2020-2021學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷人教A版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=3+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為________．

2. 圓心為(?1, 2)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．

3. 雙曲線x22?y2=1的焦距為________．

4. 已知復(fù)數(shù)z1＝6+2i，z2＝1+ai（i為虛數(shù)單位），且z1+是實數(shù)，則實數(shù)a的值為________．

5. 方程表示的曲線是橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是________．

6. 已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，則（i為虛數(shù)單位）的最小值為________．

7. 與雙曲線有共同的漸近線，且過點(?1, 4)的雙曲線方程是________．

8. 以坐標(biāo)原點為頂點，焦點在坐標(biāo)軸上且經(jīng)過點(1, 2)的拋物線的方程是________?2＝4________或者．

9. 若△ABC的兩個頂點B(0, ?3)，C(0, 3)，周長為16，則第三個頂點A的軌跡方程是________．

10. 過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1, y1)，B(x2, y2)兩點，若x1+x2＝12，則|AB|等于________．

11. 若直線y=2x+b與曲線y＝?9?x2沒有公共點，則實數(shù)b的取值范圍是________．

12. 關(guān)于曲線C：＝1，則以下結(jié)論正確的序號是________．
①曲線C關(guān)于原點對稱；
②曲線C中x∈[?2, 2]，y∈[?2, 2]；
③曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2+y2＝8無公共點；
④曲線C與曲線D:|x|+|y|＝4有4個交點，這4點構(gòu)成正方形．
二、選擇題（本大題滿分12分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，每題答對得3分，否則一律得零分.

設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi(a、b∈R)，則“a＝0”是“z為純虛數(shù)”的（）
A.既不充分也不必要條件B.充要條件
C.充分非必要條件D.必要非充分條件

設(shè)M＝i+i2+i3+i4，N＝i?i2?i3?i4，i為虛數(shù)單位，則M與N的關(guān)系是（）
A.M+N＝0B.MND.M＝N

雙曲線4x2+ky2＝4k的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)k的值是（）
A.16B.C.?16D.

點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點A的距離相等的點的軌跡不可能是（）
A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線
三、簡答題（本大題滿分52分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.

已知圓C的方程為x2?2x+y2?3＝0．
（1）求過點(3, 2)且與圓C相切的直線方程；

（2）若直線y＝x+1與圓C相交于A，B，求弦長|AB|的值．

已知復(fù)數(shù)z滿足|z|+?8?4i＝0（i為虛數(shù)單位）．
（1）求復(fù)數(shù)z；

（2）若m∈R，ω＝zi+m，求|ω|的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C(?2, 0)，D(2, 0)，曲線E上的動點P滿足|PC|+|PD|＝，直線l過D交曲線E于A、B兩點．
（1）求曲線E的方程；

（2）當(dāng)AC⊥AB時，A在x軸上方時，求A、B的坐標(biāo)；

（3）設(shè)M(?2，2)，N(2，2)，P是曲線E上的任意一點，若＝m+n，求證：動點Q(m, n)在定圓上運動．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，原點為O，拋物線C的方程為x2＝4y，線段AB是拋物線C的一條動弦．
（1）求拋物線C的準(zhǔn)線方程；

