1. 已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)，且共軛復(fù)數(shù)zˉ=1+i1?i，則a+b=( )
A.?2B.2C.?1D.1

2. 已知向量AB→=2,4,x，平面α的一個法向量n→=1,y,3，若AB⊥α，則（ ）
A.x=6，y=2B.x=2，y=6C.3x+4y+2=0D.4x+3y+2=0

3. 把3i?x10用二項式定理展開，展開式的第8項的系數(shù)是（ ）
A.135B.?135C.?3603iD.3603i

4. 橢圓x24+y2a2=1與雙曲線x2a?y22=1有相同的焦點，則a=( )
A.?1B.1C.±1D.2

5. 勾股定理是一個基本的幾何定理，中國《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明．相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理．我國古代稱短直角邊為“勾”，長直角邊為“股”，斜邊為“弦”．西方文獻(xiàn)中一直把勾股定理稱作畢達(dá)哥拉斯定理．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究了勾為奇數(shù)、弦與股長相差為1的勾股數(shù)：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；??，如設(shè)勾為2n+1n∈N+，則弦為( )
A.2n2?2n+1B.4n2+1C.2n2+2nD.2n2+2n+1

6. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，若Px>?1+Px≥5=1，則μ=( )
A.?1B.1C.?2D.2

7. 在四棱錐P?ABCD中，側(cè)棱PA=42，底面邊長AB=26，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點，則異面直線OP與BM所成角為( )
A. 30° B.45°C.60°D.90°

8. 設(shè)a0→是與向量a→同向的單位向量，b0→是與向量a→反向的單位向量，則下列式子中不正確的是( )
A.a0→//b0→B.a→=|a→|a0→
C.a0→+b0→=0D.b0→=?a→|a→|

9. 以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny，其變換后得到線性回歸方程z=0.5x+3，則c=( )
A.3B.e3C.0.5D.e0.5

10. 設(shè)m，n>0，若隨機(jī)變量ξ，η的分布列如下：
則下列說法錯誤的是( )
A.m+n=12B.Pξ>00C.Eξ0）的下頂點，M，N在橢圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線ON的傾斜角，若α∈π6,π4，則橢圓E的離心率的取值范圍為( )
A.0,63B.0,32C.63,32D.63,223
二、填空題

01[1?(x?1)2?x ]dx=________．

某文學(xué)興趣小組要從《飄》《圍城》《紅與黑》《西游記》《紅樓夢》五本名著中任意選取兩本，一起交流讀書心得，則該小組選取的名著都是中國名著的概率為________ .

已知直線y=b分別與直線y=x?2、曲線y=2e?ex交于點A、B，則線段AB長度的最小值為________.

已知函數(shù)fx=ex?ax2，若fx在0,+∞只有一個零點，則a的值為________．
三、解答題

已知3x+2xn展開式中的第二項、第三項、第四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．
(1)求n的值及展開式的所有項的系數(shù)和；

(2)將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率．

小明某天偶然發(fā)現(xiàn)班上男同學(xué)比女同學(xué)更喜歡做幾何題，為了驗證這一現(xiàn)象是否具有普遍性，他決定在學(xué)校開展調(diào)查研究：他在全校3000名同學(xué)中隨機(jī)抽取了50名，給這50名同學(xué)同等難度的幾何題和代數(shù)題各一道，讓同學(xué)們自由選擇其中一道題作答，選題人數(shù)如表所示，但因不小心將部分?jǐn)?shù)據(jù)損毀，只是記得女生選擇幾何題的頻率是25.

(1)根據(jù)題目信息補(bǔ)全上表；

(2)能否根據(jù)這個調(diào)查數(shù)據(jù)判斷有97.5%的把握認(rèn)為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)？
參考數(shù)據(jù)和公式：

K2=nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.

如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知底面ABCD是邊長為2的菱形， PA⊥平面ABCD， PA=AC=2 ，E，F(xiàn)分別是棱PB，CD的中點．

(1)求證： CE//平面PAF；

(2)求直線EC與平面PCD所成角的正弦值．

2021年中國共產(chǎn)黨迎來了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛國主義情懷，某校組織了黨史知識競賽活動，共有200名同學(xué)參賽．為了解競賽成績的分布情況，將200名同學(xué)的競賽成績按[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成7組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求這200名同學(xué)競賽成績的中位數(shù)及競賽成績不低于80分的同學(xué)人數(shù)；

(2)現(xiàn)從競賽成績不低于80分的同學(xué)中，采用分層抽樣的方法抽取9人，再從9人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中競賽成績不低于90分的同學(xué)人數(shù)為X，求PX=2；

