?2019年陜西省中考數學試卷
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）（2019?陜西）計算：　　
A．1 B．0 C．3 D．
2．（3分）（2019?陜西）如圖，是由兩個正方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖為
　　

A． B． C． D．
3．（3分）（2019?陜西）如圖，是的角平分線，，若，則的度數為　　

A． B． C． D．
4．（3分）（2019?陜西）若正比例函數的圖象經過點，則的值為　　
A． B．0 C．1 D．2
5．（3分）（2019?陜西）下列計算正確的是　　
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019?陜西）如圖，在中，，，平分交于點，，垂足為．若，則的長為　　

A． B． C． D．3
7．（3分）（2019?陜西）在平面直角坐標系中，將函數的圖象向上平移6個單位長度，則平移后的圖象與軸的交點坐標為　　
A． B． C． D．
8．（3分）（2019?陜西）如圖，在矩形中，，，若點，分別在，上，且，，，分別是的三等分點，則四邊形的面積為　　

A．1 B． C．2 D．4
9．（3分）（2019?陜西）如圖，是的直徑，，是的弦，且，與交于點，連接，若，則的度數是　　

A． B． C． D．
10．（3分）（2019?陜西）在同一平面直角坐標系中，若拋物線與關于軸對稱，則符合條件的，的值為　　
A．， B．， C．， D．，
二、填空題（共4小題，每小題3分，共12分）
11．（3分）（2019?陜西）已知實數，0.16，，，，，其中為無理數的是　　．
12．（3分）（2019?陜西）若正六邊形的邊長為3，則其較長的一條對角線長為　?。?br /> 13．（3分）（2019?陜西）如圖，是矩形的對稱中心，，，若一個反比例函數的圖象經過點，交于點，則點的坐標為　?。?br />
14．（3分）（2019?陜西）如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且．為對角線上一點，則的最大值為　?。?br />
三、解答題（共78分）
15．（5分）（2019?陜西）計算：
16．（5分）（2019?陜西）化簡：
17．（5分）（2019?陜西）如圖，在中，，是邊上的高．請用尺規(guī)作圖法，求作的外接圓．（保留作圖痕跡，不寫作法）

18．（5分）（2019?陜西）如圖，點，，在直線上，，，且，求證：．

19．（7分）（2019?陜西）本學期初，某校為迎接中華人民共和國建國七十周年，開展了以“不忘初心，緬懷革命先烈，奮斗新時代”為主題的讀書活動．校德育處對本校七年級學生四月份“閱讀該主題相關書籍的讀書量”（下面簡稱：“讀書量” 進行了隨機抽樣調查，并對所有隨機抽取學生的“讀書量”（單位：本）進行了統(tǒng)計，如圖所示：

根據以上信息，解答下列問題：
（1）補全上面兩幅統(tǒng)計圖，填出本次所抽取學生四月份“讀書量”的眾數為　?。?br /> （2）求本次所抽取學生四月份“讀書量”的平均數；
（3）已知該校七年級有1200名學生，請你估計該校七年級學生中，四月份“讀書量”為5本的學生人數．
20．（7分）（2019?陜西）小明利用剛學過的測量知識來測量學校內一棵古樹的高度．一天下午，他和學習小組的同學帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護，他們無法到達古樹的底部，如圖所示．于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點，并在點處安裝了測量器，測得古樹的頂端的仰角為；再在的延長線上確定一點，使米，并在處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著方向移動，當移動帶點時，他剛好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端的像，此時，測得米，小明眼睛與地面的距離米，測傾器的高度米．已知點、、、在同一水平直線上，且、、均垂直于，求這棵古樹的高度．（小平面鏡的大小忽略不計）

21．（7分）（2019?陜西）根據記錄，從地面向上以內，每升高，氣溫降低；又知在距離地面以上高空，氣溫幾乎不變．若地面氣溫為，設距地面的高度為處的氣溫為
（1）寫出距地面的高度在以內的與之間的函數表達式；
（2）上周日，小敏在乘飛機從上海飛回西安途中，某一時刻，她從機艙內屏幕顯示的相關數據得知，飛機外氣溫為時，飛機距離地面的高度為，求當時這架飛機下方地面的氣溫；小敏想，假如飛機當時在距離地面的高空，飛機外的氣溫是多少度呢？請求出假如當時飛機距離地面時，飛機外的氣溫．
22．（7分）（2019?陜西）現有、兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球．其中，袋裝有2個白球，1個紅球；袋裝有2個紅球，1個白球．
（1）將袋搖勻，然后從袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的，兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝．請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平．
23．（8分）（2019?陜西）如圖，是的一條弦，是的切線．作并與交于點，延長交于點，交于點，連接．
（1）求證：；
（2）若的半徑，，求的長．