（2）求，求證：直線AB恒過定點；

（3）過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線l1、l2，l1與拋物線交于P、Q兩點，l2與拋物線交于C、D兩點，M、N分別是線段PQ、CD的中點，求△FMN面積的最小值．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每個空格填對得3分，否則一律得零分.
1.
【答案】
5
【考點】
復(fù)數(shù)的模
【解析】
直接利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解．
【解答】
解：由z=3+4i，所以|z|=32+42=5．
故答案為5．
2.
【答案】
(x+1)2+(y?2)2＝4
【考點】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
根據(jù)題意，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，代入圓心的坐標(biāo)和半徑，即可得答案．
【解答】
根據(jù)題意，要求圓的(x+1)2+(y?2)2＝4，
則要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y?2)2＝4；
3.
【答案】
23
【考點】
雙曲線的離心率
【解析】
直接利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解雙曲線的實半軸虛半軸的長，然后求解半焦距，即可得到結(jié)果．
【解答】
雙曲線x22?y2=1，可得a=2．b＝1，則c=3，
所以雙曲線的焦距為23．
4.
【答案】
2
【考點】
復(fù)數(shù)的運算
【解析】
由已知求得z1+，再由虛部為0求解a值．
【解答】
∵ z1＝6+2i，z2＝1+ai，
∴ z1+＝(6+2i)+(1?ai)＝7+(2?a)i，
由題意，2?a＝0，即a＝2．
5.
【答案】
(4, +∞)
【考點】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓的離心率
【解析】
由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式列出不等式，解可得m的取值范圍，即可得答案．
【解答】
根據(jù)題意，方程表示的曲線是橢圓，
則，
解可得：4|BC|，
由橢圓的定義可得A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓（去除B，C兩點），
設(shè)橢圓方程為＝1(a>b>0)，可得a＝5，c＝3，b＝4，
則A的軌跡方程為．
10.
【答案】
14
【考點】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程是x＝?1，結(jié)合拋物線的定義可得|AF|＝x1+1且|BF|＝x2+1，兩式相加并結(jié)合x1+x2＝12，即可得到|AB|的值．
【解答】
∵ 拋物線方程為y2＝4x，
∴ p＝2，可得拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝?1，
∵ 過拋物線 y2＝4x的焦點F作直線交拋物線于A(x1, y1)B(x2, y2)，
∴ 根據(jù)拋物線的定義，可得|AF|＝x1+＝x1+1，|BF|＝x2+＝x2+1，
因此，線段AB的長|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2，
又∵ x1+x2＝12，∴ |AB|＝x1+x2+2＝14．
11.
【答案】
(?∞,?35)∪(6,+∞)
【考點】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
作出圖形，求出半圓的切線，從而得出b的范圍．
【解答】
曲線y＝?9?x2表示圓的下半個圓，
設(shè)直線y=2x+b與半圓相切，
則|b|5＝3，解得b=35（舍）或b=?35．直線經(jīng)過A(?3, 0)，
可得b=6，
∵ 直線y=2x+b與曲線y＝?9?x2沒有公共點，
∴ b6．
12.
【答案】
①③
【考點】
命題的真假判斷與應(yīng)用
曲線與方程
【解析】
以?x替換x，以?y替換y，方程不變判斷①；求出x，y的范圍判斷②；聯(lián)立方程組判斷③；由兩曲線的對稱性判斷④．
【解答】
在曲線C：＝1中，以?x替換x，以?y替換y，方程不變，則曲線C關(guān)于原點對稱，故①正確；
由＝1，得>0，得x2>4，即x2，同理求得y2，故②錯誤；
由求得的x、y的范圍可得曲線C不是封閉圖形，聯(lián)立，得x4?8x2+32＝0，
方程的判別式△＝64?4×320，y>0時，方程|x|+|y|＝4化為x+y＝4，不是方程組的解，
由對稱性可知，方程組要么無解，要么多于1解，則曲線C與曲線D不可能有4個交點，故④錯誤．
∴ 正確的結(jié)論是①③．
二、選擇題（本大題滿分12分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，每題答對得3分，否則一律得零分.
【答案】
D
【考點】
虛數(shù)單位i及其性質(zhì)
復(fù)數(shù)的基本概念
充分條件、必要條件、充要條件
復(fù)數(shù)的運算
【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得當(dāng)a＝0，且b≠0時，z為純虛數(shù)，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義可以判斷．