(3)學(xué)校決定對競賽成績不低于80分的同學(xué)中以抽獎的方式進(jìn)行獎勵，其中競賽成績不低于90分的同學(xué)有兩次抽獎機(jī)會，低于90分不低于80分的同學(xué)只有一次抽獎機(jī)會，獎品為黨史書籍，每次抽獎的獎品數(shù)量（單位：本）及對應(yīng)的概率如下表：現(xiàn)在從競賽成績不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎書籍的數(shù)量為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

設(shè)斜率不為0的直線l與拋物線x2=4y交于A，B兩點，與橢圓x26+y24=1交于C，D兩點，記直線OA，OB，OC，OD的斜率分別為k1，k2，k3，k4．
(1)若直線l過0,4，證明： OA⊥OB；

(2)求證： k1+k2k3+k4的值與直線l的斜率的大小無關(guān)．

已知函數(shù)fx=x3?x?alnxa∈R.
(1)若函數(shù)fx在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)a≤3時，求證：對任意的 x1，x2∈[1,+∞)，且 x1>x2，有2fx2?2fx1+x1?x2[f′x1+f′x2]>0恒成立．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年江西省贛州市高二（下）6月月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1.
【答案】
C
【考點】
復(fù)數(shù)的運算
共軛復(fù)數(shù)
【解析】
先求出z的共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)相等即可得出．
【解答】
解：∵z=a+bi，
∴zˉ=a?bi，
∴a?bi=1+i1?i=1+i21?i1+i=2i2=i，
∴a=0，b=?1，
∴a+b=?1．
故選C．
2.
【答案】
A
【考點】
空間向量運算的坐標(biāo)表示
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：因為AB⊥α，
所以AB→//n→，則21=4y=x3，
得x=6，y=2.
故選A．
3.
【答案】
D
【考點】
二項式定理的應(yīng)用
二項式系數(shù)的性質(zhì)
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：由題意第8項的系數(shù)為：
C107×(3i)3×(?1)7=120×33i=3603i．
故選D．
4.
【答案】
B
【考點】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
由橢圓x24+y2a2=1與雙曲線x2a?y22=1有相同的焦點，則焦點在x軸上，則4?a2=a+2，且a>0,求解即可.
【解答】
解：因為橢圓x24+y2a2=1與雙曲線x2a?y22=1有相同的焦點，則焦點在x軸上，
所以4?a2=a+2，且a>0，
解得a=1或a=?2（不合題意舍去）.
故選B.
5.
【答案】
D
【考點】
歸納推理
【解析】
利用勾股定理，轉(zhuǎn)化求解弦即可．
【解答】
解：設(shè)斜邊(弦)為x，則股為x?1,
∴x2=2n+12+x?12，
解得x=2n2+2n+1．
故選D．
6.
【答案】
D
【考點】
正態(tài)分布的密度曲線
【解析】
根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得出PX≥5=PX≤?1，所以5和?1關(guān)于對稱軸對稱，由此即可求解．
【解答】
解：因為隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2 ，對稱軸為X=μ，
又PX>?1+PX≥5=1，PX>?1+PX≤?1=1，
所以PX≥5=PX≤?1，
所以5和?1關(guān)于對稱軸對稱，
則μ=5+(?1)2=2．
故選D．
7.
【答案】
C
【考點】
異面直線及其所成的角
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：由題可知，
O是正方形ABCD的中心，
作N為OC的中點，
所以O(shè)P//MN，
則∠BMN是異面直線OP與BM所成的角.
因為OP⊥平面ABCD,
所以MN⊥平面ABCD.
因為AB=26，所以AC=BD=43，
所以BN=BO2+NO2=15，
PO=PA2?OA2=25，
所以MN=5，
所以BM=25.
因為cs∠BMN=MNBM=12，
則異面直線OP與BM所成角為60°.
故選C.
8.
【答案】
C
【考點】
單位向量
平行向量的性質(zhì)
平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【解析】
根據(jù)單位向量的性質(zhì)對四個選項進(jìn)行判斷，得到答案
【解答】
解：因為a0→是與向量a→同向的單位向量，b0→是與向量a→反向的單位向量，
所以a0→與b0→以及a→都共線，則a0→//b0→，故A選項正確；
因為|a→|是a→的模長，且a0→是與向量a→同向的單位向量，
所以有a→=|a→|a0→，故B選項正確；
因為a0→和b0→是方向相反的單位向量，
所以a0→+b0→=0→，故C選項錯誤；
因為|a→|是a→的模長，且b→是與向量a→反向的單位向量，
所以有a→=?|a→|b0→，整理得b0→=?a→|a→|，故D選項正確.
故選C．
9.
【答案】
B
【考點】