24．（10分）（2019?陜西）在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點和點，關于原點堆成的拋物線為．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點在拋物線上，且位于第一象限，過點作軸，垂足為．若與相似，求復合條件的點的坐標．

25．（12分）（2019?陜西）問題提出：
（1）如圖1，已知，試確定一點，使得以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，請畫出這個平行四邊形；
問題探究：
（2）如圖2，在矩形中，，，若要在該矩形中作出一個面積最大的，且使，求滿足條件的點到點的距離；
問題解決：
（3）如圖3，有一座草根塔，按規(guī)定，要以塔為對稱中心，建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形的草根景區(qū)．根據實際情況，要求頂點是定點，點到塔的距離為50米，，那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)？若可以，求出滿足要求的平行四邊形的最大面積；若不可以，請說明理由．（塔的占地面積忽略不計）


2019年陜西省中考數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）計算：　　
A．1 B．0 C．3 D．
【考點】零指數冪
【分析】直接利用零指數冪的性質計算得出答案．
【解答】解：．
故選：．
2．（3分）如圖，是由兩個正方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖為　　

A． B． C． D．
【考點】簡單組合體的三視圖
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．
【解答】解：從上往下看，所以小正方形應在大正方形的右上角．
故選：．
3．（3分）如圖，是的角平分線，，若，則的度數為　　

A． B． C． D．
【考點】平行線的性質
【分析】依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到，再根據平行線的性質，即可得出的度數．
【解答】解：，
，
，
平分，
，
又，且與為同位角，
，
故選：．
4．（3分）若正比例函數的圖象經過點，則的值為　　
A． B．0 C．1 D．2
【考點】一次函數圖象上點的坐標特征
【分析】由正比例函數圖象過點，可知點的坐標滿足正比例函數的關系式，由此可得出關于的一元一次方程，解方程即可得出結論．
【解答】解：正比例函數的圖象經過點，
，解得：．
故選：．
5．（3分）下列計算正確的是　　
A． B．
C． D．
【考點】整式的混合運算
【分析】根據各個選項中的式子可以計算出正確的結果，本題得以解決．
【解答】解：，故選項錯誤，
，故選項錯誤，
，故選項錯誤，
，故選項正確，
故選：．
6．（3分）如圖，在中，，，平分交于點，，垂足為．若，則的長為　　

A． B． C． D．3
【考點】角平分線的性質
【分析】過點作于如圖所示，根據角平分線的性質得到，解直角三角形即可得到結論．
【解答】解：過點作于如圖所示，
為的平分線，且于，于，
，
在中，，
，
在中，，
為等腰直角三角形，
，
，
故選：．

7．（3分）在平面直角坐標系中，將函數的圖象向上平移6個單位長度，則平移后的圖象與軸的交點坐標為　　
A． B． C． D．
【考點】一次函數圖象與幾何變換
【分析】根據“上加下減”的原則求得平移后的解析式，令，解得即可．
【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將函數的圖象向上平移6個單位長度所得函數的解析式為，
此時與軸相交，則，
，即，
點坐標為，
故選：．
8．（3分）如圖，在矩形中，，，若點，分別在，上，且，，，分別是的三等分點，則四邊形的面積為　　

A．1 B． C．2 D．4
【考點】：矩形的性質；平行四邊形的判定與性質
【分析】由題意可證，，，，可得四邊形為平行四邊形，即可求解．
【解答】解：，，，
、分別是的三等分點
，


，且
，
同理可得，
四邊形為平行四邊形，且和間距離為1
，
故選：．
9．（3分）如圖，是的直徑，，是的弦，且，與交于點，連接，若，則的度數是　　

A． B． C． D．
【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系
【分析】連接，得到，求出，即可．
【解答】解：連接．

，
，


，
，
，
，
，
故選：．
10．（3分）在同一平面直角坐標系中，若拋物線與關于軸對稱，則符合條件的，的值為　　
A．， B．， C．， D．，
【考點】二次函數圖象與幾何變換
【分析】根據關于軸對稱，，不變，變?yōu)橄喾磾盗谐龇匠探M，解方程組即可求得．
【解答】解：拋物線與關于軸對稱，
，解之得，
故選：．
二、填空題（共4小題，每小題3分，共12分）
11．（3分）已知實數，0.16，，，，，其中為無理數的是　，，?。?br /> 【考點】立方根；算術平方根；無理數
【分析】無理數就是無限不循環(huán)小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統(tǒng)稱．即有限小數和無限循環(huán)小數是有理數，而無限不循環(huán)小數是無理數．由此即可判定選擇項．
【解答】解：，、0.16是有理數；
無理數有、、．
故答案為：、、．
12．（3分）若正六邊形的邊長為3，則其較長的一條對角線長為　6?。?br /> 【考點】正多邊形和圓
【分析】根據正六邊形的性質即可得到結論．
【解答】解：如圖所示為正六邊形最長的三條對角線，
由正六邊形性質可知，，為兩個邊長相等的等邊三角形，
，
故答案為6．

