利用放縮通項公式解決數(shù)列求和中的不等問題（2）利用遞推公式處理通項公式中的不等問題2、恒成立不等式的來源：（1）函數(shù)的最值：在前面的章節(jié)中我們提到過最值的一個作用就是提供恒成立的不等式.（2）恒成立問題的求解：此類題目往往會在前幾問中進行鋪墊，暗示數(shù)列放縮的方向.其中，有關(guān)恒成立問題的求解，參數(shù)范圍內(nèi)的值均可提供恒成立不等式.3、常見恒成立不等式：（1）   對數(shù)→多項式    （2）    指數(shù)→多項式4、關(guān)于前項和的放縮問題：求數(shù)列前項公式往往要通過數(shù)列的通項公式來解決，高中階段求和的方法有以下幾種：（1）倒序相加：通項公式具備第項與第項的和為常數(shù)的特點.（2）錯位相減：通項公式為“等差等比”的形式（例如，求和可用錯位相減）.（3）等比數(shù)列求和公式（4）裂項相消：通項公式可裂為兩項作差的形式，且裂開的某項能夠與后面項裂開的某項進行相消.注：在放縮法處理數(shù)列求和不等式時，放縮為等比數(shù)列和能夠裂項相消的數(shù)列的情況比較多見，故優(yōu)先考慮.5、大體思路：對于數(shù)列求和不等式，要謹記“求和看通項”，從通項公式入手，結(jié)合不等號方向考慮放縮成可求和的通項公式.6、在放縮時要注意前幾問的鋪墊與提示，尤其是關(guān)于恒成立問題與最值問題所帶來的恒成立不等式，往往提供了放縮數(shù)列的方向.7、放縮通項公式有可能會進行多次，要注意放縮的方向：朝著可求和的通項公式進行靠攏（等比數(shù)列，裂項相消等）.8、數(shù)列不等式也可考慮利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明（有時更容易發(fā)現(xiàn)所證不等式與題目條件的聯(lián)系）.【經(jīng)典例題】1．（2020·江蘇省如皋中學(xué)高三三模）已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，恒成立，求k的取值范圍；（3）設(shè)n，求證：．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）當時，，，由，解得；由，解得， 因此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． （2），故． 當時，因為，所以，因此恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以恒成立．   當時，令，解得． 當，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減；于是，與恒成立相矛盾． 綜上，k的取值范圍為． （3）由（2）知，當時，． 令，則+，即， 因此≤． 所以.2．（2020·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三三模）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式在時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當時，證明：.【答案】（1）見解析；（2）[1，＋∞)；（3）證明見解析.【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)可得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，由可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即不等式在時恒成立，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，存在使得，即不等式不成立，綜上可知實數(shù)的取值范圍為，；（3）由（2）得當時，不等式在時恒成立，即，，．即，，，，，將上述式子相加可得原不等式得證．3．（2020·安徽合肥·三模）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），其中a∈R.（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）證明：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析.【解析】（1）因為，且，所以當時，，所以在上為增函數(shù)，當時，由，得，所以，所以，所以或，所以或，所以或，由，得，解得，所以在上遞減，在和上遞增.（2）由（1）知，當時，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以當且時，，即，所以，所以，所以.4．（2020·安徽相山·淮北一中高三三模）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）比較 與的大小且，并證明你的結(jié)論.【答案】（I）見解析；（II）見解析【解析】（Ⅰ）函數(shù)可化為，當時，，從而在上總是遞減的，當時，，此時要考慮與1的大小.若，則，故在上遞增，若，則當時，，當時，，故在上遞減，在上遞增，而在處連續(xù)，所以當時，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞減，在上遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當，時，，即，所以.所以.5．（2020·云南高三三模）已知函數(shù)（１）討論的單調(diào)性；（2）證明：．【答案】（1）當時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．（2）證明見解析【解析】（1）解：，． ①若，則，在內(nèi)單調(diào)遞增；  ②若，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且，當時，；當時，， 在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．綜上所述，當時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．  （2）證明：當時，．由（1）知，，當且僅當時，等號成立， 令，，．   從而，…，累加可得，   ，，證畢．  【精選精練】1．（2020·榆林市第二中學(xué)高三三模）已知為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求證恒成立；(2)設(shè)是正整數(shù)，對任意正整數(shù)，，求的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2) 2.【解析】（1）令，則當時，；當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，即恒成立恒成立（2）由（1）知：又又恒成立    為正整數(shù)    的最小值為：2．（2020·廣東廣州高三三模·）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）用表示中的最大值，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）詳見解析．