【解答】
復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a、b∈R，i為虛數(shù)單位），當(dāng)a＝0，且b≠0時，z為純虛數(shù)，
則“a＝0”是“z為純虛數(shù)”必要非充分條件，
【答案】
C
【考點】
復(fù)數(shù)的運算
【解析】
利用虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)化簡M與N，則答案可求．
【解答】
∵ M＝i+i2+i3+i4＝i?1?i+1＝0，
N＝i?i2?i3?i4＝i?(?1)?(?i)?1＝i2＝?1，
∴ M>N．
【答案】
C
【考點】
雙曲線的離心率
【解析】
雙曲線4x2+ky2＝4k的虛軸長是實軸長的2倍，列出方程，可求得雙曲線的虛軸長，即可得出結(jié)論．
【解答】
∵ 雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，
∴ 其實軸長為4，可得2＝8，
∴ k＝?16．
【答案】
D
【考點】
軌跡方程
【解析】
根據(jù)題意“點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離”，將平面內(nèi)到定圓C的距離轉(zhuǎn)化為到圓上動點的距離，再分點A現(xiàn)圓C的位置關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線的定義即可解決．
【解答】
排除法：設(shè)動點為Q，
1．當(dāng)點A在圓內(nèi)不與圓心C重合，連接CQ并延長，交于圓上一點B，由題意知QB＝QA，
又QB+QC＝R，所以QA+QC＝R，即Q的軌跡為一橢圓；如圖．
2．如果是點A在圓C外，由QC?R＝QA，得QC?QA＝R，為一定值，即Q的軌跡為雙曲線的一支；
3．當(dāng)點A與圓心C重合，要使QB＝QA，則Q必然在與圓C的同心圓，即Q的軌跡為一圓；
則本題選D．
三、簡答題（本大題滿分52分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
【答案】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+y2＝4圓心為C(1, 0)，半徑r＝2，
①當(dāng)直線斜率不存在時，由過點(3, 2)得直線方程為x＝3，與(1, 0)的距離為2，與圓相切，符合題意；
②當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)斜率為k，直線方程為y?2＝k(x?3)，即kx?y+2?3k＝0，
圓心(1, 0)到直線的距離，解得k＝0．∴ 直線方程為y＝2．
綜上，所求直線方程為y＝2或x＝3．
另可設(shè)所求直線的方程為a(x?3)+b(y?2)＝0(a2+b2≠0)，
即ax+by?3a?2b＝0由題意得圓心(1, 0)到切線的距離，
得ab＝0，所求為y＝2或x＝3．
圓心C(1, 0)到直線y＝x+1與的距離，
又半徑r＝2，∴ 弦長|AB|＝．
【考點】
圓的切線方程
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
（1）求出圓心與半徑r，①當(dāng)直線斜率不存在時，驗證是否滿足題意．②當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)斜率為k，直線方程為y?2＝k(x?3)，利用點到直線的距離公式求解即可．
另解：設(shè)所求直線的方程為a(x?3)+b(y?2)＝0(a2+b2≠0)，利用點到直線的距離公式求解即可．
（2）利用點到直線的距離，結(jié)合圓的半徑計算弦長即可．
【解答】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+y2＝4圓心為C(1, 0)，半徑r＝2，
①當(dāng)直線斜率不存在時，由過點(3, 2)得直線方程為x＝3，與(1, 0)的距離為2，與圓相切，符合題意；
②當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)斜率為k，直線方程為y?2＝k(x?3)，即kx?y+2?3k＝0，
圓心(1, 0)到直線的距離，解得k＝0．∴ 直線方程為y＝2．
綜上，所求直線方程為y＝2或x＝3．
另可設(shè)所求直線的方程為a(x?3)+b(y?2)＝0(a2+b2≠0)，
即ax+by?3a?2b＝0由題意得圓心(1, 0)到切線的距離，
得ab＝0，所求為y＝2或x＝3．
圓心C(1, 0)到直線y＝x+1與的距離，
又半徑r＝2，∴ 弦長|AB|＝．
【答案】
由|z|+?8?4i＝0，
得，則，
∴ z＝3?4i；
|ω|＝|(3?4i)i+m|＝|4+m+3i|＝，
∵ m∈R，∴ |ω|≥3，
故|ω|的取值范圍是[3, +∞)．
【考點】
復(fù)數(shù)的模
【解析】
設(shè)z＝a+bi(a, b∈R)，
（1）把z代入已知等式，利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a與b的值，則z可求；
（2）利用復(fù)數(shù)模的計算公式求得|ω|，再由配方法求得|ω|的取值范圍．
【解答】
由|z|+?8?4i＝0，
得，則，
∴ z＝3?4i；
|ω|＝|(3?4i)i+m|＝|4+m+3i|＝，
∵ m∈R，∴ |ω|≥3，
故|ω|的取值范圍是[3, +∞)．
【答案】