13．（3分）如圖，是矩形的對稱中心，，，若一個反比例函數的圖象經過點，交于點，則點的坐標為　，?。?br />
【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征；矩形的性質；中心對稱
【分析】根據矩形的性質求得，由是矩形的對稱中心，求得，設反比例函數的解析式為，代入點的坐標，即可求得的值，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求得點的坐標．
【解答】解：，，
，
是矩形的對稱中心，
，
設反比例函數的解析式為，
，
反比例函數的解析式為，
把代入得，解得，
故的坐標為，．
故答案為，．
14．（3分）如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且．為對角線上一點，則的最大值為　2?。?br />
【考點】軸對稱最短路線問題；正方形的性質
【分析】作以為對稱軸作的對稱點，連接，，依據，可得當，，三點共線時，取“”，再求得，即可得出，，再根據△為等腰直角三角形，即可得到．
【解答】解：如圖所示，作以為對稱軸作的對稱點，連接，，
根據軸對稱性質可知，，
，
當，，三點共線時，取“”，
正方形邊長為8，
，
為中點，
，
為中點，
，
，
，
，
，

，，
，
△為等腰直角三角形，
，
即的最大值為2，
故答案為：2．

三、解答題（共78分）
15．（5分）計算：
【考點】實數的運算；負整數指數冪
【分析】直接利用立方根的性質以及負指數冪的性質和絕對值的性質分別化簡得出答案．
【解答】解：原式
．
16．（5分）化簡：
【考點】分式的混合運算
【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結果．
【解答】解：原式

．
17．（5分）如圖，在中，，是邊上的高．請用尺規(guī)作圖法，求作的外接圓．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【考點】等腰三角形的性質；三角形的外接圓與外心；作圖復雜作圖
【分析】作線段的垂直平分線，交于點，以為圓心，為半徑作，即為所求．
【解答】解：如圖所示：即為所求．

18．（5分）如圖，點，，在直線上，，，且，求證：．

【考點】全等三角形的判定與性質
【分析】根據平行線的性質得到，證明，根據全等三角形的性質證明結論．
【解答】證明：，
，即，
，
，
在和中，
，

．
19．（7分）本學期初，某校為迎接中華人民共和國建國七十周年，開展了以“不忘初心，緬懷革命先烈，奮斗新時代”為主題的讀書活動．校德育處對本校七年級學生四月份“閱讀該主題相關書籍的讀書量”（下面簡稱：“讀書量” 進行了隨機抽樣調查，并對所有隨機抽取學生的“讀書量”（單位：本）進行了統(tǒng)計，如圖所示：

根據以上信息，解答下列問題：
（1）補全上面兩幅統(tǒng)計圖，填出本次所抽取學生四月份“讀書量”的眾數為　3　．
（2）求本次所抽取學生四月份“讀書量”的平均數；
（3）已知該校七年級有1200名學生，請你估計該校七年級學生中，四月份“讀書量”為5本的學生人數．
【考點】眾數；用樣本估計總體；加權平均數；條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖
【分析】（1）根據統(tǒng)計圖可知眾數為3；
（2）平均數；
（3）四月份“讀書量”為5本的學生人數（人．
【解答】解：（1）根據統(tǒng)計圖可知眾數為3，

故答案為3；
（2）平均數；
（3）四月份“讀書量”為5本的學生人數（人，
答：四月份“讀書量”為5本的學生人數為120人．
20．（7分）小明利用剛學過的測量知識來測量學校內一棵古樹的高度．一天下午，他和學習小組的同學帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護，他們無法到達古樹的底部，如圖所示．于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點，并在點處安裝了測量器，測得古樹的頂端的仰角為；再在的延長線上確定一點，使米，并在處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著方向移動，當移動帶點時，他剛好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端的像，此時，測得米，小明眼睛與地面的距離米，測傾器的高度米．已知點、、、在同一水平直線上，且、、均垂直于，求這棵古樹的高度．（小平面鏡的大小忽略不計）

【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題；相似三角形的應用
【分析】過點作于點，則，．解，得出，那么．再證明，根據相似三角形對應邊成比例求出，進而求出即可．
【解答】解：如圖，過點作于點，
則，．
在中，，
，
．
，，
．
由題意，易知，
，
即，
解之，得，
．
這棵古樹的高為．