【解析】（1）因為，所以，令得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）知，當時，恒成立，故恒成立；當時，，又因為恒成立，所以在上恒成立，所以，即在上恒成立，令，則，由，令得，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，綜上可得.（3）證明：設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以.3．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知函數(shù).（1）分析函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：，.【答案】（1）在區(qū)間和上單調(diào)遞減；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意得：的定義域為，且，令則，時，；時，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，則在和上.因為，所以在和上，即函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減. （2）由（1）可知，當時，，即， 當時，，則，即，所以整理得：，即，，不等式得證.4．（2020·全國高三三模）已知函數(shù).(1)    若時,函數(shù)取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)    證明：.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）由題意可得，，由時，函數(shù)取得極值知，所以．所以，所以時，；時，；所以的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當時，，所以，令，則，當時，；當時，，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，所以，所以，是增函數(shù)，所以時，，所以時，，令，得即所以上式中，…，，然后個不等式相加，得到5．（2020·遼寧沙河口·遼師大附中高三三模）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：．【答案】(1) 見詳解；(2)；(3)證明見解析．【解析】（1）的定義域為，，當時，，故在單調(diào)遞增；當時，，故在單調(diào)遞減； 當時，令，解得．則當時，；時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． （2）因為，所以：當時，恒成立，令，則， 因為，由得，且當時，；當時，．所以在上遞增，在上遞減，所以，故． (3)取,則代入由題設(shè)可得,取,并將上述各不等式兩邊加起來可得．6．（2020·浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三三模）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍；（3）證明：.【答案】（1）在上單增；在上單減；（2）；（3）證明見解析.【解析】.（1）當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，由解得，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）當時，，故不合題意；當時，由（Ⅰ）知，，綜上，的取值范圍為.（3）由（2）知，取，有不等式成立.當時，得，所以.7．（2020·廣東廣州·高三三模）已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明:；（3）試比較與 ，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）函數(shù)的定義域為：， ①當時，，所以在上單調(diào)遞增    ②當時，令，解得 ．當時，，所以， 所以在上單調(diào)遞減； 當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增． 綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當 時，，要證明，即證，即證：. 設(shè)，則 ，令得，.當時，，當時，.所以為極大值點，且在處取得最大值．所以，即．故.（3）證明：（當且僅當時等號成立），即,則有+,故：+8．（2020·黑龍江南崗·哈師大附中三模）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，函數(shù)存在極值，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求證：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．【解析】（Ⅰ）當時，，，①當時，，則在遞減，無極值；②當時，令，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以取得極小值.綜上可知：．（Ⅱ）當時，，恒成立對一切恒成立，∵，∴，∴，∴．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：當時，在遞減，∴，即：，令，則，當時，，∴……累加得，，當時，，即：，綜上，．9．（2020·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（3）證明：.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，且.①當時，恒成立，故函數(shù)在上為增函數(shù)；②當時，令，得時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，得時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上：當時，函數(shù)在上為增函數(shù)；當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；（2）當時，，顯然不恒成立；當時，，即.綜上：實數(shù)的取值范圍是；（3）由（2）可知，當時恒成立，即，，，可得出，，，，.10．（2020·浙江三模）已知數(shù)列，，.（1）求證：；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）①先利用數(shù)學(xué)歸納法證明.（ⅰ）當時，成立；（ⅱ）假設(shè)時成立，則，.綜上所述，對任意的，；②利用導(dǎo)數(shù)證明，設(shè)，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，即，當且僅當時，等號成立.，，即，，，綜合①②可知；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當時，滿足；②假設(shè)時成立，即，則由，得，要證，令，則要證，構(gòu)造，，，令，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即成立，即，，綜上，當且僅當時等號成立，由于，可知，所以，，，，，.

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