對數(shù)及其運算
求解線性回歸方程
【解析】
根據(jù)指對數(shù)互化求解即可．
【解答】
解：因為z=0.5x+3，z=lny，
所以0.5x+3=lny，
所以y=e0.5x+3=e3×e0.5x．
故c=e3 .
故選B.
10.
【答案】
C
【考點】
離散型隨機(jī)變量的期望與方差
離散型隨機(jī)變量及其分布列
【解析】
根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，以及離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，根據(jù)題中所給的分布列，得到相應(yīng)的結(jié)果，逐項分析，從而得到答案．
【解答】
解：A，由分布列的性質(zhì)可知m+12+n=1 ，
所以m+n=12 ，故A正確；
B，Pξ>0=Pξ=2=n，
Pη>0=Pη=12+Pη=132=12+n，
因為m，n>0 ，
所以12+n>n ，即Pξ>00，故B正確；
C，Eξ=?1?m+0?12+2?n=2n?m，
Eη=?52?m+12?12+132?n=?52m+132n+14，
Eξ?Eη=32m?92n?14
=32m?9212?m?14=6m?52，
因為0x2，
令x1x2=tt>1，
則2fx2?2fx1+x1?x2f′x1+f′x2
=2x23?2x13+2x1?x2+2alnx1x2+x1?x23x12+3x22?a1x1+1x2?2
=x13?x23?3x12x2+3x1x22?ax1x2?x2x1+2alnx1x2
=x23t3?3t2+3t?1?at?1t?2lnt，
令?(t)=t?1t?2lnt，t∈1,+∞，
當(dāng)t>1時，?′t=1+1t2?2t=1?1t2>0，
由此可得?(t)在1,+∞上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t>1時，?(t)>?(1)，
即t?1t?2lnt>0．
因為x2≥1，t3?3t2+3t?1=t?13>0，?a≥?3，
所以x23t3?3t2+3t?1?at?1t?2lnt≥t?13?3t?1t?2lnt.
設(shè)p(t)=t?13?3t?1t?2lnt，t>1，
則p′t=3t?12?31+1t2?2t
=3t?12t2?1t2>0，
所以函數(shù)p(t)在1,+∞上單調(diào)遞增，
故p(t)>p(1)=0．
綜上，當(dāng)a≤3時，對任意的x1，x2∈1,+∞，且x1>x2，
有2fx2?2fx1+x1?x2f′x1+f′x2>0恒成立．
【考點】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題
【解析】
左側(cè)圖片未給出解析
左側(cè)圖片未給出解析
【解答】
(1)解：函數(shù)fx的定義域為0,+∞，
f′x=3x2?1?ax．
若函數(shù)fx在其定義域上為增函數(shù)，則f′x≥0在0,+∞上恒成立，
即3x2?1?ax≥0，
解得3x3?x≥a．
設(shè)g(x)=3x3?x，則g′x=9x2?1．
當(dāng)x∈0,13時，g′x0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，
所以g(x)≥g13=?29，
所以a≤?29．
(2)證明：由(1)，得f′x=3x2?1?ax，
對任意的x1，x2∈1,+∞，且x1>x2，
令x1x2=tt>1，
則2fx2?2fx1+x1?x2f′x1+f′x2
=2x23?2x13+2x1?x2+2alnx1x2+x1?x23x12+3x22?a1x1+1x2?2
=x13?x23?3x12x2+3x1x22?ax1x2?x2x1+2alnx1x2
=x23t3?3t2+3t?1?at?1t?2lnt，
令?(t)=t?1t?2lnt，t∈1,+∞，
當(dāng)t>1時，?′t=1+1t2?2t=1?1t2>0，
由此可得?(t)在1,+∞上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t>1時，?(t)>?(1)，
即t?1t?2lnt>0．
因為x2≥1，t3?3t2+3t?1=t?13>0，?a≥?3，
所以x23t3?3t2+3t?1?at?1t?2lnt≥t?13?3t?1t?2lnt.
設(shè)p(t)=t?13?3t?1t?2lnt，t>1，
則p′t=3t?12?31+1t2?2t
=3t?12t2?1t2>0，
所以函數(shù)p(t)在1,+∞上單調(diào)遞增，
故p(t)>p(1)=0．
綜上，當(dāng)a≤3時，對任意的x1，x2∈1,+∞，且x1>x2，
有2fx2?2fx1+x1?x2f′x1+f′x2>0恒成立．ξ
?1
0
2
η
?52
12
132
P
m
12
n

幾何題
代數(shù)題
合計
男同學(xué)
22
8
30
女同學(xué)



合計



P(k2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
獎品數(shù)量（單位：本）
2
4
概率
34
14

幾何題
代數(shù)題
合計
男同學(xué)
22
8
30
女同學(xué)
8
12
20
合計
30
20
50

幾何題
代數(shù)題
合計
男同學(xué)
22
8
30
女同學(xué)
8
12
20
合計
30
20
50
ξ
2
4
6
8
P
12
1748
18
148
ξ
2
4
6
8
P
12
1748
18
148

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