河北正定中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試數(shù)  學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘　分值：150分）注意事項(xiàng)：1.答題時(shí)，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上。2.答選擇題時(shí)，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色黑色簽字筆把答案寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上。答案如需改正，請(qǐng)先劃掉原來(lái)的答案，再寫(xiě)上新答案，不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶。4.考試結(jié)束后，只將答題卡交回。一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，集合，則　　A． B． C． D．2．為了解疫情防控延遲開(kāi)學(xué)期間全區(qū)中小學(xué)線(xiàn)上教學(xué)的主要開(kāi)展形式，某課題組面向各學(xué)校開(kāi)展了一次隨機(jī)調(diào)查，并繪制得到如圖統(tǒng)計(jì)圖，則采用“直播錄播”方式進(jìn)行線(xiàn)上教學(xué)的學(xué)校占比約為　　A． B． C． D．   3．將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不相同”， “至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則概率等于　　A．           B．          C．            D．4．已知正六邊形中，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．5．在中，，，，則的角平分線(xiàn)的長(zhǎng)為　　A． B． C． D．6．如圖，將正方形沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角，則以下四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為　　①；②是等邊三角形；③與所成的角為；④與平面所成的角為．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，，切點(diǎn)分別為，，若的重心坐標(biāo)為，且在拋物線(xiàn)上，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為　　A． B． C． D．8．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是　　A． B． C． D．10．如圖，在正四棱錐中，，，分別是，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的為　　A．   B． C．面   D．面11．已知函數(shù)為的一個(gè)零點(diǎn)，為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，且在上有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，下述結(jié)論正確的是　　A． B． C．在上有且僅有4個(gè)極大值點(diǎn) D．在上單調(diào)遞增12．設(shè)函數(shù)由方程確定，關(guān)于函數(shù)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是　　A．存在，，使得成立；B．，使得且同時(shí)成立；C．對(duì)于任意，恒成立；D．對(duì)任意，，都有恒成立．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　   　．14．已知，，且，則的最小值為　    　．15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線(xiàn)，其中實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，若點(diǎn)在直線(xiàn)上的射影為，則線(xiàn)段的取值范圍是　　．16．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契年年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為．設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為　    　．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知平面四邊形如圖所示，其中，，．（1）若，，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的值；（2）若，求的值．18．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，且．（1）求、的值，并證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）令，求．   19．如圖，已知四邊形為等腰梯形，為正方形，平面平面，，，（1）求證：平面平面；（2）點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，求與平面所成角正弦值的取值范圍．     20．每年的3月12日是植樹(shù)節(jié)，某公司為了動(dòng)員職工積極參加植樹(shù)造林，在植樹(shù)節(jié)期間開(kāi)展植樹(shù)有獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)有甲、乙兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，每位植樹(shù)者植樹(shù)每滿(mǎn)30棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，植樹(shù)每滿(mǎn)50棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每箱內(nèi)各有10個(gè)球（這些球除顏色外完全相同），甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中個(gè)紅球，個(gè)黃球，5個(gè)黑球，乙箱內(nèi)有4個(gè)紅球和6個(gè)黃球，每次摸一個(gè)球后放回原箱，摸得紅球獎(jiǎng)100元，黃球獎(jiǎng)50元，摸得黑球則沒(méi)有獎(jiǎng)金．（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每人的植樹(shù)棵數(shù)服從正態(tài)分布，已知共有200位植樹(shù)者，所有有機(jī)會(huì)抽獎(jiǎng)的人都參與了抽獎(jiǎng)，請(qǐng)估計(jì)植樹(shù)的棵數(shù)在區(qū)間，內(nèi)并中獎(jiǎng)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；附：若，則，．（2）若，某位植樹(shù)者獲得兩次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求中獎(jiǎng)金額（單位：元）的分布列；（3）某人植樹(shù)100棵，有兩種摸獎(jiǎng)方法，方法一：三次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；方法二：兩次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．請(qǐng)問(wèn)：這位植樹(shù)者選哪一種方法所得獎(jiǎng)金的期望值較大．   21．已知函數(shù)，其中為常數(shù)且．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．    22．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，，其上頂點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為2，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與，軸的交點(diǎn)分別為、，且．（1）證明：為定值；（2）如圖所示，若，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，求四邊形面積的最大值．      高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)考試答案1.【解答】解：，，．故選：．2．【解答】解：由條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖得調(diào)查學(xué)?？倲?shù)為：，直播學(xué)校占比為：，采用“直播錄播”方式進(jìn)行線(xiàn)上教學(xué)的學(xué)校占比約為：．故選：．3．