21．（7分）根據記錄，從地面向上以內，每升高，氣溫降低；又知在距離地面以上高空，氣溫幾乎不變．若地面氣溫為，設距地面的高度為處的氣溫為
（1）寫出距地面的高度在以內的與之間的函數表達式；
（2）上周日，小敏在乘飛機從上海飛回西安途中，某一時刻，她從機艙內屏幕顯示的相關數據得知，飛機外氣溫為時，飛機距離地面的高度為，求當時這架飛機下方地面的氣溫；小敏想，假如飛機當時在距離地面的高空，飛機外的氣溫是多少度呢？請求出假如當時飛機距離地面時，飛機外的氣溫．
【考點】一次函數的應用
【分析】（1）根據氣溫等于該處的溫度減去下降的溫度列式即可；
（2）根據（1）的結論解答即可．
【解答】解：（1）根據題意得：；

（2）將，代入，得，
當時地面氣溫為
，

假如當時飛機距地面時，飛機外的氣溫為．
22．（7分）現有、兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球．其中，袋裝有2個白球，1個紅球；袋裝有2個紅球，1個白球．
（1）將袋搖勻，然后從袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的，兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝．請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平．
【考點】列表法與樹狀圖法；游戲公平性
【分析】（1）（摸出白球）；
（2）由上表可知，共有9種等可能結果，其中顏色不相同的結果有4種，顏色相同的結果有5種（顏色不相同），（顏色相同），這個游戲規(guī)則對雙方不公平
【解答】解：（1）共有3種等可能結果，而摸出白球的結果有2種
（摸出白球）；
（2）根據題意，列表如下：

紅1
紅2
白
白1
（白1，紅
（白1，紅
（白1，白）
白2
（白2，紅
（白2，紅
（白2，白）
紅
（紅，紅
（紅，紅
（白1，白）
由上表可知，共有9種等可能結果，其中顏色不相同的結果有4種，顏色相同的結果有5種
（顏色不相同），（顏色相同）

這個游戲規(guī)則對雙方不公平
23．（8分）如圖，是的一條弦，是的切線．作并與交于點，延長交于點，交于點，連接．
（1）求證：；
（2）若的半徑，，求的長．

【考點】切線的性質；相似三角形的判定與性質
【分析】（1）根據切線的性質得出，等腰三角形的性質，根據等角的余角相等得出，即可證得；
（2）證得，求得，，由，求得，即可證得．
【解答】（1）證明：是的切線，
，
，．
又，
，
，

（2）解：連接
是的直徑，

在中，，，
，
，
，
由（1）知，，

，，
即，

又，

．

24．（10分）在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點和點，關于原點堆成的拋物線為．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點在拋物線上，且位于第一象限，過點作軸，垂足為．若與相似，求復合條件的點的坐標．

【考點】二次函數綜合題
【分析】（1）將點、的坐標代入拋物線表達式，即可求解；
（2）分、兩種情況，分別求解．
【解答】解：（1）將點、的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

（2）點、在上的對應點分別為、，
設拋物線的表達式，
將代入，得，
拋物線的表達式為，
，，
，，
設：，，
軸，
點的坐標為，
，，
與相似，
①時，
，即，
解得：或4；
②當時，
同理可得：或6；
、、、均在第一象限，
符合條件的點的坐標為或或或．
25．（12分）問題提出：
（1）如圖1，已知，試確定一點，使得以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，請畫出這個平行四邊形；
問題探究：
（2）如圖2，在矩形中，，，若要在該矩形中作出一個面積最大的，且使，求滿足條件的點到點的距離；
問題解決：
（3）如圖3，有一座草根塔，按規(guī)定，要以塔為對稱中心，建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形的草根景區(qū)．根據實際情況，要求頂點是定點，點到塔的距離為50米，，那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)？若可以，求出滿足要求的平行四邊形的最大面積；若不可以，請說明理由．（塔的占地面積忽略不計）

【考點】四邊形綜合題
【分析】（1）利用平行四邊形的判定方法畫出圖形即可．
（2）以點為圓心，長為半徑作，一定于相交于，兩點，點，即為所求．
（3）可以，如圖所示，連接，作的外接圓，則點在優(yōu)弧上，取的中點，連接，，四邊形即為所求．
【解答】解：（1）如圖記為點所在的位置．

（2）如圖，

，，取的中點，則．
以點為圓心，長為半徑作，一定于相交于，兩點，
連接，，，，點不能再矩形外；
的頂點或位置時，的面積最大，
作，垂足為，則，
，
由對稱性得．

（3）可以，如圖所示，連接，

為的對稱中心，，，
，
作的外接圓，則點在優(yōu)弧上，取的中點，連接，，
則，且，△為正三角形．
連接并延長，經過點至，使，連接，，
，
四邊形為菱形，且，
作，垂足為，連接，則，
，

所以符合要求的的最大面積為．

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