由橢圓的定義可知動點P的軌跡是以C、D為焦點，長軸長為的橢圓，
即a＝2，c＝2，
所以曲線E的方程為+＝1．
證明：設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，(y1>0)，由題C(?2, 0)，D(2, 0)，
因為AC⊥AB，且A，D在一條直線上，
所以?＝(?2?x1, ?y1)?(2?x1, ?y1)＝x12?4+y12＝x12?4+4(1?）＝x12＝0，
所以x1＝0，y1＝2，A(0, 2)，
則直線l的方程為：y＝?x+2，
聯(lián)立，得3x2?8x＝0，
所以x1＝0，x2＝，
所以y2＝-＝2＝-，
所以B（，-）．
設(shè)P(xP, yP)，則+＝1，
由題，
所以m2+n2＝，即證動點Q(m, n)在以原點為圓心，以為半徑的定圓上運動．
【考點】
直線與橢圓結(jié)合的最值問題
【解析】
（1）由橢圓的定義可知動點P的軌跡是以C、D為焦點，長軸長為的橢圓，進而可得a，c，再計算b2＝a2?c2，即可得出答案．
（2）設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，(y1>0)，由AC⊥AB，得?＝0，解得x1，y1，即可得出A點坐標(biāo)，寫出直線l的方程，聯(lián)立橢圓的方程，解得x2，即得B點坐標(biāo)．
（3）設(shè)P(xP, yP)，代入橢圓的方程，+＝1，由＝m+n，得，化簡即可得出答案．
【解答】
由橢圓的定義可知動點P的軌跡是以C、D為焦點，長軸長為的橢圓，
即a＝2，c＝2，
所以曲線E的方程為+＝1．
證明：設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，(y1>0)，由題C(?2, 0)，D(2, 0)，
因為AC⊥AB，且A，D在一條直線上，
所以?＝(?2?x1, ?y1)?(2?x1, ?y1)＝x12?4+y12＝x12?4+4(1?）＝x12＝0，
所以x1＝0，y1＝2，A(0, 2)，
則直線l的方程為：y＝?x+2，
聯(lián)立，得3x2?8x＝0，
所以x1＝0，x2＝，
所以y2＝-＝2＝-，
所以B（，-）．
設(shè)P(xP, yP)，則+＝1，
由題，
所以m2+n2＝，即證動點Q(m, n)在以原點為圓心，以為半徑的定圓上運動．
【答案】
拋物線C:x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝?1；
證明：設(shè)直線AB方程為y＝kx+b，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由，可得x2?4kx?4b＝0，
所以x1+x2＝4k，x1x2＝?4b，
?＝x1x2+y1y2＝x1x2+＝?4b+＝?4，解得b＝2，
則直線y＝kx+2過定點(0, 2)；
由F(0, 1)，由題意，直線l1，l2的斜率都存在且不為0，
設(shè)直線l1的方向向量為(1, k)(k>0)，則(1, k)是直線l2的一個法向量，
故直線l1的方程為＝，即y＝kx+1，
直線l2的方程為x+k(y?1)＝0，即y＝-x+1，
由，可得x2?4kx?4＝0，
設(shè)P(x1, y1)，Q(x2, y2)，可得x1+x2＝4k，
則M(2k, 2k2+1)；
同理可得N(?，1+）．
所以S△FMN＝|FM|?|FN|＝?＝2(k+）≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時，△FMN的面積取最小值4．
【考點】
拋物線的性質(zhì)
直線與拋物線的位置關(guān)系
【解析】
（1）由焦點在y軸的正半軸上的拋物線的準(zhǔn)線方程可得所求；
（2）設(shè)直線AB方程為y＝kx+b，與拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程可得b，進而得到定點；
（3）求得F(0, 1)，分別設(shè)直線l1，l2的方程，聯(lián)立拋物線的方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，求得M，N的坐標(biāo)，由拋物線的定義，可得|FM|，|FN|，再由三角形的面積公式和基本不等式，計算可得所求最小值．
【解答】
拋物線C:x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝?1；
證明：設(shè)直線AB方程為y＝kx+b，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由，可得x2?4kx?4b＝0，
所以x1+x2＝4k，x1x2＝?4b，
?＝x1x2+y1y2＝x1x2+＝?4b+＝?4，解得b＝2，
則直線y＝kx+2過定點(0, 2)；
由F(0, 1)，由題意，直線l1，l2的斜率都存在且不為0，
設(shè)直線l1的方向向量為(1, k)(k>0)，則(1, k)是直線l2的一個法向量，
故直線l1的方程為＝，即y＝kx+1，
直線l2的方程為x+k(y?1)＝0，即y＝-x+1，
由，可得x2?4kx?4＝0，
設(shè)P(x1, y1)，Q(x2, y2)，可得x1+x2＝4k，
則M(2k, 2k2+1)；
同理可得N(?，1+）．
所以S△FMN＝|FM|?|FN|＝?＝2(k+）≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時，△FMN的面積取最小值4．

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