【解答】解：根據(jù)條件概率的含義，其含義為在發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的情況下，“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的概率，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的情況數(shù)目為，“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”則只有一個(gè)6點(diǎn)，共種，故．故選：．4．【解答】解：如圖所示，，故選：．5.【解答】解：如圖，在三角形中，設(shè)的平分線(xiàn)交于，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知：，由此得．設(shè)，在，中，，由余弦定理得：，即，故．所以．故選：．6.【解答】解作出如圖的圖象，其中二面角的平面角為，是的中點(diǎn)，則，，直二面角的平面角，對(duì)于①，，，，平面，平面，面，平面，，故①正確；對(duì)于②，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，在直角中，，，是等邊三角形，故②正確；對(duì)于③，與平面所成的線(xiàn)面角的平面角是，故與平面成的角不正確，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，可取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，由于，是中位線(xiàn)，可證得其長(zhǎng)度為正方形邊長(zhǎng)的一半，而是直角三角形的中線(xiàn)，其長(zhǎng)度是的一半即正方形邊長(zhǎng)的一半，故是等邊三角形，由此即可證得與所成的角為，故④正確．綜上知①②④是正確的．故選：．7.【解答】解：設(shè)，，，，由，得，，故直線(xiàn)的方程為即，同理直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，的方程可得，，設(shè)的重心坐標(biāo)為，，則，即所以，則的坐標(biāo)為，從而，故的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．故選：．8．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，（3），即，，即，則；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，則（3），即，則．又．．故選：．9.【解答】解：，，故錯(cuò)誤；，故正確；，故正確；，故正確．故選：．10．【解答】解：如圖所示，連接、相交于點(diǎn)，連接，．由正四棱錐，可得底面，，．，平面，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，而，平面平面，平面，．故正確．由異面直線(xiàn)的定義可知：與是異面直線(xiàn)，不可能，因此不正確；平面平面，平面，因此正確．平面，若平面，則，與相矛盾，因此當(dāng)與不重合時(shí)，與平面不垂直．即不正確．故選：．11.【解答】解：為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，為的一個(gè)零點(diǎn)，，且，，，，在上有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，，即，，，又，所以，由得，，即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，綜上，錯(cuò)誤，正確，故選：．12．【解答】解：根據(jù)題意，方程，當(dāng)且時(shí)，方程為，當(dāng)且時(shí)，方程為，即，當(dāng)且時(shí)，方程為，當(dāng)且是時(shí)，方程為，則函數(shù)的圖象如圖：對(duì)于A，是定義域上的單調(diào)減函數(shù)，則對(duì)于任意的，，，使得成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)在第一象限，則也在第一象限，此時(shí)方程組，而該方程組無(wú)解，若在第四象限，則在第二象限，此時(shí)方程組，此時(shí)方程組也無(wú)解，同理：若在第二象限，則在第四象限，此時(shí)方程組也無(wú)解，故B不存在，，，使得（a）且（b）同時(shí)成立，②錯(cuò)誤；對(duì)于C，對(duì)于任意，恒成立，即，由函數(shù)的圖象可知，恒成立，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，此時(shí)即，不是恒成立，則D錯(cuò)誤，故選：BD．13．【解答】解：時(shí)，不等式化為，滿(mǎn)足題意；時(shí)，不等式恒成立，應(yīng)滿(mǎn)足，解得；綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．14.【解答】解：，，且，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，則的最小值為5．故答案為：5．15．【解答】解：直線(xiàn)，其中實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，，化為，令，解得，．直線(xiàn)，恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．，點(diǎn)在以為直徑的圓上，其圓心．圓的方程為：．．，線(xiàn)段的取值范圍是．16.【解答】解：因?yàn)?/span>是不等式的正整數(shù)解，所以，所以，，，，令，則數(shù)列為斐波那契數(shù)列，，即，不難知道，，，，使得成立的的最小值為8．故成立的的最小值為8．17．【解答】解：（1）依題意，，，故為等邊三角形，則，，，因?yàn)?/span>，由余弦定理，，解得；（2）設(shè)，則，在中，，在中，，由正弦定理，，即，解得，則．18．【解答】（1）證明：依題意，由遞推公式，可得當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，由，兩邊同時(shí)乘以，可得，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，（2）解：由（1），可得，，，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，．19．【解答】解：（1）等腰梯形，，由，，，，所以，，由平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）根據(jù)題意，以為圓心，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，1，，，0，，，0，，，，設(shè)平面的法向量為，由，令，，，故，設(shè)與平面的夾角為，所以，，，所以當(dāng)時(shí)取最小值，取最大值，故與平面所成角正弦值的取值范圍為．20．【解答】解：（1）依題意得，，，得，植樹(shù)的棵數(shù)在區(qū)間，內(nèi)，有一次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)率為，植樹(shù)棵數(shù)在區(qū)間，內(nèi)人數(shù)約為人，故中獎(jiǎng)的人數(shù)約為人．（2）中獎(jiǎng)金額的可能取值為0，50，100，150，200．；；；；．故的分布列為0501001502000.250.30.290.120.04（3）方法一：，甲箱摸一次所得獎(jiǎng)金的期望為，方法一所得獎(jiǎng)金的期望值為；方法二：乙箱摸一次所得獎(jiǎng)金的期望為，方法二所得獎(jiǎng)金的期望值為，的值可能為1，2，3，4，，這位顧客選方法二所得獎(jiǎng)金的期望值較大．21．【解答】解：（1）方法一：當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，于是在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．方法二：當(dāng)時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，恒有，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由，得，①當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，于是在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意．②當(dāng)時(shí)，令，得，所以存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又注意到，于是：當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．22．【解答】（1）證明：其上頂點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為2，，解得．又橢圓過(guò)點(diǎn)，，，解得．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．點(diǎn)在橢圓上，．設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：，可得，．，，即．為定值．（2）解：①，0．由（1）可得：．，，．．．聯(lián)立，化為：，，可得：．聯(lián)立，解得，，．設(shè)，．．設(shè)．．．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．②時(shí)，，可得，．綜上可得：的最大值為4．  1618 

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